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1、欢迎各位来到自动控制原理课堂！第2讲程向红控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型2.1 引言2.2 时域数学模型2.3 频域数学模型2.4 信号流图与梅逊公式数学模型的几种表示方式数学模型时域模型频域模型方框图和信号流图状态空间模型2.1 引言描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型称建模 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。物理模型 任何
2、元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。电子放大器 看成 理想的线性放大环节。通讯卫星 看成 质点。建立控制系统数学模型的方法有：分析法对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。实验法人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。分析法建立系统数学模型的几个步骤：建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量
3、，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。实验法基于系统辨识的建模方法已知知识和辨识目的实验设计-选择实验条件模型阶次-适合于应用的适当的阶次参数估计-最小二乘法模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近2.2 控制系统的时域数学模型2.2.1线性元件的微分方程 图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。例2-1 由、得解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写 方程如下：由导出 将i1、i2代入、，则得 这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。试证明图2-2(a)、
4、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。例2-2对电气网络(b)，列写电路方程如下：解：对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式 利用、求出 代入将两边微分得力-电压相似机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统.因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。机械电阻R1电阻R2弹性系数K1弹性系数K2电气阻尼B1阻尼B21/C11/C2图2-3 所示为电枢控制直流电动机的微分方程
5、，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速m（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。例2-3解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。电枢回路电压平衡方程电磁转距方程电动机轴上的转距平衡方程 电枢回路电压平衡方程：Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其
6、大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即Ea=Cem（t）Ce反电势系数（v/rad/s）电磁转距方程：-电动机转距系数（Nm/A）是电动机转距系数 -是由电枢电流产生的电磁转距（Nm）电动机轴上的转距平衡方程：Jm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）kgm fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/s）、求出ia(t)，代入同时亦代入得：在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而可简化为 电动机机电时间常数（s）如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 还可进一步简化为系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微
7、分方程的步骤如下：确定系统的输入量和输出量将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。2.2.2 线性微分方程的求解 2.2.3 非线性元件微分方程的线性化 具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。（分段定常系统）一个变量的非线性函数 y=f(x)在x0处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开增量较小时略去其高次幂项，则有 令y=kx k比例系
8、数，函数在x0点切线的斜率两个变量的非线性函数y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用台劳级数展开为 略去二级以上导数项，并令yy-f(x10,x20)这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。10y12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。解：由于研究的区域为5x7、10y12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=611=66.求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则
9、有因此，线性化方程式为：z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=510=50由线性化方程求得的z值为z=11x+6y=55+60-66=49因此，误差为50-49=1，表示成百分数 例2-4试把非线性方程 z=xy 在区域5x7、数学工具拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 拉氏变换基本定理线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理 数学工具拉普拉斯变换与反变换初值定理 微分定理 积分定理 拉氏反变换F(s)化成下列因式分解形式：a.F(s)中具有不
10、同的极点时，可展开为 b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为 c.F(s)含有多重极点时，可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同。2.3 控制系统的复域数学模型2.3.1 传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型传递函数。定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和是与系
11、统结构和参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令R(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代数方程为：于是，由定义得系统传递函数为：设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：求例2-2机械系统与电路系统的传递函数 和解：-机械系统传递函数例2-5 -电系统的传递函数性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数，mn，且所具有复变量函数的所有性质。性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为
12、许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（operational mode）性质6 传递函数与微分方程之间有关系。如果将置换 性质7 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单 位脉冲输入时的输出响应。在例1-1中，设当输入为 单位阶跃函数,即 时,求输出解：根据例1得到的微分方程。例2-62.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响 为传递函数的零点 为传递函数的极点极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。2.3.4典型元部件的传递函数电位器将线位移或角位移变换为电压量的装置。单个电位器用作为信号变换装置。