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1、第2章-控制系统的数学模型武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.02.02.02.02.1 2.1 2.1 2.1 2.2 2.2 2.2 2.2 2.3 2.3 2.3 2.3 2.42.42.42.42.52.52.52.5引言引言引言引言控制控制控制控制系统的运动微分方程系统的运动微分方程系统的运动微分方程系统的运动微分方程拉氏拉氏拉氏拉氏变换和反变换变换和反变换变换和反变换变换和反变换传递传递传递传递函数函数函数函
2、数系统系统系统系统方框图及简化方框图及简化方框图及简化方框图及简化本章本章本章本章小结小结小结小结武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1、了解建立系统微分方程的一般方法，能对简单的机械系统和电气系统列写出动态方程式。2、熟悉拉普拉斯变换和反变换，并能应用拉氏变换求解线性定常微分方程。3、掌握传递函数的概念及性质，并掌握典型环节的传递函数形式。4、掌握由系统微分方程组建立方框图的方法，掌握用方框图等效变换求传递函数的方法。5、掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和
3、对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。教教学学重重点点：建立系统数学模型的解析法，控制系统的传递函数，用拉氏变换求解线性定常微分方程。教学难点：教学难点：数学模型的解析法，传递函数方框图的绘制与简化。教教学学目目的的第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 重达2吨的宝马小轿车，现用老牛拉着行驶，要求宝马轿车行驶速度如下图要求，请问老牛如何控制使力？F Fmgmgf=2000N2.0 2.0 引言引言1600+20002
4、000武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型（1 1 1 1）动态模型）动态模型）动态模型）动态模型 动动态态模模型型：描描述述系系统统处处于于暂暂态态过过程程中中个个变变量量之间关系的表达式，它一般是时间函数。之间关系的表达式，它一般是时间函数。如如：微分方程（时域分析），传递函数（复数域），频率特性（频率域），状态方程（现代控制理论）等。（2 2 2 2）静态模型）静态模型）静态模型）静态模型 静静态态模模型型：描描述述过过程程处处于于稳稳态态时时各各变变量量之之间间的关
5、系。一般不是时间函数的关系。一般不是时间函数。描描述述系系统统输输入入输输出出变变量量以以及及各各变变量量之之间间关关系系的的数数学学表表达达式式，称称为为系系统统的的数数学学模模型型，它它揭揭示示了了系系统统结结构构、参参数数及及性性能能之间的内在关系。之间的内在关系。一、数学模型一、数学模型只与现在有关武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型二、建立数学模型的方法二、建立数学模型的方法（1 1）解析法）解析法 解解析析法法是根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理、化学等定
6、律，列写出每一个元件的输入-输出的关系式，然后消去中间变量，从中求出系统输出与输入的数学表达式式。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型二、建立数学模型的方法二、建立数学模型的方法（2 2）实验法）实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近，这种方法也称为系统辨识系统辨识。y=p1*x7+p2*x6+p3*x5+p4*x4+p5*x3+p6*x2+p7*x1+p8 Coefficients:p1=2.2048e-009 p2=-3.594
7、8e-007 p3=2.389e-005 p4=-0.00082949 p5=0.015994 p6=-0.16716 p7=0.84243武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1 2.1 控制系统的运动微分方程控制系统的运动微分方程二、建立数学模型的一般步骤二、建立数学模型的一般步骤（1 1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程；）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程；（2 2）从从输输入入端端开开始始，按按信信息息传传递递、变变换换过过程程列列写写各各变变量量之之
8、间间的的数数 学关系式；学关系式；注意：因果关系注意：因果关系；（3 3）消去中间变量，得到输出）消去中间变量，得到输出输入关系式；输入关系式；（4 4）整理成标准形式。）整理成标准形式。一、数学模型建立的依据一、数学模型建立的依据 反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论。反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论。微分方程是在时域中描述系统(或)元件动态特性的数学模型。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、控制系统微分方程的列三、控制系统微分方程的列写写写写1
9、1 1 1）机械系统）机械系统）机械系统）机械系统受力分析受力分析主要有质量、弹簧和阻尼组成。主要有质量、弹簧和阻尼组成。M-K-CM-K-C系统系统弹簧阻尼隔振器武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2 2 2 2）电气系统）电气系统）电气系统）电气系统 电器系统主要包括电阻、电容和电感等基本元件。列写微分方程采用基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律。A、基尔霍夫电压定律：对于任一集总参数电路中的任一回路，在任一瞬间，沿该回路所有支路电压的代数和等于零。B、基尔霍夫电流定律：
10、对于任一集总参数电路中的任一节点，在任一瞬间，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等于零。回路L1:-u1+u2+u4=0回路L2:-u4+u5+u6=0回路L3:-u2+u3-u5=0武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2 2 2 2）电气系统）电气系统）电气系统）电气系统武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3 3 3 3）流体系统）流体系统）流
11、体系统）流体系统A：箱体截面积；武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4 4 4 4）机电系统）机电系统）机电系统）机电系统直流电动机直流电动机 解：电枢回路方程反电势方程转子运动方程电磁力矩方程武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制
12、系统的数学模型控制系统的数学模型武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型综上所述：综上所述：（1 1）物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。）物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。（2 2）同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。）同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。（3 3）在在通通常常情情况况下下，
13、元元件件或或系系统统的的微微分分方方程程的的阶阶次次，等等于于元元件件或或系系统统中中所所包包含含的的独独立立储储能能元元的的个个数数。惯惯性性质质量量、弹性要素、电感和电容都是储能元件。弹性要素、电感和电容都是储能元件。（4 4）描描述述系系统统运运动动的的微微分分方方程程的的系系数数都都是是系系统统的的结结构构参参数数及及其其组组合合，这这就就说说明明系系统统的的动动态态特特性性是是系系统统的的固固有有特特性，取决于系统结构及其参数。性，取决于系统结构及其参数。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统
14、的数学模型控制系统的数学模型四、线性系统和非线性系统四、线性系统和非线性系统1 1）线性系统）线性系统 可以用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统。如：质量、弹簧和阻尼器系统，RLC无源电网络系统。2 2）线性系统微分方程的一般形式）线性系统微分方程的一般形式 式中，a1，a2，an和b0，b1，bm为由系统结构参数决定的实常数，mn。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型（2 2）非线性
15、系统）非线性系统 用非线性微分方程描述的系统，称为非线性系统。如：刚才所说的液位控制系统，磁悬浮列车。五、非线性数学模型的线性化五、非线性数学模型的线性化 1 1）线性化问题的提出）线性化问题的提出 实际系统或元件都有不同程度的非线性，即输入与输出之间的关系不是一次关系；线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控
16、制系统的数学模型所所谓谓线线性性化化就就是是在在一一定定范范围围内内，用用线线性性方方程程代代替替非非线线性性方方程程的的近近似似处处理理过过程程。从几何上看，所谓线性化就是用直直线线代代替替曲曲线线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡点处取泰勒级数一次近似式。2 2）泰勒级数展开法）泰勒级数展开法 函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：或：y-y0 =y=Kx，其中：上
17、式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0=f(x0)称为系统的静态方程；武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3 3）滑动线性化）滑动线性化切线法切线法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非线性关系线性化非线性关系线性化A线性化增量增量方程为：y y=xtg切线法是泰勒级数法的特例。v确定系统各组成元件在平衡态的工作点；确定系统各组成元件在平衡态的工作点；v列出各组成元件在工作点附近的增量方程；列出各组成元件在工作点附近的增量方程；v消除中间变量，得到以增量表示的线
18、性化微分方程。消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程。4 4）系统线性化微分方程的建立步骤）系统线性化微分方程的建立步骤武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型实例：液位系统的线性化实例：液位系统的线性化 解解：稳态时：非线性项的泰勒展开为：节流阀节流阀节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统液位系统则：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型由于
19、：注意到：实际使用中，常略去增量符号而写成：所以：变量用平衡工作点的值加增量表示武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 线性化处理的注意事项线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关；线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围；某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University
20、 of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型inout0近似特性曲线真实特性饱和非线性inout0死区非线性inout0继电器非线性inout0间隙非线性武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.22.2 拉氏变换和反变换拉氏变换和反变换则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；称为拉普拉氏积分；拉普拉氏积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数象函数，它是一个复变函数；f(t
21、)称为F(s)的原函数原函数；L为拉氏变换的符号拉氏变换的符号。一、拉氏变换的定义武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1）指数函数（a为常数）指数函数0tf(t)1二、几种典型函数的拉氏变换 武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2）单位阶跃函数1(t)10tf(t)单位阶跃函数武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technol
22、ogy控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3）单位速度函数（斜坡函数）10tf(t)单位速度函数1武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4）单位加速度函数单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型5）单位脉冲函数(t)0tf(t)单
23、位脉冲函数1由洛必达法则：所以：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型6）正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由欧拉公式，有：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型从而：同理：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的
24、数学模型控制系统的数学模型三、拉氏变换的主要定理 叠加定理 q 齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；q 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t)a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 微分定理 证明证明：由于即：同样有：式中，f(0)，f(0)，为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第
25、二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 延迟定理 设当t0时，f(t)=0，则对任意0，有：函数 f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 位移定理 例：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of
26、Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 初值定理 证明证明：初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 卷积定理 若t0时，f(t)g(t)0，则f(t)和g(t)的卷积可表示为：其中，f(t)g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制
27、工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型证明证明：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 时间比例尺的改变例：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型四、拉氏反变换及其求法拉氏反变换：已知F(s)求f(t)的数学过程。L1为拉氏反变换的符号。拉普拉斯反变换的公式为：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technol
28、ogy控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型如何分解如何分解F(s)？分解依据分解依据逆变换逆变换已知已知F(s)求求f(t)的数学过程的数学过程基本思想基本思想关键：关键：部分分式法部分分式法多项式定理、代数分项分式法多项式定理、代数分项分式法将将F(s)分解成标准形式的简单函数之和，分解成标准形式的简单函数之和，然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出f(t)1、拉氏反变换求法武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统
29、的数学模型2、基本步骤根据多项式定理求F(s)的极点根据分项分式法，将F(s)展成部分分式 求出待定系数ci（复变函数中的留数）F(s)的极点：使F(s)=的s值F(s)的零点：使F(s)=0的s值求逆变换的关键：求逆变换的关键：如何求出如何求出F(s)的极点？的极点？如何求待定系数？如何求待定系数？注意：求出复杂的F(s)的极点也是困难的。查拉氏变换表和利用性质定理求逆变换 在复变函数中ci称为s=pi极点处的留数。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3、待定系数的求法
30、由由于于F(s)的的极极点点可可以以是是简简单单实实数数极极点点、共共轭轭复复数数极极点点、重极点，故需分别讨论：重极点，故需分别讨论：简单简单极点极点简易计算式：简易计算式：求求ci的步骤：的步骤：用乘上用乘上式两边式两边，两边取极限，两边取极限令令武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 F(s)只含有不同的实数极点式中，Ai为常数，称为s=-pi极点处的留数。于是：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础
31、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例：求的原函数。解解：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型即：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 F(s)含有共轭复数极点 假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、-p2，其余极点均为各不相同的实数极点，则：式中，A1和A2的值由下式求解：上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A1和A2
32、的值。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型注意，此时F(s)仍可分解为下列形式：由于p1、p2为共轭复数，因此，A1和A2的也为共轭复数。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例：求的原函数。解解：令：，则：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统
33、的数学模型根据：有：即：由上式两边实部和虚部分别相等，得：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型而：所以：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型查拉氏变换表得：令，即：于是：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例：求的原函数。解解：武汉
34、理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型即：所以：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型查拉氏变换表得：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程
35、基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 F(s)含有重极点 设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则：式中，Ar+1，An利用前面的方法求解。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型注意到：所以：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程
36、基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例：求的原函数。解解：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型于是：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型五、应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤q将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。武汉理工大学武汉理工大学
37、Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 实例实例设系统微分方程为：若xi(t)=1(t)，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求xo(t)。解解：对微分方程左边进行拉氏变换：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University
38、 of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型即：对方程右边进行拉氏变换：从而：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型所以：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：零状态响应零输入响应武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制
39、工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型q 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。q 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。由上述实例可见：q系统响应可分为两部分：零状态响应和零输入响应。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型一、传递函数的概念和定义 传递函数传递函数 在零初始条件下，线性定常系
40、统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。零初始条件：零初始条件：q t0时，输入量及其各阶导数均为0；q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工 作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也 均为0；2.3 2.3 传递函数传递函数武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 传递函数求解示例 q 质量-弹簧-阻尼系统的传递函数 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technol
41、ogy控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型q R-L-C无源电路网络的传递函数 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型q 几点结论 传递函数是复数s域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输
42、入输出特性来描述系统的内部特性。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 传递函数的一般形式考虑线性定常系统 当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型令：则：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。二、特征方程、零点
43、和极点 特征方程特征方程武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型式中，K称为系统的放大系数或增益。当s=0时：G(0)=bm/an=K 从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K 反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 零点和极点零点和极点 将G(s)写成下面的形式：N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(
44、s-pn)=0的根s=pj (j=1,2,n)，称为传递函数的极点；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1,2,m)，称为传递函数的零点；系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 零、极点分布图零、极点分布图 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+
45、2)的零极点分布图0 12312-1-2-3-1-2j武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于线性定常系统；传递函数是 s 的复变函数。传递函数中的各 项系数和相应微分方程中的各项系数对应相 等，完全取决于系统结构参数；武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模
46、型控制系统的数学模型传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型l 脉冲响应函数脉冲响应函数 初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用下的输出响应的拉氏变换为：即：g(t)称为系统的
47、脉冲响应函数（权函数）。系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于系统动态特性的相同信息。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型注意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此，由：知线性系统在任意输入作用下，其时域输出：式中，当t 0时，g(t)=x(t)=0。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 环节环节 具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环
48、节。经常遇到的环节称为典型环节。任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。四、典型环节及其传递函数武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 环节的分类环节的分类 假设系统有b个实零点，c 对复零点，d 个实极点，e对复极点和v个零极点，由线性系统传递函数的零、极点表达式：可见：b+2c=m v+d+2e=n武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 对于实零点
49、zi=i和实极点pj=j，其因式可以变换成如下形式：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 对于复零点对z=+j和z+1=j，其因式可以变换成如下形式：式中，武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 对于复极点对pk=k+jk和pk+1=k jk，其因式可以变换成如下形式：式中，武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technolog
50、y控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型于是，系统的传递函数可以写成：式中，为系统放大倍数。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 由上式可见，传递函数表达式包含六种不同的因子，即：一般，任何线性系统都可以看作是由上述六种因子表示的典型环节的串联组合。比例环节：K一阶微分环节：s+1二阶微分环节：积分环节：惯性环节：振荡环节：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第