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1、空间空间“距离距离”问题问题平川中学高二数学组平川中学高二数学组 2012.12.19lm一、复习引入一、复习引入1.空间的平行与垂直关系空间的平行与垂直关系llml2.2.用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之
2、间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意成相应的几何意义。义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）二、空间二、空间“距离距离”问题问题1.空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 )，可将两点距离问题，可将两点距离问题转化为求向量模长问题转化为求向量模长问题 例例1：如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的
3、夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图图1解：解：如图如图1，设，设化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则，依据向量的加法法则，进行向量运算进行向量运算所以所以回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。思考：思考：（1）本题中四棱柱的对角线）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？（2 2）如果一个四棱柱的各条棱）如果一个四棱柱的各条棱长长都相等，都相等，并且
4、以某一并且以某一顶顶点点为为端点的各棱端点的各棱间间的的夹夹角都等角都等于于 ,那么有这个四棱柱的对角线的长可以那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析分析:分析分析:这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3 3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设设AB=1 AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距离面面距离点面距离点面距离解：解：所求的
5、距离是所求的距离是问题：如何求直线问题：如何求直线A1B1到平面到平面ABCD的距离？的距离？2、向量法求点到平面的距离、向量法求点到平面的距离：DABCGFExyzDABCGFExyzAPDCBMN解：如图解：如图,以以D D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系D Dxyzxyz 则则D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),C(0,0),P(0,0,)D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),C(0,0),P(0,0,)APDCBMNzxy2.(2.(课本第课本第107107页练习页练习2)2)如图，如图，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两点，两点
6、，直线直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直ABAB，已已知知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长.BACD当当E,F在公垂线同一侧时取负号在公垂线同一侧时取负号当当d等于等于0是即为是即为“余弦定理余弦定理”=（或（或），），abCDABCD为为a,b的公垂线的公垂线则则A，B分别在直线分别在直线a,b上上已知已知a,b是异面直线，是异面直线，n为为a a的的法向量法向量3.异面直线间的距离异面直线间的距离 即即 间的距离可转化为向量间的距离可转化为向量 在在n上的射影长，上的射影长，zxyABCC1即即取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B1 小结小结 1、E为平面为平面外一点外一点,F为为内内任意一任意一 点点,为平面为平面的法的法向量向量,则点则点E到平面的到平面的 距离为距离为:2、a,b是异面直线是异面直线,E,F分别是直线分别是直线a,b上的点上的点,是是a,b公垂线的方向向量公垂线的方向向量,则则a,b间距离为间距离为 布置布置作业作业P112:习题习题3.2A组组 5.7.9