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1、二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象的图象1二次函数二次函数y=ax2的性质的性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值开口大小开口大小抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ax2(a0)y=ax2(a0)y=ax2+c(a0时时,在在x轴的上方轴的上方(经过一经过一,二象限二象限);当当c0时时,与与x轴相交轴相交(经过一经过一,二三四象限二三四象限).当当c0时时,与与x轴相交轴相交(经过一经过一,二三四象限二三四象限).向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小值为c.当当x=0
2、时时,最大值为最大值为c.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增的增大而增大大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减的增大而减小小.根据图形填表：根据图形填表：w在同一坐标系中作出二次函数在同一坐标系中作出二次函数y=3xy=3x2 2,y=3(x-1),y=3(x-1)2 2和和y=3(x+1)2的图象的图象 w完成下表完成下表,并比较并比较3 3x x2 2,3(x-1),3(x-1)2 2和和3(x+1)2的值的值,它们之间
3、有什么关系它们之间有什么关系?函数函数y=a(y=a(x-h)x-h)2 2(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质x-4-3-2-1012342712303122727123031227 27123031227 27 12 30312 27 （1 1）函函数数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的的图图象象与与y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的的图图象象有有什什么么关关系系?它它是是轴轴对对称称图图形形吗吗?它它的的对对称称轴轴和和顶顶点点坐坐标标分分别别是什么是什么?（2）x取哪些值时取哪些值时,函数函数y=3(x+1)2的值随的值随x值的增大而增值的增大
4、而增大大?x取哪些值时取哪些值时,函数函数y=3(x+1)2的值随的值随x的增大而减少？的增大而减少？y二次函数函数y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2,y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2和和y=-3xy=-3x2 2的图象的图象X=-1X=1（1 1）函函数数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的的图图象象与与y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的的图图象象有有什什么么关关系系?它它是是轴轴对对称称图图形形吗吗?它它的的对对称称轴轴和和顶顶点点坐坐标标分分别是什么别是什么?（2）x取哪些值时取哪些值时,函数函数y=3(x+1)2的值随的值随x值的增
5、大而增值的增大而增大大?x取哪些值时取哪些值时,函数函数y=3(x+1)2的值随的值随x的增大而减少？的增大而减少？二次函数二次函数y=a(x-h)2的性质的性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值开口大小开口大小抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2(a0h0时时,向右平移向右平移;当当h0h0k0时向上平移时向上平移;当当k0k0)y=a(x-h)2+k(a0a0)y=a(x-h)2+k(a0时时,开口向上开口向上,在对称轴左侧在对称轴左侧,y都随
6、都随x的增大而减小的增大而减小,在对在对称轴右侧称轴右侧,y都随都随 x的增大而增大的增大而增大.a0时时,向右平移向右平移;当当h0时向上平移时向上平移;当当k0)y=a(x-h)2+k(a0,a=30,开口向上开口向上;对称轴对称轴:直线直线x=1;x=1;顶点坐标顶点坐标:(1,2).:(1,2).作出函数作出函数y=2xy=2x2 2-12x+13-12x+13的图象的图象.X=1(1,2)X=3(3,-5)1.确定下列确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.w例例.求次函数求次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标的对称轴和顶点坐标 函数y
7、=ax+bx+c的顶点式 w一般地一般地,对于二次函数对于二次函数y=axy=ax+bx+c,+bx+c,我们可以利用配方法推导我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标出它的对称轴和顶点坐标.w1.1.配方配方:提取二次项系数提取二次项系数配方配方:加上再加上再减去一次项系减去一次项系数绝对值一半数绝对值一半的平方的平方整理整理:前三项化为平方形前三项化为平方形式式,后两项合并同类项后两项合并同类项化简化简:去掉中括号去掉中括号这个结果通常这个结果通常称为求称为求顶点坐顶点坐标公式标公式.顶点坐标公式因此因此,二次函数二次函数y=axy=ax+bx+c的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线.
8、根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：w如如图图,两两条条钢钢缆缆具具有有相相同同的的抛抛物物线线形形状状.按按照照图图中中的的直直角角坐坐标标系系,左左面面的的一一条条抛抛物物线线可可以以用用y=0.0225xy=0.0225x+0.9x+10+0.9x+10表表示示,而而且且左左右右两两条条抛物线关手抛物线关手y y轴对称轴对称 w钢缆的最低点到桥面的距离是少？钢缆的最低点到桥面的距离是少？w两条钢缆最低点之间的距离是多少？两条钢缆最低点之间的距离是多少？w你是怎样计算的？与同伴交流你是怎样计算的？与同伴交流.函数函数y=ay=ax
9、 x2 2+b+bx+cx+c(a0)(a0)的应用的应用Y/m x/m 桥面 -5 0 510.钢钢缆缆的的最最低低点点到到桥桥面面的的距距离离是是少少？你你是是怎怎样样计计算算的的？与与同伴交流同伴交流.可可以以将将函函数数y=0.0225xy=0.0225x2 2+0.9x+10+0.9x+10配配方方,求求得得顶顶点点坐坐标标,从从而而获获得得钢缆的最低点到桥面的距离钢缆的最低点到桥面的距离;Y/m x/m 桥面 -5 0 510两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流与同伴交流.w想一想想一想,你知道图中右面钢缆的表达
10、式是什么吗你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?Y/m x/m 桥面 -5 0 510w你还有其它方法吗？与同伴交流你还有其它方法吗？与同伴交流.w直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离 Y/m x/m 桥面 -5 0 510二次二次函数函数y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴
11、位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0时时,开口向上开口向上,在对称轴左侧在对称轴左侧,y都随都随x的增大而减小的增大而减小,在在对称轴右侧对称轴右侧,y都随都随 x的增大而增大的增大而增大.a0时时,向右平移向右平移;当当 0时向上平移时向上平移;当当 0,a0,开口开口向上向上;a0,a0,在对称轴在对称轴左侧左侧,y都随都随x的增大而减小的增大而减小,在对称轴右侧在对称轴右侧,y都随都随 x的增的增大而增大大而增大.;a0,函数y=ax2与y=ax+b的图象大致是()A B C D
12、yyyyxxxxooooCBD6.下列各点中与点(1,4)在同一个二次函数 y=ax2图象上的是()A.(2,-16);B.(-2,16);C.(-2,-16);D.(16,2);B解法训练:1.已知:函数 是关于x的二次函数.求:(1)满足条件的m值.(2)当m为何值时,抛物线有最低点?并求出这个最低点.这时当x为何值时,y随x增大而增大?(3)当m为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?这时当x为何值时,y随x的增大而减小?m=-3或或m=2.m=2时时,最低点是最低点是(0,0);当当x0时时,y随随x的增大而增大的增大而增大.m=-3时时,最大值是最大值是0;当当x0时时,y随随x的增
13、大而减小的增大而减小.2.一个函数的图象是一条以一个函数的图象是一条以y轴为对称轴轴为对称轴原点为顶点的抛物线原点为顶点的抛物线,且经过点且经过点A(-2,2)(1)求这个函数的解析式求这个函数的解析式;(2)画出这个函数的图象画出这个函数的图象;(3)写出抛物线上与点写出抛物线上与点A关于关于y轴对称的点轴对称的点B的坐标的坐标,并计算并计算ABO的面积的面积.面积为面积为4存在点C(,1);(,1);(,3);(,3).A(-2,2)B(2,2)C CCC(4)在抛物线上是否存在点在抛物线上是否存在点C,使使SABC=SOAB,如果存在写出如果存在写出点点C的坐标的坐标,如果不存在说明理由
14、如果不存在说明理由?1.将函数将函数y=2x2的图象向左平移的图象向左平移3个单位个单位,然后将图象绕顶点在然后将图象绕顶点在原坐标系内旋转原坐标系内旋转1800,求旋转后图象对应的函数解析式求旋转后图象对应的函数解析式.综合训练综合训练:2.抛物线抛物线y=ax2向左平移一个单位向左平移一个单位,再向下平移再向下平移8个单位且个单位且y=ax2过点过点(1,2).则平移后的解析式为则平移后的解析式为_;y=-2(x+3)2y=2(x+1)2-83.将抛物线将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到如何移动才能得到y=x2.逆向思考逆向思考,由由y=x2-6x+4=(x-3)2-5知知:先向左
15、平移先向左平移3个单位个单位,再向上平移再向上平移5个单位个单位.4.画出函数画出函数y=5x2与函数与函数y=-5x2的图象并根据图象分别说明两函数的图象并根据图象分别说明两函数的增减性的增减性?是否有最大值或最小值是否有最大值或最小值,若有是多少若有是多少?5.已知已知:点点P(x,y)是抛物线是抛物线y=x2上一点且在第一象限内的一动点上一点且在第一象限内的一动点.A点坐标为点坐标为(3,0).用用S表示表示OPA的面积的面积(1)求求S与与y的函数关系式的函数关系式;(2)求求S与与x的函数关系式的函数关系式;(3)如果抛物线如果抛物线y=2x2与直线与直线y=kx-3只有一个公共点只
16、有一个公共点,求求k值值.6.已知已知:抛物线抛物线y=-x2将抛物线向上平移后将抛物线向上平移后,抛物线顶点抛物线顶点D和抛物线和抛物线与与x轴二交点轴二交点A,B围成围成ABD.求顶点在什么位置时求顶点在什么位置时,ABD为为正正三角形且写出此时抛物线的解析式三角形且写出此时抛物线的解析式S=3/2y.S=3/2x2.k=y=-x2+DABw填表填表:想一想想一想,填一填填一填,比一比比一比,说一说说一说:函数表达式开口方向增减性对称轴顶点坐标a0,a0,开口开口向上向上;a0,a0,在对称轴在对称轴左侧左侧,y都随都随x的增大而减小的增大而减小,在对称轴右侧在对称轴右侧,y都随都随 x的增的增大而增大大而增大.;a0,在对称轴在对称轴左侧左侧,y都随都随x的增大而增大的增大而增大,在对称轴右侧在对称轴右侧,y都随都随 x的增的增大而减小大而减小.结束寄语探索是数学的生命线探索是数学的生命线.下课了!