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1、不等式的证明不等式的证明南安市第三中学南安市第三中学南安市第三中学南安市第三中学 杨昌座杨昌座杨昌座杨昌座一知识回顾：一知识回顾：（1 1）比较法：）比较法：）比较法：）比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，一般主要有比较法是证明不等式最基本的方法，一般主要有“作差法作差法”和和“作商法作商法”两种。两种。“作差作差作差作差”比较：证明步骤证明步骤证明步骤证明步骤：作差作差变形变形判断符号判断符号得出结论得出结论 提示提示：当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法。当欲证的不等式两端是乘积当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法。当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式
2、时常用商值比较法。的形式或幂指不等式时常用商值比较法。“作差作差”比比“作商作商”在比较法中更在比较法中更具有普遍性具有普遍性。（2 2）综合法：）综合法：）综合法：）综合法：从已知条件出发，根据不等式的从已知条件出发，根据不等式的 性质或已知的不等式，逐性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。步推导出要证的不等式。（3 3）分析法：）分析法：）分析法：）分析法：是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。者在已知中。特特征征：由因导果：由因导果特特征征：执果索因：执果索因 提示提示：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证
3、明方法，也是不等式证明中的基本方法。两：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。两者在证明思路上存在着明显的互逆性，者在证明思路上存在着明显的互逆性，在解题过程中，在解题过程中，我们我们常常利用分析法寻找证题的途径，然后利用分析法寻找证题的途径，然后用用“综合法综合法”进行表达。进行表达。（4 4）证明中常涉及的不等式：）证明中常涉及的不等式：）证明中常涉及的不等式：）证明中常涉及的不等式：1 1绝对值三角不等式：绝对值三角不等式：如如果果a,ba,b是实数，那么是实数，那么|a|-|b|ab|a|+|b|a|-|b|ab|a|+|b|2 2基本不等式：基本不
4、等式：3 3基本不等式的不同形式基本不等式的不同形式 【评析】【评析】【评析】【评析】本题主要应用比较法来证明不等式。对两个正数作差的比较，有时本题主要应用比较法来证明不等式。对两个正数作差的比较，有时本题主要应用比较法来证明不等式。对两个正数作差的比较，有时本题主要应用比较法来证明不等式。对两个正数作差的比较，有时可以通过它们的平方可以通过它们的平方可以通过它们的平方可以通过它们的平方作作作作差来比较大小。差来比较大小。差来比较大小。差来比较大小。【评析】【评析】【评析】【评析】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用。本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用。本题主
5、要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用。本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用。善于善于善于善于发现发现发现发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，是解题的是解题的是解题的是解题的突破口突破口突破口突破口。“整体代换整体代换”【评析】【评析】本题主要通用本题主要通用“整体代换整体代换”的方法利用基本不等式解决问题，通过实例的方法利用基本不等式解决问题，通过实例来引导学生竖起整体思想。来引导学生竖起整体思想。【课堂课堂小小结结】不等式证
6、明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.如果已知如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法。在必要的情况下，可能还需条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法。在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明。利用基本不等式证明不要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明。利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种主要形式，对不等式的证明应该善于观察等式是综合法证明不等式的一种主要形式，对不等式的证明应该善于观察“已知已知条件条件”与与“待证结论待证结论”之间的联系之间的联系，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。逻辑推理最后转化为需证问题。【课课后作业后作业】完成完成不等式的证明不等式的证明中的课后作业中的课后作业