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1、空间向量的坐标运算本讲稿第一页，共二十二页oxyz从空间某一个定点从空间某一个定点引引三条互相垂直且有相同单三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系立了空间直角坐标系xyz点点叫做坐标原点叫做坐标原点，x轴轴、y轴轴、z轴叫做坐标轴叫做坐标轴轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为分别称为xoy平面平面、yoz平面平面、和和 Zox平面平面本讲稿第二页，共二十二页空间直角坐标系的画法空间直角坐标系的画法:oxyz1.1.X X轴与轴与y y轴、轴、x x轴与轴与z z轴均成轴均成1351350 0,而而
2、z z轴垂直于轴垂直于y y轴轴1351350 01351350 02.2.y y轴和轴和z z轴的单位长度相同，轴的单位长度相同，x x轴上的单位长度为轴上的单位长度为y y轴（或轴（或z z轴）轴）的单位长度的一半的单位长度的一半本讲稿第三页，共二十二页有了空间直角坐标系，那空间中的有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点任意一点怎样来表示它的坐标呢？怎样来表示它的坐标呢？oxyzabc(a,b,c)经过经过A A点作三个平面分点作三个平面分别别垂直垂直于于x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴，它轴，它们与们与x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴分别交于三轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上
3、的点，三点在相应的坐标轴上的坐标坐标a,b,ca,b,c组成的有序实数对组成的有序实数对（a,b,c)a,b,c)叫做叫做点点的坐标的坐标记为记为：（：（a,b,c)本讲稿第四页，共二十二页在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,x x轴上的点、轴上的点、xoyxoy坐标平面内的点的坐标各有什么特点？坐标平面内的点的坐标各有什么特点？x轴上的点横轴上的点横坐标就是与坐标就是与x x轴交轴交点的坐标，纵坐标点的坐标，纵坐标和竖坐标都是和竖坐标都是xoy坐标平面坐标平面内的点的竖坐标为内的点的竖坐标为，横坐标与纵坐，横坐标与纵坐标分别是点向两轴标分别是点向两轴作垂线交点的坐标作垂线交点的坐标本讲稿第
4、五页，共二十二页练习练习如图，已知长方体如图，已知长方体ABCD-ABCD的边长为的边长为AB=12,AD=8,AA=5.以这个长方体的顶点为坐标以这个长方体的顶点为坐标原点，射线原点，射线AB,AD,AA分别为分别为x轴、轴、y轴和轴和z轴的正半轴的正半轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标求长方体各个顶点的坐标xyzAOABBCCDD本讲稿第六页，共二十二页单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为且大小都为1 1，那么这个基底叫做单位正交基底，常，那么这个基底叫做单位正交基底，常用用
5、来表示来表示.因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系本讲稿第七页，共二十二页 在空间选定一点在空间选定一点O O和一个单位正交基底和一个单位正交基底 以点以点O O为原为原点，分别以点，分别以 的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴，轴，这样就建立了一个空间直角坐标系这样就建立了一个空间直角坐标系O xyz.x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴，都叫轴，都叫做做叫做坐标轴叫做坐标轴,点点O 叫做叫做原点原点，向量向量 都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通过通过每两个坐标轴的平面叫做每两个坐标轴的平面叫做坐标平面坐标平面.xyzOkij 对空间任一向量对空间
6、任一向量 ,由空间由空间向量基本定理，存在唯一的有序实向量基本定理，存在唯一的有序实数组数组 ,使使空间直角坐标系空间直角坐标系本讲稿第八页，共二十二页以以 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyz若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则AB=OB-OA=(x2 2-x1 1 ,y2 2-y1 1,z2 2-z1 1)本讲稿第九页，共二十二页规定：规定：（0，0，0）本讲稿第十页，共二十二页2.2.空间向量数量积的坐标表示：空间向量数量积的坐标表示：设空间两个非零向量设空间两个非零向量4.4.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式已知、已知、，则，则注：此公式的几注：此公
7、式的几何意义是表示长何意义是表示长方体的对角线的方体的对角线的长度。长度。本讲稿第十一页，共二十二页注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。思考：当思考：当 及及 时，时，的夹角在什么范围内？的夹角在什么范围内？6.6.空间两非零向量垂直的条件空间两非零向量垂直的条件本讲稿第十二页，共二十二页练习练习:已知已知 求求解解:本讲稿第十三页，共二十二页练习：练习：2.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：1.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：本讲稿第十四页，共二十二页例题：例题：例例1已知、，求：已知、，求：
8、（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；解：设是的中点，则解：设是的中点，则点的坐标是点的坐标是.本讲稿第十五页，共二十二页（2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。坐标满足的条件。解：点到的距离相等，则解：点到的距离相等，则化简整理，得化简整理，得即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是本讲稿第十六页，共二十二页本讲稿第十七页，共二十二页解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则例例3如图如图,在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.本讲稿第十八页，共二十二页本讲稿第十九页，共二十二页A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F例例5.5.在正方体在正方体中，中，E、F分分别别是是BB1,1,，平面平面ADE 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1，为单位正交为单位正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：则可得：所以所以本讲稿第二十页，共二十二页BCC1A1B1AMxyzBCC1A1B1AMxyz本讲稿第二十一页，共二十二页练习：练习：xyz建立空间直角坐建立空间直角坐标系来解题。标系来解题。本讲稿第二十二页，共二十二页