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1、第1章控制系统的状态空间描述1第1页，本讲稿共39页1.1 系统描述中常用的基本概念1.系统系统:一些相互制约的部分所构成的整体2.输入、输出输入、输出:输入:由外部施加到系统上的全部激励输出:能从外部量测到的来自系统的信息3.系统数学描述的类型：系统数学描述的类型：系统的外部描述传递函数 系统的内部描述状态空间表达式系统的方块图表示第2页，本讲稿共39页4.4.松弛性松弛性:若系统的输出yt0,)由输入ut0,）惟一确定，则称系统在t0时刻是松弛的。从能量观点看：系统在t0是松弛的，意味着在t0不存储能量。松弛系统的输入输出描述：y=Hu （H为某一算子）5.因果性因果性:系统在t时刻的输出
2、仅取决于在t时刻和t时刻之前的输入，而与t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性。6.线性：线性：一个松弛系统，当且仅当对于任何输入u1和u2以及任何实数均有（可加性）H（u1+u2）=Hu1+Hu2 （齐次性）H（u1）=H（u1）则该系统为线性的，否则为非线性的。第3页，本讲稿共39页7.7.定常性定常性:一个松弛系统，当且仅当对于任何输入u和任何实数，均有HQu=QHu则该系统称为定常的，否则称为时变的。这里Q为位移算子，Qu(t)=u(t-)第4页，本讲稿共39页1.2 系统状态空间描述中常用的基本概念1.1.状态状态 表征系统运动的信息和行为2.2.状态变量状态变量 完全表征系统运动
3、状态的最小个数的一组变量。表示符号：x1(t),x2(t),xn(t)注：注：状态变量的选取不具有唯一性；状态变量不一定在物理上可测；尽可能选取容易测量的量作为状态变量。3.状态向量状态向量 把描述系统状态的n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)看作向量x(t)的分量,则称x(t)为n维状态向量。x(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T 第5页，本讲稿共39页4.4.状态空间状态空间 以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间5.5.状态轨线状态轨线 系统在任意时刻t的状态，在状态空间中用一点来表示。随着时间的推移，系统的状态在变化，并在状态空间中描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在
4、状态空间中随时间变化的轨迹称为状态轨线。6.状态方程状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）。一般形式：或第6页，本讲稿共39页7.7.输出方程输出方程 描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间关系的代数方程。一般形式：8.8.状态空间表达式（状态空间表达式（动态方程）状态方程与输出方程的组合。一般形式：或第7页，本讲稿共39页9.9.自治系统自治系统 系统的状态空间表达式中，函数f 和g均不显含时间t或tk。一般形式：或10.10.线性系统线性系统 系统的状态空间表达式中，f 和g均是线性函数，则称系统为线性系统，否则为
5、非线性系统。第8页，本讲稿共39页11.11.线性系统状态空间表达式线性系统状态空间表达式 线性连续时间系统：线性离散时间系统，取tk=kT，T为采样周期：其中：状态 x、输入 u、输出 y 的维数分别为n、p、q。A(t)、G(k):系统矩阵 nn;B(t)、H(k):输入矩阵 np;C(t)、C(k):输出矩阵 qn;D(t)、D(k):输入输出矩阵 qp。第9页，本讲稿共39页12.12.线性定常系统线性定常系统 系数矩阵中的各元素都是常数。或 简记为：系统(A，B，C，D)或系统(G，H，C，D)当 D 0，系统为绝对固有系统，否则为固有系统。第10页，本讲稿共39页13.13.线性系
6、统结构图线性系统结构图 图中：I为nn单位矩阵，s为拉普拉斯算子，z-1为单位延时算子，s和z均为标量。每个方块的输入输出关系规定为：输出向量=（方块所示矩阵）（输入向量）第11页，本讲稿共39页14.14.状态空间表达式结构图绘制步骤状态空间表达式结构图绘制步骤 画出所有积分器；积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；用箭头将这些元件连接起来。举例：例1-1 画出一阶标量微分方程的模拟结构图。第12页，本讲稿共39页例1-2 画出三阶微分方程的模拟结构图。例1-3 画出下述系统状态空间表达式的模拟结构图。即：第13
7、页，本讲稿共39页1.3 状态空间表达式的建立建立状态空间表达式的三个途径：建立状态空间表达式的三个途径：根据系统机理建立；根据已知的系统其它数学模型建立;由系统微分方程建立由系统传递函数建立根据系统方块图建立。1.1.根据系统机理建立状态空间表达式根据系统机理建立状态空间表达式步骤：1)根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程；2)选择有关的物理量作为状态变量；3)导出状态空间表达式。第14页，本讲稿共39页例例1-4 写出如图所示RLC网络的状态空间表达式电路输出量为解解 根据电路定律可得到下列方程：设状态变量第15页，本讲稿共39页简记为其向量矩阵形式为：式中第16页，本讲稿共39页则
8、有由上可见，系统的状态空间表达式不具有惟一性。同一系统的不同状态空间表达式之间存在某种线性变换关系。设 设状态变量 则有相应的向量-矩阵形式为第17页，本讲稿共39页例例1-5 对于下图中所示机械系统，若不考虑重力对系统的作用，试列写该系统以拉力F为输入，质量块m1、m2 的位移y1、y2 为输出的状态空间表达式。阻尼器和质量块都是储能元件，这里将弹簧长度以及质量块的运动速度作为系统的状态变量。取解解 根据牛顿定律，可写出系统微分方程如下：则系统的状态空间表达式为:第18页，本讲稿共39页例例（附加举例）（附加举例）求下图所示机械系统的状态空间表达式。取解解 根据牛顿定律，可写出系统微分方程如
9、下：则系统状态空间表达式第19页，本讲稿共39页2.2.根据系统微分方程建立状态空间表达式根据系统微分方程建立状态空间表达式故式(9-19)可化为 单输入-单输出（SISO）线性定常系统微分方程的一般形式 式中，u、y分别为输入、输出；ai、bi(i=0，1,2,n-1)、bn是由系统确定的常系数。本课程按系统输入量中是否含有导数项分别进行研究。系统输入量中不含导数项。由于给定输出y及其n-1阶导数的初值以及t0的u(t)时,可惟一确定t0时系统的行为，可选取n个状态变量为 第20页，本讲稿共39页状态空间表达式式中 第21页，本讲稿共39页例例1-6 1-6 已知下式为某系统的输入输出微分方
10、程，试写出其状态空间比表达式。解解 选取三个状态变量则可写出状态空间表达式 第22页，本讲稿共39页 系统输入量中含有导数项。首先研究 bn0 的情况,为避免在状态方程中出现输入导数项，可按下列规则选取状态变量，设则：hi的确定方法为：第23页，本讲稿共39页状态空间表达式为式中如果输入量中仅含m次导数，且mn,可将高于m次导数项的系数置0，仍然可以使用上述方法确定状态空间表达式。当bn=0时，也可使用下列规则选择状态变量。设第24页，本讲稿共39页则式中状态空间表达式为第25页，本讲稿共39页例例 1-7 下式为某个系统的输入输出方程，试写出其状态空间表达式。求hi:状态方程为：解解 由微分
11、方程系数知：n=3,m=1;a2=28,a1=196,a0=740;b1=360,b0=440 采用状态选择规则第26页，本讲稿共39页 由于m=1n=3，因此，也可采用状态选择规则状态方程直接写为：第27页，本讲稿共39页3.3.根据系统传递函数建立状态空间表达式根据系统传递函数建立状态空间表达式 微分方程与传递函数的对应关系如下：bn是直接联系输入、输出的前馈系数；当G(s)的分母次数大于分子次数时，bn=0；N(s)/D(s)是严格有理真分式。N(s)/D(s)中系数确定方法：应用综合除法有第28页，本讲稿共39页由由N(s)/D(s)导出标准形式动态方程的方法导出标准形式动态方程的方法
12、 N(s)/D(s)串联分解。如图将N(s)/D(s)分解为两部分的串联。选取状态变量 图中，z为中间变量，z、y满足：则状态方程为输出方程为第29页，本讲稿共39页状态空间表达式为状态空间表达式为式中，有类似A矩阵形状特征的矩阵，称为友矩阵。若状态方程中的A，b具有上述形式，则称为可控标准型。当 G(s)=bn+N(s)/D(s)时，A、b不变，。系统A，b，c，d称为G(S)的可控标准形实现。第30页，本讲稿共39页当当 bn=0 时，若按前面（时，若按前面（9-26）选取状态变量，则）选取状态变量，则A，b，c矩阵为：矩阵为：可控标准型与可观测标准型的各矩阵之间的关系：A矩阵是友矩阵的转
13、置。若动态方程中的A，c具有上述形式，则称为可观测标准型。下标c表示可控标准型；o表示可观测标准型；T为转置符号。式（9-31）所示的关系称为对偶关系。第31页，本讲稿共39页 N(s)/D(s)只含单实极点。既可化为上述可控、可观测标准型、对角型。ci为N(s)/D(s)在极点i处的留数。取拉氏反变换，则设D(s)可分解为式中i为系统的单实极点。令状态变量第32页，本讲稿共39页展开得 状态空间表达式为第33页，本讲稿共39页 N(s)/D(s)含重实极点。传递函数含重实极点也可能还有单实极点。既可化为上述可控标准型、可观测标准型、也可化为约当标准型。设D(s)可分解为 则 设第34页，本讲
14、稿共39页由上述假设可得：求其拉氏反变换第35页，本讲稿共39页状态空间表达式第36页，本讲稿共39页 根据系统各个环节的实际连结，写出相应的状态空间表达式。步骤：步骤：1)将系统的各个环节变换成相应的模拟结构图；2)把每个积分器的输出选作为状态变量；3)由模拟结构图直接写出系统的状态方程和输出方程。4.4.根据系统方块图建立状态空间表达式根据系统方块图建立状态空间表达式例例1-4 根据下图所示系统方块图，写出系统的状态空间表达式。第37页，本讲稿共39页解解 各个环节的模拟结构图如下图所示。第38页，本讲稿共39页注：注：带零点环节的处理方法 先展开成部分分式 得到等效方块图 再由此变换成模拟结构图。含有零点环节的展开方法：带零点环节的方块图 模拟结构图的变换：第39页，本讲稿共39页