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1、回归分析回归分析两种关系两种关系：函数关系；相关关系函数关系；相关关系回归分析的基本作用回归分析的基本作用1、处理变量之间相关关系的数字表达式（经验公式）、处理变量之间相关关系的数字表达式（经验公式）2、判明所建立的经验公式的有效性、判明所建立的经验公式的有效性3、根据一个或几个变量的取值，预测或控制另一个、根据一个或几个变量的取值，预测或控制另一个变量的取值变量的取值4、判明预测和控制的精确程度、判明预测和控制的精确程度5、在共同影响一个变量的许多变量中，找出主要变、在共同影响一个变量的许多变量中，找出主要变量和次要变量量和次要变量一元线性回归分析一元线性回归分析一、基本概念一、基本概念1、
2、回归函数：随机变量、回归函数：随机变量 y 和变量和变量 x 之间存在着相关之间存在着相关关系。关系。y 的期望的期望=(x)=Ey 叫做叫做 y 对对 x 的回归函数。的回归函数。回归分析的核心：估计回归函数回归分析的核心：估计回归函数例例1.1 某建材实验室在做陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米某建材实验室在做陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量（混凝土的水泥用量（kg）对混凝土抗压强度对混凝土抗压强度(kg/cm2)的影响。的影响。经过经过28天的观测，得到如下数据：天的观测，得到如下数据：水泥用量水泥用量x150160170180190200210220230240250
3、260抗压强度抗压强度y56.9 58.4 61.6 64.6 68,1 71.374.1 77.4 80.2 82.6 86.489.7试建立试建立y 对对x 的回归函数。的回归函数。2、一元线性回归问题、一元线性回归问题3、经验回归方程（经验公式）；经验回归直线、经验回归方程（经验公式）；经验回归直线二、用最小二乘法估计二、用最小二乘法估计 a,b基本思想：在形如基本思想：在形如 的直线族中，选择一的直线族中，选择一条直线条直线L，使使n 个样本点与直线个样本点与直线L 在平均意义上最为在平均意义上最为接近。接近。xyxi(xi,yi)a,b 的最小二乘法估计过程的最小二乘法估计过程x 的
4、离差平方和的离差平方和:y 的离差平方和的离差平方和:x,y 的离差乘积和的离差乘积和:公式变形：公式变形：a,b 的最小二乘法估计公式的最小二乘法估计公式公式变形公式变形说明：说明：(1)a,b 都是有量纲的量。都是有量纲的量。b 的量纲是的量纲是 y/x，其意义为其意义为x 每增加一个单位，平均引起每增加一个单位，平均引起y 的变化。所以，同一的变化。所以，同一个回归问题，如果个回归问题，如果x,y 各自换了单位，回归系数也各自换了单位，回归系数也会取不同的值。会取不同的值。(2)经验回归直线经过散点图的几何重心。经验回归直线经过散点图的几何重心。(3)是是 a,b 的无偏估计，且是的无偏
5、估计，且是y 的所有线性无偏的所有线性无偏估计中方差最小的估计中方差最小的（Gauss-Markov定理）。定理）。三、相关系数与相关显著性检验三、相关系数与相关显著性检验（一）平方和分解公式（一）平方和分解公式回归平方和，分散性回归平方和，分散性来源于来源于 xi 分散性及回分散性及回归直线的斜率归直线的斜率残差平方和，即扣残差平方和，即扣除了除了 x 对对 y 的线性的线性影响后剩余的平方影响后剩余的平方和。和。U越大，说明随机误差所占的比重越小，回归效果越显著。越大，说明随机误差所占的比重越小，回归效果越显著。xy相关系数及其几何意义相关系数及其几何意义相关系数与回归平方和之间的关系：相
6、关系数与回归平方和之间的关系：U/lyy=r2，即相关即相关系数反映了回归平方和在总离差平方和中所占的比例。系数反映了回归平方和在总离差平方和中所占的比例。相关系数的几何意义相关系数的几何意义（二）线性回归的显著性检验（二）线性回归的显著性检验2、几个相关的抽样分布：设、几个相关的抽样分布：设 ，则，则3、检验法、检验法 检验假设：检验假设：H0:b=0(1)t 检验法检验法 (2)f 检验法检验法 (3)r 检验法检验法 水泥用量水泥用量x150160170180190200210220230240250260抗压强度抗压强度y56.9 58.4 61.6 64.6 68,1 71.374.
7、1 77.4 80.2 82.6 86.489.7试建立试建立y 对对x 的回归函数，并对回归的显著性进行的回归函数，并对回归的显著性进行检验。检验。例例1.1 某建材实验室在做陶粒混凝土强度试验中，考察某建材实验室在做陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量（每立方米混凝土的水泥用量（kg）对混凝土抗压强度对混凝土抗压强度(kg/cm2)的影响。经过的影响。经过28天的观测，得到如下数据：天的观测，得到如下数据：四、回归系数的检验及区间估计四、回归系数的检验及区间估计1、检验假设：、检验假设：H0:b=b02、b 的区间估计的区间估计例例1.4 K.Pearson 收集了大量父亲身
8、高与儿子身高的收集了大量父亲身高与儿子身高的资料，其中资料，其中10对数据如下：对数据如下：父身高父身高x:60,62,64,65,66,67,68,70,72,74儿身高儿身高y:63.6,65.2,66,65.5,66.9,67.1,67.4,68.3,70.1,70遗传学家遗传学家F.Galton 曾经断言：曾经断言：“儿子身高会受到父亲儿子身高会受到父亲身高的影响，但身高偏离平均水平的父亲，其儿子的身高的影响，但身高偏离平均水平的父亲，其儿子的身高有回归到子代平均水平的趋势。身高有回归到子代平均水平的趋势。”问问Pearson的的资料能否证实这一论断？资料能否证实这一论断？五、预测五、
9、预测预测预测：根据经验回归公式，对给定的：根据经验回归公式，对给定的 x0，预测预测 y 的的取值情况，如期望，期望值的区间估计等。取值情况，如期望，期望值的区间估计等。1、期望值的点估计、期望值的点估计2、期望值的区间估计、期望值的区间估计x1y1y2x2六、控制六、控制预测的反问题预测的反问题要求要求 y 在区间（在区间（y1,y2）内取值时，求出控制内取值时，求出控制 x 取值的取值的范围（范围（x1,x2）。）。即当即当 x1xx2 时，以至少时，以至少1-的置信度的置信度使使 x 所相应的观测值所相应的观测值 y 落入（落入（y1,y2）内。内。当当 n 足够大时，对于给定的（足够大时，对于给定的（y1,y2），），可通过解下列可通过解下列方程组方程组求得相应的（方程组方程组求得相应的（x1,x2）：）：七、过原点的直线回归七、过原点的直线回归相关关系：相关关系：讨论过程与一般情况相同，但要注意各检验及估计讨论过程与一般情况相同，但要注意各检验及估计中统计量的中统计量的自由度有所变化自由度有所变化。八、两条回归直线的比较八、两条回归直线的比较已知两条回归直线的有关参数如下表已知两条回归直线的有关参数如下表两条回归直线的比较的基本过程如下：两条回归直线的比较的基本过程如下：