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1、- 1 -第一章第一章 检测试题检测试题(时间:90 分钟 满分:120 分) 【选题明细表】知识点、方法题号集合的概念及关系1,3,11 函数的概念与表示、映射2,4,6,13 奇偶性8 单调性与最值5,7,9,12,15,17 函数的综合应用10,14,16,18,19,20 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 P=x|x-1|1,xR,Q=x|xN,则 PQ 等于( D )(A)P (B)Q (C)1,2 (D)0,1,2 解析:由于 P=x|0x2,Q=N,故有 PQ=0,1,2.2.设 f(x)=则 f(5)的值是( A )(A)24 (B
2、)21 (C)18 (D)16 解析:f(5)=f(f(10)=f(f(f(15)=f(f(18)=f(21)=24.故选 A. 3.已知集合 A=x|xf(2)=f(0), 所以当 x=3 时,函数 f(x)取得最大值 6, 综上可得函数 f(x)的值域是2,6.故选 B. 10.若 xR,f(x)是 y=2-x2,y=x 这两个函数中的较小者,则 f(x)的最大值为( B ) (A)2(B)1(C)-1(D)无最大值 解析:由题知f(x)=f(x)的图象如图,由图可知 x=1 时,f(x)max=1.故选 B.- 3 -11.设集合 P=2,3,Q=4,5,6,7,定义 PQ=(a,b)|
3、aP,bQ,则 PQ 中元素的个数为( C ) (A)5 个 (B)6 个 (C)8 个 (D)16 个 解析:由定义可得 PQ=(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5), (3,6),(3,7)共 8 个元素,故选 C. 12.已知函数 f(x)=x2-6x+8 在1,a上的最小值为 f(a),则实数 a 的取值范围为( A )(A)(1,3 (B)(1,+) (C)(1,5) (D)3,5 解析:将函数配方,f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1, 所以函数的图象开口向上,对称轴为直线 x=3, 因为函数 f(x)=x2-6x+8 在1,a上的最小值为 f
4、(a), 所以 11 时,f(x)0.综上使 时,f(x)0.给出以下结论:f(0)=- ;f(-1)=- ;f(x)为 R 上的减函数;f(x)+ 为奇函数;f(x)+1 为偶函数.其中正 确结论的序号是 . 解析:令 x=y=0,代入可得 f(0)=2f(0)+ ,因此 f(0)=- ,对;令 x=-y= ,代入可得 f(0)=f（ ）+f（- ）+ ,即- =0+f（- ）+ ,因此 f（- ）=-1,再令 x=y=- ,代入可得f(-1)=f（- ）+f(- )+ =- ,因此对;令 y=-1,代入可得 f(x-1)=f(x)+f(-1)+ ,即 f(x-1)-f(x)=f(-1)+
5、=-10, 因此 f(x-1)f(x),故错;令 y=-x,代入可得 f(0)=f(x)+f(-x)+ ,即 f(x)+ +f(-x)+ =0,因此 f(x)+ 为奇函数,对;因为 f(x)+1=f(x)+ ,由可知 g(x)=f(x)+ 为奇函数,g(x)+ -g(-x)- =2g(x)不恒为 0,故错. 答案: 三、解答题(共 40 分) 17.(本小题满分 8 分) 已知函数 f(x)=x2+ax+b 的图象关于直线 x=1 对称. (1)求实数 a 的值; (2)若 f(x)的图象过(2,0)点,求 x0,3时,f(x)的值域.解:(1)二次函数 f(x)=x2+ax+b 的对称轴为
6、x=- ,所以- =1,所以 a=-2. (2)若 f(x)过(2,0)点,所以 f(2)=0. 所以 22-22+b=0,所以 b=0,所以 f(x)=x2-2x. 当 x=1 时 f(x)最小为 f(1)=-1,当 x=3 时,f(x)最大为 f(3)=3, 所以 f(x)在0,3上的值域为-1,3. 18.(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=x2-2|x|-1,-3x3. (1)证明:f(x)是偶函数; (2)求函数 f(x)的单调区间;- 5 -(3)求函数的值域. (1)证明:因为-3x3,所以定义域关于原点对称. 因为 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=f(x),
7、所以 f(x)为偶函数.(2)解:f(x)= 函数 f(x)的图象如图所示.f(x)的单调增区间为-1,0,1,3;单调减区间为-3,-1,0,1. (3)当 x=3 时,f(x)max=2,当 x=1 时,f(x)min=-2,故 f(x)的值域为-2,2. 19.(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=mx2+nx+3m+n 是偶函数,且其定义域为m-1,2m. (1)求 m,n 的值. (2)求函数 f(x)在其定义域上的最大值. 解:(1)因为函数 f(x)=mx2+nx+3m+n 是偶函数, 所以函数的定义域关于原点对称. 又因为函数 f(x)的定义域为m-1,2m. 所以 m
8、-1+2m=0,解得 m= . 又因为函数 f(x)是偶函数, 所以 f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=mx2+nx+3m+n, 解得 n=0.(2)由(1)得函数的解析式为 f(x)= x2+1,定义域为- , , 其图象是开口向上,且以 y 轴为对称轴的抛物线,所以当 x= 时,f(x)取最大值. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a0),满足 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)当 x-1,2时,求函数的最大值和最小值. 解:(1)由 f(0)=2,得 c=2, 又 f(x+1)-f(x)=2x-1, 得 2ax+a+b=2x-1,故解得 a=1,b=-2.- 6 -所以 f(x)=x2-2x+2. (2)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,函数图象的对称轴为 x=1,且开口向上, 所以 f(x)单调递增区间为(1,+), 单调递减区间为(-,1).(3)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, 对称轴为 x=1-1,2, 故 f(x)min=f(1)=1, 又 f(-1)=5,f(2)=2,所以 f(x)max=f(-1)=5.