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1、第48课基本不等式及其应用（二）、填空题1 .已知函数y=x-3+% + l （xT）.若当x=a时，该函数取得最小值b,则a+b二.2 . （2014 四川卷）设niR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-ni+3=0 交于点P（x, y）,则PA - PB的最大值是.3 . （2014 武汉模拟）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩 形花园（阴影部分），则其边长X为.（第3题）x + 2y4 .若正数x, y满足2x+y-3=0,则的最小值为5 .设a0, b0,若G是3“与3b的等比中项,则7+工的最小值为6 .若对任意的x0, -+3X + 1 W
2、a恒成立，则实数a的取值范围是.7 .设奇函数f（x）在-1, 1上是单调增函数，且若函数f（x）t2-2at+l对所有的x -1, 1都成立,则当a -1, 1时,实数t的取值范围是,8 . (2014 宁德模拟)已知关于x的不等式x2-4ax+3a20)的解集为(xb x2),那么 aXI+X2+X/2的最小值为.二、解答题9 . (2014 安丰高级中学)已知在锐角4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (b2+c2-a2) tanA=逝 be.(1)求角A的大小；(2)若a=2,求AABC面积S的最大值.10 . (2014 湖北模拟)已知抛物线y2=8x的焦点为F,点(x
3、, y)为该抛物线上的动点,且 PA点A(-2,。)，求方 的取值范围.11 .如图，两个工厂A,B相距2 km,点0为AB的中点，现要在以0为圆心、2 km为半径的 圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼,其中MAJ_AB, NBAB.据测算,此办公楼受工厂A 的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数是1;办公楼受工厂B的“噪音影响 度”与距离BP的平方也成反比，比例系数是4;办公楼受A, B两厂的“总噪音影响度”y是 受A, B两厂“噪音影响度”的和,设AP为x km.(1)求“总噪音影响度”y关于x的函数解析式,并求出该函数的定义域.(2)当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？nV穴
4、、1初O（第n题）9高工0,由均值不等式得 y=x+l+ % + 1 -4 三2(x + l)xx + 1 -4=2,当且仅当x+1=+1,即x=2时取等号，所以第48课基本不等式及其应用(二)1. 4 解析:y=x3+ x + 1 =x+l+ x + 1 4,因为xT,所以x+0,a=2, b=2, a+b=4.2. 5解析：由题意可知，定点A(0,0), B(1,3),且两条直线互相垂直相！!其交点P(x,y)PT + PB?落在以AB为直径的圆上,所以PA2+PB2=AB2=10,所以PA - PBW2=5,当且仅当PA二PB时，等号成立.4()-y3. 20m解析:设矩形花园另一边长为
5、y叫则4。二3. 20m解析:设矩形花园另一边长为y叫则4。二40，所以x+y=40,所以面积S=xy=400,当且仅当x=y二20时等号成立，即当x=20时面积最大.4.3由 2x+y-3=0,得 3+3=1, 则门+ 323 X2+3=3.5. 4解析：由题意知3aX3J(同，即3比3,所以a+b=L所以a+b a+h h aQ + b=a + b =2+4+ 22+2=4,当且仅当a=b= 2时取等号,所以最小值为4.6.1一, + %解析：因为x0,所以x+%N2(当且仅当x=l时取等号)，所以x x+l + 3 _L 1 x11 +3x+l= x W 2 + 3 =M，即x?+3光+
6、1的最大值为M,故7. 代|1忘-2或1=0或122解析:因为奇函数f(x)在上是单调增函数，且f (-1)=-1,所以最大值为f=1,要使f (x) Mt?-2at+l对所有的x -1, 1都成立,则 lt2-2at+l, BPt2-2at0,即t(t-2a)20,当t=0时,不等式成立,当OWaWl时,不等 式的解为t2;当-IWaWO时,不等式的解为tbcW4,V3 V3所以S= 4 beW 4 X4二百，所以aABC面积S的最大值为百.10 .由抛物线的定义可得PF=x+2,又PA= J(% + 2尸 + y? _ J(x + 2)2 +8xPA J(x + 2)2+8x i1 一所以
7、百二 x + 2= V 八41+ 4,PA 当 x=0 时,=1;PA J x + + 4当xWO时，尸二丫了 ,p-84 Jx-44x +，+ 4因为x+1三2 V x=4,当且仅当X二巴即x=2时取等号，所以x+x+428,所以1W1,X+4所以 Y x e(l, v.PA综上，方的取值范围是1,0.712%.连接 OP,设 NAOP = a,则在aAOP中,由余弦定理得x2=+22-2XlX2Xcosa =5-4cosa , 在ABOP中，由余弦定理得Bp2=12+22_2lX2Xcos(r c()=5+4cosa,4 _J_所以BP2= 10x2,贝lj y=中 + /二7 + 后.7
8、12 兀11因为忘亍，所以-5wcosa 2, 所以3W5-4cos a W7,即 WxW 疗1To(10-x24、十三十后,所以y=7 + N,定义域为W,币._L 4_ _ _J_(2)方法一：由得y二工2+ 1。-/=10 (+ 10-Y ) x2+(10-x2) =10-x2 4x2107|0当且仅当f二10尸，即x2=7时取等号，此时X=亍 6,近.V30故当AP为3 km时，“总噪音影响度，最小. 4方法二:令t=x2,则y=7+l。（3WtW7）,/4)2-(3)2 ” + 10)-10)所以y，二八7二/(10力2二/(3)210令y =0,得t=3或io （舍去）.3、当t I 3 1时,y Yo,函数单调递减;fio G不7当t3 J时,y，0,函数单调递增.10 叵所以当t=3,即X=3 e6近时,y有最小值.V30故当AP为3 km时，“总噪音影响度最小.