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1、圆锥曲线定点问题知识剖析1定点问题的含义其实我们早已接触过了定点问题二次函数/(%) =-(Q + 1)% + Q 过定点(1 ,0),理由是：当 = 1时，不管a取什么数，都有y = 1 -(a + 1) + a = 0,故其过定点(1 ,0)； 指数函数/(%)=谟(。 0 过定点(0 ,1),理由是：当 = 0时，不管a取什么数，都有丫 = 。= 1,故其过定点(0,1)；对数函数g(x) = loga% (a 001)过定点(1 ,0)；理由是：当 = 1时，不管a取什么数，都有y = log。1 = 0,故其过定点(1 ,0)；直线方程点斜式:斜率为k,过点(%。/0)的直线方程为丫
2、 = 乂 %0)+%；那直线y = k(%-2) + 3,由于斜率k不确定，它表示的不是一条确定的直线，而是“直线簇”，但过定点(2 ,3),与k的取值无关；圆- a/+ y2 =。2,由于。的不确定，它表示的不是一个确定的圆，而是“圆簇”，但过 定点(0 ,0),与a的取值无关.Eg：曲线2 + Ay2 = 4(2 H 0)恒过定点.解从数的角度分析，x2 + Ay2 = 4 y2 - A + (%2 4) = 0 (*),即当 ,y取什么值时，不管;I取任何值方程(*)均成立，故由2y2= ，解喊：阈;二(%2 _ 4 = 0 (y = o ky = 0所以曲线+无产=4(/1。0)恒过定
3、点(2,0)、(-2 ,0).2求定点问题的方法方程恒成立法先求出满足特定条件的方程/(% fy ,m) = 0 (其中% ,y是变量，瓶是参数)(*),再证明当 = Xo= y()时,不管租取任何值方程(*)恒成立；Eg求证：直线/： (2/n + 1)汽+ (m + l)y = 7m + 4恒过某一定点P,并求该定点的坐标.证明：直线是一条动直线，它会随着血的变化而变化，若直线Z恒过一定点，即不管租取任何值，该点都在直线/上，v (2m + l)x + (m + l)y = 7m + 4 = (2% + y 7)m + x + y 4 = 0；不管7n取任何值，方程(2% + y - 7)
4、m + % + y - 4 = 0恒成立，丫 2,只有2% + y - 7 = 0, % + y - 4 = 0同时成立才行，解得丫二1， 故恒过定点尸(3 ,1).点拨：利用方程思想，把某曲线过一定点转化为方程恒成立问题；特殊值法通过特殊情况确定定点(一个也可能多个)，再证明它们满足特定条件.Eg求证：直线/： (2zn + 1)第+ (zn + l)y = 7m + 4恒过某一定点P,并求该定点的坐标. 证明：直线是一条动直线，它会随着血的变化而变化，当th = 0时，直线k x + y -4 = 0； 当zn = l时，直线%： 3% + 2y - 11 = 0；由卜：；为二;20,解得
5、即直线k与直线的交点为(3 .1)，若直线/： (2m + 1)% +(771 + l)y = 7m + 4恒过某一定点P,则该点只能是(3 ,1),显然；二:满足直线/方程(2zn + l)x + (m + l)y = 7m + 4,即点(3 ,1)在直线/上； 故直线(2m + l)x + (m+ l)y = 7m + 4恒过定点P(3 ,1).点拨：通过两条特殊直线，求出交点，确定交点只能是定点，再证明交点满足直线乙几何法通过平几知识点，确定某点符合某种运动规律.注：众多定点问题均与极点极线有关，若有所了解，有利于更快找到解题思路.经典例题【题型一】求某直线(或曲线)过定点【典题1】4
6、8是抛物线y2 = 2p%(p0)上的两点，且04 108,求证：直线48经过一个定点.22【典题2】如图，椭圆巳+套=1的两焦点& ,尸2与短轴两端点当 出构成NB2F/1为120, vvL/面积为2国的菱形.(1)求椭圆的方程；(2)若直线&y =忆 +血与椭圆相交于M ,N两点(M ,N不是左右顶点)，且以MN为直径的圆过椭圆右顶点4 求证：直线Z过定点，并求出该定点的坐标.22【典题3】 已知椭圆七+ =l(a/?0),直线上x + my-1 = 0过E的右焦点工 当巾=1时，椭圆的长轴长是下顶点到直线/的距离的2倍.(1)求椭圆E的方程；设直线与椭圆E交于4 B两点,在轴上是否存在定
7、点P,使得当根变化时，总有NOPZ =N0P8(。为坐标原点)？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由.【典题4】如图等边三角形048的边长为8次，且三个顶点均在抛物线E:/= 2py(p 0)上.(1)求抛物线E的方程；设动直线/与抛物线E相切于点P,与直线y= -1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.22【典题5】在平面直角坐标系0y中，如图，已知椭圆高十号=1的左、右顶点为/、B,右焦点为工 设过点7(9 ,血)的直线兀4、与椭圆分别交于点MQi ,%)、N(%2 ,%)，其中租0, % 0，为 0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于4、B两点，点C在抛物线的准线上，且
8、BC | %轴.证明直线4C必过久轴上的一定点.【题型二】某动点在定直线(或曲线)上22【典题1】设椭圆氏七 =1的焦点在轴上，设& ,尸2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q,并且&P1aQ,证明：当a变化时，点P在某定直线上.巩固练习1()已知定点MQo ,y)在抛物线?i:y2 = 2p%(p 0)上，动点4、8 zn且商才,祈万=0, 求证：弦48必过一定点.222()已知椭圆翥=1的右焦点为0(2,0),离心率为e.设48为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为的中点为N,若原点。在以线段MN为直径的圆上.证明点/在定圆上.?()已知抛物线C： y
9、2 = 2px(p 0)上横坐标为2的一点P到焦点的距离为3.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线04 ,。8的斜率分别为七，矽，且七6二 -2，证明：直线/经过定点，求出定点的坐标.4()过抛物线E： y2 = 2px(p 0)上一点例(1 , 2)作直线交抛物线E于另一点N.(1)若直线MN的斜率为1,求线段|MN|的长；(2)不过点M的动直线/交抛物线E于4 两点，且以4B为直径的圆经过点M,问动直线?是否恒过定点.如 果有求定点坐标，如果没有请说明理由.已知椭圆C：+=1(“/7()经过点。(1，产)，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.求椭圆。的方程；过椭圆C的右焦点尸的直线
10、与轴不重合）与椭圆C交于M ,N两点.是否存在一定点E（t ,0）,使得x轴 上的任意一点（异于点E 1）到直线EM，引V的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.6（巧 已知椭圆C：5 +，=1（q匕0）的离心率为且经过点（一1,一|）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点。0）作直线2与椭圆相交于48两点，试问在轴上是否存在定点Q,使得两条不同直线Q4Q8恰 好关于轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.7（）已知椭圆。：5+=1（。/）0）的离心率为，过左焦点厂的直线与椭圆交于48两点，且线段 的中点为（一|彳）.求椭圆C的方程;(2)设M为C上一个动点，过点M与椭圆。只有一个公共点的直线为过点尸与MF垂直的直线为%，求证: k与G的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.&()已知椭圆。:马+ 1=1(o50)的离心率为；点4民。1分别是。的左、右、上、下顶点，且四边形4DBE的面积为6遍.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知口是。的右焦点，过F的直线交椭圆。于RQ两点，记直线4P,BQ的交点为T,求证：点T在定直线， 上，并求出直线/的方程./)作斜率为:的直线/与椭圆C：1交于/ ,8两点(如图所示)，且P(3鱼，。在直线2的左上 3364方.证明：P4B的内切圆的圆心在一条定直线上；