《专题3-5 圆锥曲线定值问题-(人教A版2019选择性必修第一册) (教师版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题3-5 圆锥曲线定值问题-(人教A版2019选择性必修第一册) (教师版).docx（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、圆锥曲线定值问题知识剖析1定值问题在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值 特征.Eg一个球在水平面上无论怎么滚动，球心到水平面的距离都是半径长； 椭圆上一动点P到两焦点尸2的距离之和PF1+PF2为一定值2a；2解决此类问题的基本策略定值问题往往涉及到一连串的“运动变化”,要确定某几何量的定值,我们要先理解题意，明确“变化的源头”， 再找到源头与含定值特征的几何量之间的代数或几何关系，来确定解题的突破口.参数法把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关；解题步骤引进参数-列出关系式-化简消参，求出定值.由特殊到一般法把相关几何
2、量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关.几何法根据几何关系确定相关几何量的不变.经典例题【方法一】参数法22_【典题1】已知椭圆器+琶=l(abO)的左焦点&(1 ,0),长轴长与短轴长的比是2:疗(1)求椭圆的方程;(2)过&作两直线TH 九交椭圆于4,C 四点，若TH Ln,求证：/篙+备为定值由- 2)可得蜉2 一(4 + 4蜉) + 4蜉=0,可得当=红詈=胃$- = 2+1,yA = kxA -2) =-,即4(2+套，()，同理可得3(2+高，6 2.2_： AB =彳=忆1忆2(七+卜2)忆1七，则直线AB的方程为y = k1k2(x 2 三)+ ：=
3、人也( 2) 一等 +j = k1k2(x 2) + 2,可得直线ZB过定点F(2 ,2),则1尸=2,又E0 1FD ,(隐圆，定弦定角模型).。的轨迹是(2 ,1)为圆心，1为半径的圆，则存在定点7(2 ,1),使得线段TD长度为定值1.【点拨】“存在定点几 使得线段77)长度为定值。意味着动点。到定点7是定长，即D的轨迹是以丁为圆心的圆； 本题的“变化源头是七(或B),由的分析较为直接的思路是求出。的轨迹，具体作法：求出直线DE方 程，再与直线43联立求出点。的坐标(用的表示)，消参七后得到。的轨迹；这有个缺点是计算量较大；本题的解法属于几何法，在求出直线48方程，有“意外收获Z它有定点
4、(2 ,2),结合图象确定是“定弦 定角的隐圆模型1 可知。的轨迹，确定定点7(2 ,1).【典题2如图，在平面直角坐标系0y中，椭圆 +、=l(Qb0)的左、右焦点分别为&(c ,0), F2(c ,0).已知(1 ,?)和(0, 9)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设4 ,8是椭圆上位于支轴上方的两点，且直线与直线BF2平行，NF?与交于点P.(讥)求证：P& + PF2是定值.若gBF2 = 4 ,求直线AFi的斜率; 乙y2【解析】过程略，椭圆的方程为多+ V = L(2)解：由(1)得.a(1 ,0) .(1 ,0),又直线与直线BF2平行，,设与8尸2的
5、方程分别为 = my 1 ,x = my + 1.设，%)1(2 )Ji 。，丫2 。，(%2 42 = 1.由 2% ,可得(小 + 2)y 2瓶丫 -1 = 0.%i = myr - 1m+v2m2+2m+v2m2+2m2+2，7i =m-V2m2+2m2+2 0),则直线08的方程为y =-金产， ry = mx联立方程组卜2解得2 =，+ y乙=1l+4m2不妨设4在第三象限，财4(一篇，一彳筌)， Vl+4m2V1+47n2又 |0B|+i47n21+急V16m2 + 1V4m24-1V16m2 + 124-8m2., , , = 1,V4m2 + 1 Vl+4m2Vl+16m2又|
6、0川2l+4m24m2l+4m24+4m2l+4m2,0B216* + 14m2+1.|0川2 + |08|2=过驾=5,故。正确;l+4m2(V = mx联立方程组2 _ 4n7，可得第(%4m) = 0, (” - y故N(4m, 4m2),ON = 4mVm2 + 1,一高替换zn可得M(一 ,金石)，M到直线04的距离力M到直线04的距离力Vm2+1IT 一意 Somn =lON - h = 2zn(l + 焉)=2m + 2,当且仅当27n =-即zn =；时取等号. 2m24 =答3 = 5。22,故。正确.SOAB故选:ABCD.）在平面直角坐标系oy中，已知焦点为尸的抛物线/
7、= 4y上有两个动点/、B,且满足方=4而，过4、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.（1）求：而丽的值；（2）证明前四为定值.【答案】（1） 3 （2）022【解析】设力以%2尊） 44,焦点尸(0,1),焦点尸(0,1),.族=(一%L 1 ?),潘=- 1)，TAF = AFB消 a得1(?1)+ %2(1 弓)消 a得1(?1)+ %2(1 弓)化简整理得01 -冷)(竿+ 1) = 0丫2 2.A人1 人2V与W %2,1%2 = -4，y1y2 =7 4 = 1 0A OB = xTx2 + y1y2 -3(定值)(2)抛物线方程为y = 12,过抛物线/、B两点的切线方
8、程分别为y =- Xi) +和丫 =- 2)+即y = 1%1X -m和y = |x2x -乎联立解出两切线交点M的坐标为(笠Z 1) T TV 1 vv2 v2 丫2 丫2 丫2 v2 FM - AB =.-2)(%2 -= 0 (定值)?()已知，椭圆C过点4(1 ,|),两个焦点为(-1 ,0) ,(1 ,0).求椭圆C的方程；(2)E ,F是椭圆C上的两个动点，如果直线4E的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值, 并求出这个定值.【答案】(1) 9 + 9=1 (2) |【解析】(I)由题意c = L可设椭圆方程为三+言=1,解得匕2 = 3, / =：(舍去) 1+
9、4bz422所以椭圆方程为+3=l 43(H)设直线4E方程为：y = k(x-l)+l， 22代入亍 + 9=1 得(3 + 4k2)%2 + 4k(3 - 2k)x + 4(| -/c)2 - 12 = 0设EQeJe)，口(孙，好)，因为点4(1,|)在椭圆上，所以由韦达定理得：& + 1 =嗤券，物X 1二年胪,所以“E =+ | 一 忆又直线AF的斜率与4E的斜率互为相反数，在上式中以一K代K,可得孙=,yF = -kxF + | + 5 t,/v乙所以直线EF的斜率处尸=上=一即弟=iXp-xXpx2即直线7叩勺斜率为定值，其值为3224(巧 已知椭圆C：器+器=l(ab0)的长轴
10、长为4,上顶点为4左、右焦点分别为&且NFrAF2 = 60,。为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M、N为椭圆C上的两个动点，若丽丽=0,问：点。到直线MN的距离d是否为定值？若是，求 出d的值；若不是，请说明理由.【答案】(1) 9 + 9=1(2)第【解析】(1)设椭圆C的半焦距为G由已知可得2a = 4, a = 2,乙&AF2 = 60。，在RtZkO/Fz中，可得/。4尸2 = 30。，0A = b, 0F2 = c,/. AF2 = q = 2,. cosZ-OAF2 =-=,解得匕=V3.CL 222.椭圆。的方程为9+ 5 = 1; 43(2)当直线MN的斜率存不在时
11、，MN 1T由OMON = 0,可得0M10N,结合椭圆的对称性，可设N(x, %),则d = |%|,22将点叭招为代入椭圆方程，可得亍+ ；=1，解得汽=土第,解得汽=土第,d =当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为丫 = k% + zn,此时点。到直线MN的距离d =悬,即医=$，设/V(x2,y2),y = kx + mx2 y2 ,可得(3 + 4/)/+ 7nx + 47n2 -2 = 0,I = 143由4= 64/c2m2 4(3 + 4/c2)(4m2 12) 0,得？n2 又, OM ON = 0,. xrx2 + 7iy2 = ，即皿建2 = 0,解得m2=(1 +
12、小),A d2=-9即4=任. 77综上所述，点。到直线MN的距离d=第是定值.已知离心率为厚的椭圆马+ 丫2 = 1缶 1),与直线/交于P ,Q两点，记直线OP的斜率为七，直 OIX线0Q的斜率为七.(1)求椭圆方程；(2)若七.七二-9 则三角形。PQ的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) v + y2 = i (2) |rb = 1解得 Q = 3, C = 2V2,【解析】由题意，卜=9=乎 I a 3VQ2 = b2 + C2 b2 = a2 c2 = 1.y2 .椭圆方程为+ y2 = i；(2)设Q(第2/2)，当直线PQ的斜率存在时，设其方程
13、为y = kx + mf联立椭圆方程可得：(9/c2 + I)%2 + 18kmx + 9m2 9 = 0.m,i ,-18km9m2-9129H + 11 z9k2 + 1PQ = a/1 + 忆2 J % + %2)2 _ 4%2 =6V14-/c2V9/c2-m2+l9k2+l点0到直线的距离d=R vl+/czc11CCI J c / 俏2m2 . Snoq = 5 |PQ| d = 3J (1 一 罚).由七七yy2 _ k2Ki%2+km(%i+%2)+7n2 _1xrx2xx29化简得：9k2 = 27n2 -1,代入三角形面积可得S“Q = I；若直线的斜率不存在，可得S“Q=
14、今综上可得，三角形POQ的面积为定值: 乙22已知椭圆台+靠=l(a b 0)和圆0： x2 +y2 = b2 ，过椭圆上一点尸引圆。的两条切线，切点分别为4 B若圆0过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；若椭圆上存在点P,使得N4PB = 90。，求椭圆离心率e的取值范围;n2u2(2)设直线ZB与轴、y轴分别交于点M ,N,求证：氤 + 嬴为定值【答案】(1)曰，yel (2)【解析】.圆。过椭圆的焦点，圆o： x2 + y2 = b2, b = c, b2 = a2 c2 = c2, a2 = 2c2,V2e =一2由N4PB = 90。及圆的性质，可得|0。|=鱼乩WAP =乙OBP =
15、乙APB = 90,且|04| = |05| = b,则四边形。4BP是正方形，|OP| = AB = 同,.|OP=2b2 a2,.a2 -假设在轴上存在点Q(7n,0),使得Q4 - QB为定值.当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y = k(xl)(k H 0),联立3/ + 4y2 = 12,消去y,可得(3 + 4fck2a2+b2k2b2+a2则。到直线PQ的距离d,即为POQ斜边上的高,)%2 8k2x + 4fc2 -12 = 0,令4。1，丫1)，8。2，丫2)，则1 + %2 =黑7，X1X2 =左言，由Q4 = (%i QB = (x2 mf y2), 所以QA QB
16、= (%i m)(x2 ) + 7172 = (%i -)(%2 租)+ fc2(i 1)(%2 1)=(1 + /c2)%1%2 (血 + 攵2)(%1 + %2)+ m2(5 + 8?71)比2 123+4/C2(5 + 8?71)比2 123+4/C2+ m2,将加看做常数，要使得上式为定值，需满足5 + 86=16,即血=”， OT 1 or此时Q4QB = 一詈，当直线/的斜率不存在时，可得4(1,|)乃(1, |), Q弓,0),所以公=(一a|),诵二(一a|)，QAQB = -, O Zo Z04-11综上所述，存在Q(斗，0),使得QA-QB为定值.O【解析】(1)由题意可知
17、:设POlfl)，Q(%2/2)，由P,Q在椭圆上，则无=炉（1一第,犬=82（1_条）,0P2 + 0Q2 = xf + yf + %2 + y2 =小 + 口代入整理得:淄+好=层,（2）易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y = kx + m,设P（%i），（?（%2少2），y = kx + mx2 y2 _,消去y,整理得（炉 + a2k2）%2 + 2。2k7nx + 027n2 _02b2 = o./ +记=1mi .2a2kma2m2-a2b2贝!J+ %2 = - Z?-77 773，1 z b2+a2k21 z b2+a2k2由BPI BQ,且直线BP,BQ的斜率均存在，.,
18、空2 = -1,整理得 xrx2 + 7172 庐(丫1 + y2) + b2 = 0.%2.因为Yi =+血，=攵2 +血，所以 丫1 + 丫2 =忆(1 + %2)+ 2m, yry2 = k2 xrx2 + km( xr + x2) + m2- 整理得(1 + k2xrx2 + k(m h2)(x1 + x2) + 6 2 2b2 m + b2 = 0.(a2 + b2)m2 2b3m b2(a2 b2) = 0.解得m = J,：),或7n = 5(舍去). a2+b2直线PQ恒过定点(0, _27),(3)设OP方程为：y = fcx(fc0),Q(%”2)，则。Q方程为：y = *
19、%， K1，可得:婢。2 +必k2a2+b2OP2 = (1 + 1)肝=a2 b2(1+12)a2k2+b2同理可得：OQ2a2b2(1+仁2)_ a2b2(1+k2)d = OPOR _ PQJ|OP|2.|OC|5 d -pqi_I a2b2 a2+b2，（定值）.22【解析】(1)过程略，所求椭圆方程为亍+白=1;(2)证明：当直线TH斜率不存在时，此时|/8| = 3 fCD =4, - + - = - + -=-.1 111AB CD 3412当直线TH斜率存在时，设直线小的方程为y = k(x + l)(k*0).(y - k(x + 1)由y2 _,得(3 + 4/c2)%2
20、+ 8k2x + 4k2 -12 = 0.II = 1v4 3设 AQ1 ，71)1(2 )，则有/十 %2 = 一黑，/冷=先占，1阴=(l + H)(%+%2)2 4%2 = (1 + 肥)(_熊)2_4*合=嗡提 (求48用弦长公式)m 1九，.直线九的方程为y = (% + 1)K同理|CD|=*2.(同理可得，故整体计算量不太大) O fv I X*所以 1 +_ = 3+4-3)+4 = 7(1 +.)=7_7 AB CD 12(l+k2)12(1+H)12(l+k2)12,综上高+高为定值5【点拨】定值问题往往涉及到“运动变化 我们一定要找到其“源头”.我们是如下思考的线段48、
21、CO长度是分别随直线根、九的变化而变化I ：巾_1九，.,.直线m的变化决定了直线九线段Ad CD长度由直线血决定直线m过6(1,0)线段48、长度由直线血的斜率k决定这样就找到了“源头”，故想到用k表示线段/凤CD长度；找源头的方式决定了引入的参数;则直线PQ为定圆/ + y2 = 号的切线./)已知P是圆M： %2+丫2 + 41 + 44租2 = 0(根2)上任意一点，点村的坐标为(2 ,0),线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q,当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.(1)求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；(2)当血=代时，在x轴上是否存在一定点E,使得对曲线C的任意一条过E的弦熹
22、 + 备为定值？ EAEB若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.22【答案】(1)轨迹。是M ,N为焦点、,以2租为长轴长的椭圆，方程为C： W + =l；(2)定点为(士手，0),定值为磊+系=& 3|1/1|1) |【解析】由题意，|PQ| = QNfQN + QM = QP + QM = MP = 2m4,22- 轨迹。是KN为焦点，以2巾为长轴长的椭圆，方程为C： + *=1； mz-4(2)由(1)曲线。为? + y2 = i,设EQ。,。)，分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD,C。，则高+春=向+看即言二熹仔+此屋2,解得无。= 士手 S所以E若存在必为(土等,0)定值为
23、6.下证(土粤，0)满足题意.设过点E(等,0)的直线方程为 = ty +等，代入C中得(户+ 5)y2 + 4竺ty - - = 0,设4(%i，yi), B(x2,y2),则为+丫2 = 一瑛瑞，y，2=一温荷- I= 1=-(+ EA2EB2 (l + t2)yf (1+)秃(1+)1 火 y2j_1 比+秃 _1仇+丫2)2-2yly2一(1+/)ylyl - (1+产) (y，2)2(卫普尸+2 1_1 %(t2 + 5)，3(7 + 5) 一 人- ()2V3(t2 + 5)7同理可得E(-等,0)也满足题意.综上得定点为E（土产,0）,定值为册+系=6.D|C/11|1） I本题
24、采取参数法，AB. CD显然可理解为直线与椭圆的弦长，故用弦长公式表示线段，当直线小斜率k存 在时，看+看表示成关于参数攵的式子/(，则证明高+看为定值，即证明/()为常数便可； 若本题是一道非解答题，利用特殊法(即k不存在时)就很容易得到/为定值 I 5 I 1LJ IJ. /【典题2】椭圆。：盘+ 5=1(60)的离心率为/。(血 为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为 第勺直线/交C于4、8两点.当租=0时，PA-PB = -y.(1)求C的方程；(2)求证：IP川2 + |pb|2为定值.22【解析】(1)过程略，椭圆c的方程为3 + 9=1； 2516(2)依题意1的方程为 =|y+
25、m, 22代入土 + 匕=1,并整理得25y2 + 20my + 8(m【典题3】已知4、8是椭圆千+ y2 = 1上的两点，且存=2万，其中尸为椭圆的右焦点.(1)求实数4的取值范围；(2)在轴上是否存在一个定点M,使得疝而为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明代入土 + 匕=1,并整理得25y2 + 20my + 8(m【典题3】已知4、8是椭圆千+ y2 = 1上的两点，且存=2万，其中尸为椭圆的右焦点.(1)求实数4的取值范围；(2)在轴上是否存在一个定点M,使得疝而为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明 25) = 0.设 A(%1，%)1(2 )，则 |P4
26、/=(%m)2 +y/ = 、,16同理 |P8|2 =丫22.PA2 + PB2 =(yi2 +y22) =(yi + y2)2-2yiy2=葛(一等 J至嗤也=41.所以|川2 + |pB|2是定值.【点拨】本题的“变化源头”是TH,线段P4 PB的长度变化显然是由血的值决定的，故想到用血表示线段PA、PB, 则TH就是引入的参数； 本题采取参数法，线段24、PB用两点间距离公式J(%i -冷尸+ (丫1 - 丫2产表示成必与B 1如，进 而|P川2 +俨用2表示为关于血的式子/(何，证明伊川2 + |PB|2是定值即证明/(何是常数，与参数馆无关.直线L的方程设为 = Jy + m,降低
27、了计算量. 4理由.【解析】(1)由已知条件知：直线4B过椭圆右焦点F(1 ,0).当直线与久轴重合时，A = 3 2V2.当直线力B不与轴重合时，设4B： x = my + 1,代入椭圆方程，并整理得(2 + m2)y2 + 2my 1 = 0.设 ，71)，以第2 必)，由根与系数的关系得力+、2=，%丫2=荒所以四域=产(4 ,0.%丫22+m2又由4尸=X.FB,得一yi = 4y2，所以立这二 y/+，22+2%丫2 = _4 _ ： + 2 丘(_4 ,0,解之得3 - 2V2 A 7故存在定点,0),使得用4-MB为定值一看经检验，当与轴重合时也成立，存在定点,0)，使得苏丽为定
28、值一三. 416【点拨】 本题的“变化源头”是直线48,若设直线方程为 = my+ 1, “源头”可理解为血，即不管小取任何值, 加丽的值恒定不变，引入参数机；若式子鬻是定值，不受的影响，则有:=* 注意最后直线与轴重合特殊情况的分析.【典题4】一束光线从点&(-1 ,0)出发，经直线2：2%y + 3 = 0上一点P反射后，恰好穿过点?2(1 ,0).(1)求点尸的坐标;(2)求以&、尸2为焦点且过点P的椭圆C的方程;(3)设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点4、B,使得直线Q4、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点48的坐标；若不
29、存在，请说明理由.【解析】(1)设&关于/的对称点为F(巾,n),(由反射的性质，可知点尸fP ,尸2三点共线)贝脸。坦2 .善4+30,解得租=-9 n = |,即F(g ,|),易得直线PF方程为 + 7y - 1 = 0,X + 7y 1X + 7y 12% y + 3 = 0，解得P( j).(2)因为PR = PF,根据椭圆定义,得 2a = PR + PF2 = PF + PF2 = FF2 =2V2,所以a = V2.又c = 1,v2所以b = l.所以椭圆C的方程为q+ y2 = L(3)方法一假设存在两定点为4(s ,0) ,B(t ,0),y2y2x-s x-t工2 一
30、(s+t)x+s(斜率常用斜率公式k=肾处理)(若其是定值，则不受 的影响，先想到消元)(若其是定值，则不受 的影响，先想到消元)+ y2 = ，. %工,kQB =2-x2x2-(s4-t)x+st st+x2-(s+t)x2st + 2%2-2(S+t)%若要若要2-X22st+2%2 2(s+t)%是定值，则要满足2(s + t) = 02 _ -1 今2st 2s + t = 0st = 2，解得上或S1场,所以有且只有两定点(企,0) ,(-V2 ,0),使得%4%B为定值一方方法二 假设存在两定点为/(S ,0) ,B(t ,0),使得对于椭圆上任意一点Q(% ,y)(除长轴两端点
31、)都有- kQB =依/c为定值)，22即上T =) =忆将y2 = i千代入并整理得x-s x-t%z-(s+t)x+st2(k- k(s + t)x +/cst - 1 = 0(*)(相当要方程恒成立，与定点问题的方法类似)由题意(*)式对任意 6 (-V2升亘成立，3+；0卜7 卜7所以k(x + t) =。，解之得s = &或s =四.Ikst - 1 = 0 (t = V2 v = V2所以有且只有两定点(企，0) ,(-V2 ,0),使得%43b为定值意 乙【点拨】 方法一分式吧了产提定值=池=3 =且(即同项系数比相等)； + 匕 2%+。2a2 匕 2 C2方法二利用方程恒成立
32、的方法：式子a/ +人工 +。= 0对%恒成立=a = 0 ,b = 0 ,c = 0,设%力, kQB = k是关键；点P处的切线PT平分在点P处的外角.(椭圆的光学性质)【典题5】如图，在平面直角坐标系Oy中，已知椭圆C： m + 3=l(ab0)的离心率为看，以椭圆。左 顶点了为圆心作圆T: (x + 2)2 + y2 = r2(r 0),设圆厂与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求丽前的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于例，N的任意一点，且直线MP ,NP分别与轴交于点R ,S，。为坐标原点，求证：|OR|,|OS|为定值.丫2【解析】过程略，椭圆C
33、的方程为- + y2 = i.(2)过程略，前前最小值为g圆7的方程为( + 2)2+y2 =今.(3)分析：OR-OS = xRxs9故可求出直线MP ,PN方程从而得到%r如引入参数呢?方法一设P(%0 ,yo)，M(%1 ,yi), NQ1 ,-则直线MP的方程为y y0 =汉( -通)，令y = o,得益 =也匚皿，yo-yi同理%s = /y厂(把上式的力改为yi)yo+yi故孙.必=/吗-久。/(*)k y02-yi2-又点M与点P在椭圆上，故而2 = 4(1 - y2), %/ = 4(1 一 yj), 代入(*)式，4(l-y/)yo2-4(l 一 丫02)以2yo2-yi2曲
34、小？-% 2)_y02-yi2所以|0R|-|0S| =0|-|知1 =品si = 4为定值.方法二 设M(2cos。,sin。)，N(2cos3 , sinO), 不妨设sin。 0 ,P(2cosa ,since),其中simz W +sinO.则直线MP的方程为y - sina = 2cosa-icose 2cosa)，令y = 0,得 = 2(sinacosB-cosasine)J Rsina-sinO同理2+c。% 叫 (把上式的s山。改成S山。)smasinu4(sin2 acos2 0 - cos2 asin2 0)4( 0), &、尸2分别是它的左、右焦点，z(1 ,0)是其左
35、顶点，且双曲线的离心率为e = 2.设过右焦点F2的直线/与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内.(1)求双曲线的方程;(2)若直线AP、4Q分别与直线 = ?交于M、N两点，证明拓号两为定值;(3)是否存在常数九 使得NPF?/= 4NP4F2恒成立？若存在，求出4的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)过程略，双曲线c的方程为：/-号=1.(2)证明：设直线Z的方程为 = ty + 2,(源头是如则用t表示MF2-NF2,并证明其与t无关)另设P（%i /yi） ,Q（%2 ，丫2），联立联立xX=tvy+23f 化为 2 T）y2 + 12ty + 9 = 0.,-12t9%+丫2=环必又直线4P的方程为y = /。+ 1), +1代入第解得“弓3yl2（巧+ 1）同理n ，缶) Qmf2 =（-3yl2（%i + l），NF2 = G_3y2）2（%2 + l）.丽丽=2 + _ =，i+_ =，1 +乃为+3亡(，1+为)+9乃为+3亡(，1+为)+92244（%1 + 1）（工2 + 1）4 L（%+3）（02 + 3）4 L91 X3t2-1 JCX3t2-i + y(3)(分析：先通过特殊情况确定九 再证明一般情况下也成立)当直线/的方程为 = 2时，解得P(2 ,3).易知此时力F2P为等腰直角三角形,其中乙AF2P