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1、专题06经典三类球：外接球、内切球、棱切球【考点预测】考点一：正方体、长方体外接球1 .正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.2 .长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.3 .补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长=PA如图3所示.（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4考点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD的的棱长为将其放
2、入正方体中，则正方体的棱长为注2显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为氏=变4 且=迈。，即正四224面体外接球半径为R =4=考点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD中，AB = CD = m, AC = BD =几,AD=BC = t ,这种四面体叫做对棱 相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.Z?2 + c2 = m2如图，设长方体的长、宽、高分别为4hC,则,三式相力口可得/+/+/ =2+h2=t2由aABC和aPBC均为边长为2g的正三角形则ABC和aPBC的外接圆半径为 * = 2，2 sin 600又因为平面PBC1平面ABC,所以。27，平面ABC
3、,可知02T1。7且。27 =。/，过。2，。1分别作平面PBC、平面ABC的垂线相交于。点。即为三棱锥P-ABC的外接球的球心，且四边形。OWQ是边长为-卜国2 = 1的正方形，所以外接球半径/? = 5。；+。2尸2=4 = /,则球的表面积为2(反，故选：B.例8.(2022.全国.高一单元测试)四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时 正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为()A. (168 + 4876)B. (168+ 4276)C. (188 + 48C)乃D. (168 + 32指)4【答案】A【解析】【分析】画出直观图，梳理条件，再画出截面图，从中找到等
4、量关系，求出外接球半径，从而求出 外接球的表面积.【详解】如图1所示，正四面体45CD中，底面BCO, E、F、G、K为四个球的球心，M为 中点，连接BM, AM,易知三点共线，直线A”交平面EFG于点田，连接石仪， 交GF于点、N,则N为G尸的中点，因为内切球半径为2,故二4,画出截面如图2所示，正四棱锥EFGK外接球球心设为。，则正四面体ABC。的外接球球心与正四面体ErGK 外接球球心重合，设正四面体A8CO的外接球半径为七 正四面体石尸GK外接球半径为广, 在图2中，EK=4, EN = 2C，EH. =-EN = , KH尸巫,所以。修=还1 331313由 OE2=OH： + EH
5、：,即产=（生5 / +（逑,解得：r = V6I 3 J I 3 J所以O=生色= 133过点作于点P,则夕=2则 ABEPs （）：OE OH, BEEPOE OH, BEEP戊=3BE 2解得：BE = 6：.R = OB = BEOE = 6-y/6正四面体ABCD的外接球表面积S = 4不收=068 + 486）7AAB。图2图1故选：A【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和 接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点 为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在
6、 球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.（多选题）例9.（2022湖北.沙市中学高一期中）如图，已知棱长为1的正方体A5CD-44GA中，下列命题正确的是（）A.正方体外接球的半径为GB.点P在线段45上运动，则四面体P-4与G的体积不变C.与所有12条棱都相切的球的体积为叵 3D. M是正方体的内切球的球面上任意一点，则40长的最小值是转也【答案】BC【解析】【分析】对于A,利用正方体的性质即得，对于B,判断出四面体P-A用G的高为1,底面积不变即得，对于c.先求出球的半径R =4l,即可求体积，对于D.判断出线段40长度的 2最小值是A到球心的距离减去内切球的半径，直接求解即可.【详解】
7、对于A,由正方体的性质可知正方体外接球的直径为其体对角线，故正方体外接球的半径为巫，故A错误；2对于B,点p在线段A3上运动，则四面体p-4AG的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确；对于C,与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线血，贝=R-&2则球的体积 V = 7rR3 = X7TX (-)3 = 71，故 C 正确；3323对于D,正方体的内切球为正方体的中心，内切球的半径为广，可知线段AM长度的最小值是A到球心的距离减去内切球的半径，正方体A8CD A4G。的棱长为1,.一= 1, A到球心的距离为巫，所以40的最小值是1二1,故D错误.222故选：BC.在三棱锥P-AB
8、C中,例10. （2022广东广州市协和中学高一期中）AB = AC = BC = 35 PA = PB = PC = 5 , D、E、AB = AC = BC = 35 PA = PB = PC = 5 , D、E、产分别为A3、AC. 3c的中点，则以下结论正确的是（）论正确的是（）A.平面PD石，平面ABCB.平面曰F_L平面ABCC. AB平面尸EFD.三棱锥尸ABC的外接球表面积为粤16【答案】BCD【解析】【分析】对于A,利用逆推方式要证明面面垂直，就去证明线面垂直，再去证线线垂直，根据题意 不存在即可判断；对于B,根据面面垂直的判定定理及等腰三角形的三线合一即可判断；对于C,根据
9、线面平行的判定定理结合三角形的中位线定理即可判断；对于D,要求三棱锥P-外接球的表面积，首先找出外接球的球心，在利用球的半径、 截面圆半径、球心到截面圆圆心的距离三者关系求出球的半径，再利用球的表面积公式即可 判断；【详解】对于A,设AF与。石的交点为，则AF1DE，若平面尸。石，平面ABC,那么根据面 面垂直的性质定理，必有转，平面尸DE,此时须有成立，又因为加是转的中 点，此时须有B4 = P尸成立，上式显然不成立，故A不正确；对于B,由于A5 = AC,P3 = PC,尸为3C的中点，所以AFJ_3C, PFA.BC, AFPF = F 9故BCJL平面Q4/，而BCu平面ABC,所以平
10、面抬尸，平面ABC,故B 正确；对于C,由E,尸分别为AC, 3C的中点，得斯/AB,所u平面P7L平面PE产，所以因此43/平面PE7L故C正确；对于D,作PN八平面A3C垂足为N,则N为正三角形A3C的重心，所以= 3,9=月二？ = 4,设三棱锥尸-48。的外接球球心为。，则。在PN上，2 sin 60连接A。，设三棱锥尸-ABC的外接球半径为R,则在aAON中，/?2=（4-/?）2+32,解得R = 3,因此其外接球表面积为4成2 =等，故D正确.816故选：BCD.PPAC【点睛】解决此类型题的关系记住线面，面面平行与垂直的判定定理及性质定理，求外接球的问题 关键核心就是找出球心，
11、找球心的方法就是找截面圆的圆心，再做过截面圆的圆心的垂线, 球心就在过截面圆的圆心的垂线上，然后球的半径、截面圆半径、球心到截面圆圆心的距离 三者关系求出球的半径进而可以求解关于球的任何问题.【过关测试】一、单选题1. （2022.广东.海珠外国语实验中学高一期中）已知一个圆锥的母线长为2,侧面积为21. 若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为（）A. 4岳B.空兀C.皂兀D.迪开272727【答案】D【解析】【分析】由题可知球内切于圆锥，利用图形关系求得球的半径，即可得解.【详解】由题可知，母线曰=必=2,若内部有一个球，半径最大时，球内切于圆锥，如图所示，。为球心，加为球。与母线
12、尸3的切点，E为底面圆心，设球。的半径为上 底面圆E的半径为一因为圆锥侧面积为2，所以;（2）依=2兀，解得r= 1 = E8由勾股定理PE?=依2一eb? =4 1 = 3,所以P =6.又因为aPOM与尸BE相似，旦，解得人立，PB EB 213所以球的体积V=，R3=x2m = R.332727故选：D2. （2022.天津市求真高级中学高一阶段练习）正方体的外接球与内切球的表面积之比是）A. 1B. 3C. 3百D.今【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为。，求出其外接球的半径和内切球的半径，再根据表面积公式可得结果.【详解】设正方体的棱长为。，则其外接球的半径为正，内切球的半径为
13、:。，22所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是=3.故选：B3. （2022.云南师大附中高一期中）如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球，“蹴圆，“筑球， “踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠” 就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非 物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光 滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A, B, C,。满足AB = CQ = JT5cm, BD = AC = 275 cm, AD = B
14、C = 5cm,则该“鞠”的表面积为（）A. 20 71 cm2B. 24万cm2C. 27cm2D. 29cm2【答案】D【解析】【分析】由于=所以可以把A,氏。,。四点放到长方体的四个顶点上,则该长方体的体对角线就是“鞠的直径，求出体对角线长，从而可求出该“鞠”的表面积【详解】因为“鞠”表面上的四个点4 B, C,。满足A3 = CQ = JBcm, BD = AC = 2&m,AD = BC = 5 cm,所以可以把A氏CD四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的 直径，设该长方体的长、宽、高分别为羽xz, “鞠，的半径为R，则（2R）2 = / + ,2 + z2
15、,由题意得 f + 2 = 20, x2 + z2=13,y2 + z2=25,所以（2H）2=/ + y2 + z2=29,即 4R2=29,所以该“鞠”的表面积为4万斤=29%cn?,故选：D4. （2022浙江嘉兴一中高一期中）在三棱锥P-ABC中，B4、A3、AC两两垂直，AP = 3,BC = 6,则三棱锥外接球的表面积为（）A. 57兀B. 637rC. 457rD. 84万【答案】c【解析】【分析】由孙，AB9 AC两两垂直，可判定该三棱锥为长方体的一部分，则三棱锥的外接球即为长 方体的外接球，可知外接球半径为长方体体对角线的一半，进而求解.【详解】由于B4, AB, AC两两垂
16、直，故可得该三棱锥为长方体的一部分，因为外接球半径为长方体体对角线的一半，所以 左+松+北 _ Jp42 + bc? _ 3-2-2 T故 S = 4%R2 =45 4,故选：C5. （2022.安徽.合肥市第八中学高一期中）如图，在正四棱柱ABCD-A4G2中，底面7TA8CZ）是边长为1的正方形，尸为AA上一点，且满足NAPO = 5，PA = PD,则以四棱锥P-A3CQ外接球的球心。为球心且与平面P8C相切的球的体积为（）45r150所以。为球心且与平面PBC相切的球的半径为r = M =/故选：B.C 4也兀,75【答案】B【解析】【分析】在直角P4D中，求得PA = PD = M
17、结合球的性质，求得。即为四棱锥P-MCD的 2外接球的球心，分别连接尸MNQ,尸Q,过点。作OM_LPQ,证得。平面PNQ,求得OM=苏,得到所求球的半径一=,结合体积公式，即可求解.【详解】在直角24。中，AD = 1, PA = PD,可得 242+002=4)2,PA = PB = , 2过正方形ABC。的中心。作。，平面A8CO,取AO的中点N,连接ON,则QNJ_平面PAD,则直线。& AON =。，则0即为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，分别连接PN,NQ,R2,在VPN。中，过点。作OMJ_PQ, 又由BC_L平面尸NQ,可得。因为BCnPQ = Q,所以平面P3C,1 1一X
18、 OM OQOQPN ? 21又由VPNQ和QOM相似，可得无=奇，所以VM=及26. （2022.安徽.淮南第一中学高一阶段练习）在三棱锥P-A5C中，PB AC, PA = PB = AB = 2, AC = 4, BC = 2逐，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是（）112万c 25671D.-64万B.A. 52乃【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理证得AB，AC,再根据线面垂直的判定定理可得AC，平面故三棱锥 的外接球在过底面PAB外接圆圆心且垂直于底面PAB的直线上，利用正弦定理 求得APAB外接圆的半径为r，再根据三棱锥C-PAB外接球的半径为R求出外接球半径， 即可得出答案.
19、【详解】解：由 AB = 2,AC = 4,8C = 2百，所以 ablac,又PB人AC,ABcPB = B ,且依，AB平面以3,所以AC,平面RW,故三棱锥3-RLB的外接球在过底面PA3外接圆圆心且垂直于底面PA8的直线上,I 弘 2 由正弦定理,可得尸筋外接圆的半径为就鼠=百,所以三棱锥C-PAB外接球的半径为R =所以三棱锥C-PAB外接球的半径为R =64万 亍64万 丁所以三棱锥C-PAB外接球的表面积为S = 4乃胃=47r即三棱锥P-ABC外接球的表面积为S = 4爪2 = 4乃故选：B.222+ 而显然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为R,则2H + + / =
20、 4R2 ,所以 R 二H + + / = 4R2 ,所以 R 二222m + ” + 广考点四：直棱柱外接球如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心。的位置，。I是AABC的外心，则OQ_L平面ABC；第二步：算出小圆。1的半径A=r，OOX =-4, =-h （ A4=力也是圆柱的高）;2第三步：勾股定理:0A2 = 01 4 + 002 n R2 = (1)2考点五：直棱锥外接球如图，Q4J_平面A8C,求外接球半径.7.（2022福建龙岩高一期中）已知三棱锥A-BCD中，co = 2血，= AC = BZ） = AD
21、 = 2, 则此几何体外接球的表面积为（）A.也卫B. 2tiC.包身D. 8万33【答案】D【解析】【分析】根据三棱锥的几何特点计算出三棱锥外接球的半径，即可计算出表面积.【详解】如图，。为co的中点，根据题意，8CD和AC。都是直角三角形，且OA = OB = OC = OD = y/2.O是三棱锥外接球的球心，且外接球的半径R = OA = 42所以外接球的表面积为：S = 4标=冗.故选：D.8 .（2022.湖南,雅礼中学高一期中）在正三棱锥P-MC中，AB = 20 正三棱锥尸-ABC 的体积是46，则正三棱锥P-ABC外接球的表面积是（）A. 5兀B. 157rC. 25D. 3
22、5【答案】C【解析】【分析】根据体积求得锥体高度，利用正弦定理求出底面所在的圆的半径，结合勾股定理求得外接 球的半径，即可求出其表面积.【详解】如图所示，设点G为ABC的外心，则尸G，平面A3C,山 p-abc = z S八bc，PG x x 2/3 x 2G x- PG = 4百，PG = 4,则三棱锥尸-ABC的外接球的球心0在直线PG上.设其外接球的半径为七AG = 3 _ 2由正弦定理得。.万一，在mOAG中，0 G=|PG R|=|4 R|,2sin 3由勾股定理得OA2=og2 + AG2,即R2=2?+|4 R?，解得H = .（5 丫正三棱锥尸-ABC外接球的表面积是S = 4
23、tt/?2=4x - =25，故选：C.二、多选题9 .（2022.浙江宁波.高一期中）已知点A氏C。是半径为2的球面上不共面的四个点，且AB = CD = 26 则四面体A8CO体积的值可能为（）A. 3B. 4C. 4a/3D. 6【答案】AB【解析】【分析】设球心为。，瓦尸分别为A氏CD中点，根据球心的特征可知求得。石=。歹=1,知旦产是 以。为球心，1为半径的球面上的点，从而得到0vMWO+O尸=2,利用三棱锥体积公2式可确定匕.86 = 2匕V圮=752定（结合dWAE = 6, ?）边。上的高WE/W2可求得体积最大值，由此确定选项.【详解】设。为4氏C。所在球面的球心，E,F分别
24、为A民8中点, ；AB = CD = 26 . .OELAB, OE上CD且AE = CF = 6,.OE = OF = 1,则反尸均是以0为球心，1为半径的球面上的点，贝iOvE/WOE + O尸=2,2 石是A3中点，匕*8 = A-CDE=S.CDE-d为点A到平面CDE距离，dWAE = S， J J又 S.cDE=gcDh （为点 E 到CD 距离，hWEFW2）, V42x拽Ex也=4,当且仅当反。,产三点共线且ABLCD时等号成立.oc u 32”故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的外接球相关问题的求解，解题关键是能够确定人民8 中点反尸是以。为球心，1为半径的球
25、面上的点，从而能够确定点A到平面。E距离和点E 到CO距离的范围，利用棱锥体积公式可求得体积的最大值.TF10. （2022.福建师大附中高一期中）在直三棱柱ABC-agG中，=AC = AA,若该三校柱的外接球的表面积为28，则该三棱柱的体积不可能是（）A. 15B. 18C. 21D. 24【答案】CD【解析】【分析】m设AC = M=h2,求得1品的外接圆的半径一耳，结合球的表面积公式和球的截面性 质，列出方程求得根=26，再利用余弦定理和基本不等式求得底面ABC面积的最大值, 根据柱体的体积公式求得棱柱的最大体积，结合选项，即可求解.【详解】_ m7T2丫 = 在A5C中，ZABC =
26、 -, AC = m,所以外接圆的半径一.汽3sin 32mF即T，取上底面E4G和下底面ABC的外心，分别为。2。,连接002,取得。02的中点。，可得。为直三棱柱43C-A4G的外接球的球心,设直三棱柱ABC-A4G的外接球的半径为R,可得43?2=28不，解得代=7,在BOOi 中，可得032=0f2 + 00：,即/?2=（宝）2+（）2=7,解得加=12,所以 2 = 26，即直三棱柱ABC-4MG的高为2vLjr在 ZiABC 中，由余弦定理得 12 = +H -Zbccos=尸 +。2 -bc2bc-bc = bc ,当且仅当匕=c时，等号成立，所以。012,所以ABC的最大面积
27、为Smax = ；bcsing = 3G , J所以三棱柱ABC AiBC的体积的最大值为V = Sh = 3/3 x 2a/3 = 18.所以三棱柱ABC - 4 B不可能为21和24 .11.（2022.浙江省定海第一中学高一期中）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体, “等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等 腰四面体二 以下结论正确的是（）A.长方体中含有两个相同的等腰四面体B. “等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形C. “等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到D.三组对棱长度分别为。，h, C的“等腰四面体”的
28、外接球直径为五2+肥【答案】ABC【解析】【分析】作出长方体，根据等腰四面体的定义得出图形，根据长方体的性质判断各选项.【详解】如图，长方体ABC。-44GB有两个相同的等腰四面体：ACgn和AG8。，a正确;如等腰四面体4。田。中，每个面可能看作是从长方体截一个角得出的,如图，设AA，A4，AA的长分别为XXZ,不妨设则 BQ = J/ + 2 , AR =正 + z ， AM =y? + z? , B最大,其所对角的余弦值为cos其所对角的余弦值为cos0,(/+22(1*?_(工+ J?) ?2V?+7.G+z2- 6+7E+z2最大角/gA为锐角，三角形为锐角三角形，同理其它三个面都是
29、锐角三角形，各个面的三条边分别相等，为全等三角形，面积相等，B正确；把一个等腰四面体沿一个顶点出发的三条棱剪开摊平，则得一个锐角三角形，还有三条棱 是这个三角形的三条中位线，如等腰四面体AC8Q,沿A稣A，,AC剪开摊平，N1, PR共线,同理可得CM,。共线，4M，4N共线，MNP为锐角三角形（与等腰四面体ACM，的面相似），且BC，BR,CR是 这个三角形的中位线，因此C正确；如上等腰四面体4GBD中三条棱长分别是长方体的三条面对角线长，由长方体性质知长方体对角线是其外接球宜径，因此直.径长为小6+:，D错。故选：ABC.27乃12. （2022.重庆.高一阶段练习）若正四面体外接球的表面
30、积为，则（）A.该正四面体的体积驯4B.该正四面体的表面积为9匹C.该正四面体内切球的半径为逅4D.该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为直2【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A：利用公式S = 41产，求出半径，将正四面体放到正方体中考虑，即可快速 求出答案；对于选项B：利用体积差法，总体积减去四个规则小三棱锥的体积即可得解；对于选项C：根据内切球和外接球球心重合，求出正四面体的高减去外接球的半径，即为 内切球的半径；对于选项D：外接球半径减去内切球的半径即可得解.【详解】Din设正四面体的外接球半径为七则44/?2=妾， 2得我=班. 4把正四面体A C77G补形
31、为正方体ABC。一E/77G,则A =立”=班， 24= , AF=3.A正确.A正确.该正四面体的表面积为4s,g=4x；x3x3x* = 9百，B错误.设正四面体的高为人则匕仃6=52玲,/2 =述人=逆，得卜=娓，因为正四面体的外 A-CAC/ 3 /ArO24接球球心与内切球球心重合，所以内切球半径=指侦=，C正确. 44该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为还-如=如，D442正确.故选：ACD.三、填空题13. （2022福建宁德高一期中）已知A,3, CO四点在球。的表面上，AB = 0 AC = 1,BC = 2,若四面体ABC。的体积的最大值为立，则球。
32、的表面积为.2100 【答案】-9【解析】【分析】由题意可知43C的外接圆圆心。|即为3C的中点，若四面体43CO的体积 的最大值,则点D在00的延长线与球0的交点,根据。2 + 2 = 0C2可求球0的半径.【详解】如图，:+则 A3_LACABC的外接圆圆心01即为3C的中点，则。=1 ,1J V-若四面体ABCD的体积的最大值，则点D在。的延长线与球0的交点则有：!O,D.S：=也，可得：Q = 331ZA/1OV 2设球。的半径为R,则有：OQ = 3 R,OC = R 0。2 + 0 = 0C2 即（3 尺）2 +1 = R?：.R = ,则球。的表面积5 = 4万4=图. 39故答
33、案为：咽.14. （2022湖南师大附中高一期中）在棱长为4近的正方体空盒内，有四个半径为的小 球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R的大球 放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切 不松动，则小球半径的最大值为;大球体积的最小值为.答案72 空包兀24【解析】【分析】当正方体盒内四个小球最大时，四个小球相切，且与正方体侧面相切，易求此时小球半径 一为正方体棱长的!，大球球心与四个小球球心构成一个正四棱锥，根据大球和正方体盒盖 4相切即可求出大球半径，从而求出大球体积.【详解】由题意，正方体盒内四个小球最大时，四个小球
34、相切，且与正方体侧面相切，此时小球半径一=逑=血，则小球体积最大值为3 a3 =还兀，433显然大球此时最小，大球球心。与四个小球球心。2，Q,。4构成一个正四棱锥，002=2 = 2叵,侧棱OQ=R +及，设正方形形。2。3。4的中心d，则设M=2,高明=冏=J（a + 2_22 =正+2后 2 ,将。回向两端延长交上底面于从 交下底面于K,则：HK = OH + OH+HK = R + OH+r = 46,故正+正+2后一2 +血=40 ,即正+2舟一2=30-火,解得/?二孚大球体积的最小值为如呼萼兀故答案为：0;些E兀.2415. （2022.云南昆明.高一期中）已知三棱锥P-ABC的
35、四个顶点在球。的球面上，且满 足条件 出=3, PB=4, PC=5, PAA,PC, PB_LPC, PAA,PB,则球 O 的表面积为【答案】50%【解析】【分析】由题意，由点P为一个顶点，PA, PB, PC为三条相邻棱，构造长方体aQRCERS,由三棱锥尸-ABC与长方体PADB-CEFG内接于球O求解.【详解】如图所示:因为 B4=3, PB=4, PC=5, B41PC, PB1PC, PA.LPB,所以以点P为一个顶点，PA, PB, PC为三条相邻棱，构造长方体必Q3-CE/G, 由于点P, A, B,。都在球。的球面上，显然长方体RIDB-CEFG内接于球O, 其对角线P尸长
36、就是球0的直径，所以2/? =，3?+42+52 =回= 50，解得H =半，所以球。的表面积S = 4R2=4x = 50.4故答案为：5016. （2022.浙江省杭州第二中学高一阶段练习）已知正方形A3CO的边长为2,点E为边AB 的中点，点尸为边8C的中点，将AEDADCFABEF分别沿DE, DR EF折起,使A,3,C 三点重合于点P,则三棱锥2-。尸的外接球与内切球的表面积之比为.【答案】24【解析】【分析】根据题意得三棱锥P-OE尸中，PD, PE, P尸两两垂直，且PE=PF=1, PD=2,进而三棱锥 P-QEF的外接球即为以PQ, PF, PE为邻边的长方体的外接球，进而
37、求得外接球的半径与 表面积，再根据等体积法求解内切球的半径，进而计算内切球的表面积，最后计算比值即可 得答案.【详解】如图，依题知 AOLAE, CD1CF,故 PD 工 PE, PFA.PD,又PECPF = P,故尸平面P防，又Fu平面PEF,故PgEF,所以三棱锥P-DE厂中，PD , PE , P尸两两垂直，且PE=PF=1, PD=2, 所以三棱锥P-O石尸的外接球即为以P。，PF, PE为邻边的长方体的外接球， 故外接球半径R满足2尺=J1 + 1 + 4 =巫,外接球表面积为：4次=64, 因为三棱锥P-DEF的表面积为正方形ABCD的面积，故 S表=2x2 = 4 , VP_D
38、EF = -x xlxlx2 = -,设三棱锥P-DE/的内切球半径为人 故由等体积法得!S表厂=匕一），得厂=；解题步骤：第一步：将AA3c画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AO,连接 PD,则PD必过球心O；第二步：。为AABC的外心，所以。Q J平面ABC,算出小圆。的半径OQ = r(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得，-=上 =，=24 OO1=-PA；sin A sin B sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2H)2 = PA2 + (2r)2 2R = y/PA2 + (2r)2 ；R2=r2+OO2 o R =4r2+00；.考点六：正
39、棱锥外接球正棱锥外接球半径：R =士S.2/i考点七：垂面模型如图1所示为四面体尸-ABC ,已知平面P43，平面A3C ,其外接球问题的步骤如下：(1)找出APAB和/XABC的外接圆圆心，分别记为。1和。2(2)分别过01和名作平面和平面A3C的垂线，其交点为球心，记为。.(3)过。作A3的垂线，垂足记为。，连接。之。，则(4)在四棱锥A -DOOO中，AO垂直于平面。000),如图2所示,底面四边形。00。)的四个顶点共圆且。为该圆的直径.故内切球表面积为4%产= ,4”二24所以三棱锥尸-DE尸的外接球与内切球的表面积之比为 一.4故答案为：24.17. （2022广西高一阶段练习）已
40、知三棱锥P-A3C的四个顶点在球。的球面上，且满 足条件PA = 3, PB = 4, PC=5, AB = 59 AC = V34, BC =匹,则球。的表面积为.【答案】50【解析】【分析】由PA，PC, PBLPC,结合长方体模型得出球。的半径，进而得出球。的 表面积.【详解】7T由题意可知，PA = 3, PB = 4, AB = 5,可得 PH +尸4=432,所以乙4P8 = 5,即同理可得，R41PC, PBA.PC,以点P为一个顶点，雨，PB, PC为三条相邻棱，构造长 方体 PADB CEFG.由于点P, 4 B, C都在球。的球面上，显然长方体CEFG内接于球。，其对角线尸
41、尸长就是球。的直径，所以2H = J32 +4? +5?=屈=5五，R =，所以球。的表面积S = 4R2=4xW = 50.4故答案为：50%18. （2022.湖南.长沙市南雅中学高一期中）在九章算术中，将四个面都为直角三角形 的三棱锥称之为鳖蠕（bienao）.已知在鳖犒MABC中，平面ABC, MA =AB =BC = 2,则该鳖膈的外接球的体积为.【答案】川。【解析】【分析】根据鳖席的四个面都为直角三角形，且M4_L平面ABC, MA=AB=BC=2,可得MC的 中点。为四面体MABC外接球球心，求出的长，从而根据球的体积公式即可求解.【详解】解：因为平面A5C, 3Cu平面ABC,
42、所以M4J_8C,同理MAJ_AC,又AB=BC=2,且ABC为直角三角形，所以AB_LBC,又43。肱4 = 4, AB, MAu平面 AM5,所以 BCJ_平面 AM3,又MBu平面M4B,所以所以MC的中点。到M, A, B,。四点距离相等，即为四面体MA3C外接球球心， 又由已知得人。=万万=20，。=，22+（2五=26，所以该鳖腌的外接球的半径为6,所以该鳖腌的外接球体积为阴3 =4岳.故答案为：467r.19. （2022.安徽.合肥市第六中学高一期中）用半径为1的半圆形纸板卷成一个圆锥筒，则 该圆锥筒内切球的体积是.【答案】-71 54【解析】【分析】根据题意得圆锥的母线长是1
43、,根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，得到圆锥底面的半径, 再利用轴截面的性质，结合三角形的面积等于三角形的周长乘以三角形内切圆半径的一半, 求得圆锥内切球的半径，利用球的体积公式求得结果.【详解】圆锥筒的母线长是1.设圆锥筒的底面半径是广，内切球的半径是R,则2夕=不，厂=；.71 , 54由!(1 + 1 + 1)/?=去12, R = W4故该圆锥筒内切球的体积是士次3故答案为：-兀. 5420. （2022.山西高一期中）若正三棱柱ABC-A4G既有外接球，又有内切球，记该三棱 柱的外接球和内切球的半径分别为R,八则外接球和内切球的表面积之比为.【答案】5【解析】【分析】正三棱柱ABC-4
44、MG的外接球和内切球的球心相同，根据题意分别求出外接球和内切球 的半径R, 由球的表面积公式即可求出外接球和内切球的表面积之比.【详解】可将正三棱柱ABC-AQ置于圆柱0。2内,使得13。，aamg的外接圆分别为圆。2,圆。一设AB%,圆柱。底面圆的半径为孙 母线长为人则002的中点。到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则。为圆柱。2外接球的球心.设球。的半径为七则心八疗十二 V又因为正ABC内切圆的半径与内切球的半径相等，所以正内切圆的半径为小由三角形等面积法可得立/=.3.尸,42解得 则 % = 2厂= 63_ a _ V3 圆。）的半径为“ = ” = 7”, 2sin 3因此表面积之比为
45、一图1图2考点八：锥体内切球方法：等体积法，即尺=3匕本积S表面积考点九：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形【典型例题】例1.（2022河北邢台高一阶段练习）已知菱形A3CD的边长为26, NW = 60。，将4 48。沿折起，使4 C两点的距离为2石，则所得三棱锥A-8CD的外接球的表面积为（）A. 12乃B. 184C. 24D. 30万【答案】B【解析】【分析】确定折起后三棱锥A-8CQ为正四面体，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面 对角线是正四面体的棱，正方体的对角线就是外接球的直径，此球也是三棱锥A-BCQ的外 接球.由此计算可得球表面积.【详解】由已知得B4D为等边三角形，对角线BD = AB = BC = CD = DA = 273将沿折起，使4。两点的距离为2石，折起后三棱锥4叱。为正四面体，各棱