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1、专题06经典三类球：外接球、内切球、棱切球【考点预测】考点一：正方体、长方体外接球1 .正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.2 .长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.3 .补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长=PA如图3所示.（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4考点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD的的棱长为将其放
2、入正方体中，则正方体的棱长为注2显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为氏=变4 且=迈。，即正四224面体外接球半径为R =4=考点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD中，AB = CD = m, AC = BD =几,AD=BC = t ,这种四面体叫做对棱 相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.Z?2 + c2 = m2如图，设长方体的长、宽、高分别为4hC,则,三式相力口可得/+/+/ =2+h2=t2222+ 而显然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为R,则2H + + / = 4R2 ,所以 R 二H + + / = 4R2 ,所以 R 二222m
3、 + ” + 广考点四：直棱柱外接球如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心。的位置，。I是AABC的外心，则OQ_L平面ABC；第二步：算出小圆。1的半径A=r，OOX =-4, =-h （ A4=力也是圆柱的高）;2第三步：勾股定理:0A2 = 01 4 + 002 n R2 = (1)2考点五：直棱锥外接球如图，Q4J_平面A8C,求外接球半径.解题步骤：第一步：将AA3c画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AO,连接 PD,则PD必过球心O；第二步：。为AABC的外心，所以。Q J平面ABC,算出小圆。
4、的半径OQ = r(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得，-=上 =，=24 OO1=-PA；sin A sin B sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2H)2 = PA2 + (2r)2 2R = y/PA2 + (2r)2 ；R2=r2+OO2 o R =4r2+00；.考点六：正棱锥外接球正棱锥外接球半径：R =士S.2/iA考点七：垂面模型如图1所示为四面体尸-ABC ,已知平面P43，平面A3C ,其外接球问题的步骤如下：(1)找出APAB和/XABC的外接圆圆心，分别记为。1和。2(2)分别过01和名作平面和平面A3C的垂线，其交点为球心，记为。.(3)过。
5、作A3的垂线，垂足记为。，连接。之。，则(4)在四棱锥A -DOOO中，AO垂直于平面。000),如图2所示,底面四边形。00。)的四个顶点共圆且。为该圆的直径.图1图2考点八：锥体内切球方法：等体积法，即尺=3匕本积S表面积考点九：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形【典型例题】例1.（2022河北邢台高一阶段练习）已知菱形A3CD的边长为26, NW = 60。，将4 48。沿折起，使4 C两点的距离为2石，则所得三棱锥A-8CD的外接球的表面积为（）A. 12乃B. 184C. 24D. 30万例2. （2022安徽合肥市第六中学高一期中）设直三棱柱ABC-4MG的所有顶点都在一
6、个球面上，AB = AC = AA1, ZBAC = nO0,且底面ABC的面积为，则此直三棱柱外 接球的表面积是（）A. 16B.丑巫2C. 40D. 647r3例3. （2022.湖南.长郡中学高一期中）如图，在正四棱台ABC。-4ACQ中，45 = 4, 4月=2,若半径为一的球。与该正四棱台的各个面均相切，该球的表面积S=（）A. 4A. 4B. 6式C. 8万D. 10万例4.（2022河北省唐县第一中学高一期中）已知三棱锥尸-ABC的各顶点都在同一球面上，且应1平面45C, AB1AC,且AB = AC = 1,若此球的表面程等于4乃，则三棱锥尸-ABC的体积为（）A. B. 1C
7、. D.-633例5.（2022河南高一期中）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA = PB = 4, PC = 5,AB = 5,AC = V34, BC =屈,则球。的表面积为（）A. 16B. 25C. 32万D. 50%例6. （2022.全国.高一单元测试）如图所示，正方体的棱长为6,以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（）A. -B.C. D. 4万63例7. （2022山西大同市第二中学校高一期中）球。为三棱锥P-ABC的外接球，MC和心。都是边长为2K的正三角形，平面尸3C1平面A3c则球的表面积为（）A. 28B, 20万C.
8、 18D. 16万例8.（2022.全国.高一单元测试）四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时 正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（）A. （168 + 48C）万B. （168 + 42八）7C. （188 + 48C）%D. （168 + 32C）%（多选题）例9.（2022.湖北.沙市中学高一期中）如图，已知棱长为1的正方体ABC。-AG2中，下列命题正确的是（）A.正方体外接球的半径为6B.点P在线段A3上运动，则四面体尸-4片G的体积不变C.与所有12条棱都相切的球的体积为巨3D. M是正方体的内切球的球面上任意一点，则4W长的最小值是凡立在三棱锥P-A5
9、C中,例10. （2022广东广州市协和中学高一期中）AB = AC = BC = 3瓜 PA = PB = PC = 5 , D、E、AB = AC = BC = 3瓜 PA = PB = PC = 5 , D、E、产分别为45、AC. 8C的中点，则以下结论正确的是（）A.平面PDE，平面ABCB.平面Q4FJ_平面ABCC. AB平面PEFD.三棱锥尸-脑。的外接球表面积为喀16【过关测试】一、单选题1. （2022,广东海珠外国语实验中学高一期中）已知一个圆锥的母线长为2,侧面积为21.若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为（）A. 4昌B.空兀C.且D.迪不2727272.
10、 （2022.天津市求真高级中学高一阶段练习）正方体的外接球与内切球的表面积之比是（ ）A. -B. 3C. 373D.3Y93. （2022.云南师大附中高一期中）如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠” 就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非 物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光 滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A, B, C,。满足A5 = CZ） = JBcm, BD = AC = 2
11、45cm, AD = BC = 5cm,则该“鞠”的表面积为（）A. 201cm2B. 24%cm?c. 27cm2D. 29cm24. （2022浙江嘉兴一中高一期中）在三棱锥PABC中，、A5、AC两两垂直，A尸二3,BC = 6,则三棱锥外接球的表面积为（）A. 57B. 637rC. 45万D. 84万5. （2022.安徽.合肥市第八中学高一期中）如图，在正四棱柱ABC。-中，底面TTA3CQ是边长为1的正方形，P为AA上一点，且满足=PA = PD,则以四棱锥P-A8co外接球的球心。为球心且与平面P8C相切的球的体积为（）A噜C 4石不75D.46r1506. （2022安徽淮南
12、第一中学高一阶段练习）在三棱锥A3。中,PB AC, PA = PB = AB = 2, AC = 4,8C = 2逐，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是（）A. 52 11123c 2567rD.37. （2022福建龙岩高一期中）已知三棱锥A-BCD中，co = 2血，= AC = AD = 2,则此儿何体外接球的表面积为（）D. 8万A.华8. （2022湖南雅礼中学高一期中）在正三棱锥P-ABC中，ab = 2百，正三棱锥P-A8C的体积是46，则正三棱锥尸-ABC外接球的表面积是（）B. 15 1C. 25兀D. 35/r二、多选题9. （2022浙江宁波高一期中）已知点A3,C。是
13、半径为2的球面上不共面的四个点，且 ab = cd = 2B 则四面体A8CO体积的值可能为（）A. 3B. 4C. 4、nD. 6TT10. （2022福建师大附中高一期中）在直三棱柱ABC-AAG中，ZABC = -, AC = AA.,若该三校柱的外接球的表面积为28，则该三棱柱的体积不可能是（）A. 15B. 18C. 21D. 2411.（2022.浙江省定海第一中学高一期中）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体, “等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等 腰四面体”，以下结论正确的是（）A.长方体中含有两个相同的等腰四面体B. “等腰四
14、面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形C. “等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到D.三组对棱长度分别为。，b, C的“等腰四面体”的外接球直径为2+62+。227412. （2022.重庆.高一阶段练习）若正四面体外接球的表面积为丁，则（）A.该正四面体的体积逑4B.该正四面体的表面积为9后C.该正四面体内切球的半径为逅4D.该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为如2三、填空题13. （2022福建宁德高一期中）已知A,8, CZ）四点在球。的表面上，AB = 8, AC = , BC = 2,若四面体A8CO的体积的最大值为且，则球。的表面积为.2
15、14. （2022.湖南师大附中高一期中）在棱长为40的正方体空盒内，有四个半径为一的小 球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为A的大球 放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切 不松动，则小球半径的最大值为;大球体积的最小值为.15. （2022云南昆明高一期中）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，且满足条件抬=3, PB=4, PC=5, PAA,PC, PBA.PC, PAA.PB,则球。的表面积为16. （2022.浙江省杭州第二中学高一阶段练习）已知正方形ABC。的边长为2,点、E为边AB 的中点，点
16、b为边8C的中点，将AEDADCFABEF分别沿折起,使A5C 三点重合于点P,则三棱锥月-。斯的外接球与内切球的表面积之比为.17. （2022广西高一阶段练习）已知三棱锥尸-ABC的四个顶点在球。的球面上，且满 足条件a = 3, PB = 4, PC = 5, AB = 5, AC = V34, BC = M，则球。的表面积为.18. （2022.湖南.长沙市南雅中学高一期中）在九章算术中，将四个面都为直角三角形 的三棱锥称之为鳖席（bienao）.已知在鳖席MABC中，AM_L平面ABC, MA =AB =BC = 2,则该鳖膈的外接球的体积为.19. （2022.安徽.合肥市第六中学高一期中）用半径为1的半圆形纸板卷成一个圆锥筒，则 该圆锥筒内切球的体积是.20. （2022山西高一期中）若正三棱柱ABC-A4G既有外接球，又有内切球，记该三棱 柱的外接球和内切球的半径分别为凡一，则外接球和内切球的表面积之比为.