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1、专题02集合的基本运算及性质应用督【专题导航】知识点一、集合的基本运算1知识点二、集合的运算性质2高频考点1集合的基本运算4高频考点2与集合有关的创新题目7腮【教材内容全解】知识点一、集合的基本运算求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部 元素，剩下的元素构成的集合即为CuA.集合的并集集合的交集集合的补集符号表示AUBAAB若全集为U,则集合A的补集为CuA图形表示AUBAQBu O kA J集合表示x|xA,或 xB)x|x A,且 xBx|xeu,且遥A知识点二、集合的运算性质(1)AAA = A, AC0=0, AAB=BAA.(2
2、)AUA = A, AU0=A, AUB = BUA.(3)ACl(CuA) = 0, AU(CuA)=U, Cu(CuA)=A.法【典例剖析】高频考点1集合的基本运算【解题关键】有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知 识相结合，难度一般不大，常见的类型有：(1)有限集(数集)间集合的运算求解时，可以用定义法和Venn图法，在应用Venn图时，注意全集内的元素要不重不漏.(2)无限集间集合的运算A. x 1 x2【易错辨析4】已知集合。=工|104, Q = 2vx3,则Pp|Q=(B. x|2x3D. 尤|1九4C. x3x4【答案】B【解析】PI
3、2 = (1,4)1 (2,3) = (2,3)免费增值服务介绍嚼学科网 e卷组卷系统3 学科网() 致力于提供K12教育资源方服务。网校通合作校还提供学科网高端社群 出品的老师请开讲私享直播课等 增值服务。3组卷网() 是学科网旗下智能题库，拥有小初高全 学科超千万精品试题，提供智能组卷、 拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源回复ppt免费领180套PPT模板回复天天领券来抢免费下载券常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围.【概念全解】1.集合的基本运算2.集合运算的相关结论运算自然语言符号
4、语言Venn 图交集由属于集合A且属于 集合B的所有元素组 成的集合AB = xxe A且xe B并集由所有属于集合A或 属于集合B的元素组 成的集合AJB = x| x e AWlx e BG3E)补集由全集U中不属于集 合A的所有元素组成 的集合= x| xe。且xe A交集API 丘 A= AAp|0 = 0并集AU33AAU A = AA|J0 = AAJB = BJA补集期(UA) = A0 = U(a)aa = 0a)ua = u3 .必记结论= 枷= uBAuB) = 0.【典例1】(全国卷I改编)已知集合M=x|4xV2, 7V=-x-60,则MCN=( )A. x|4x3B.
5、 x|4x 2C. x-2x2D. x|2x3【答案】C【解析】V7V= x|x2-x-60 = x|-2x3, M=x4x29：.MHN=x-2x2,故选 C。【变式1-1(全国卷n改编)设集合4 = 小2-5%+60, B=x|x-10,则AriB=( )A. ( 00, 1)A. ( 00, 1)A. ( 00, 1)B. (-2,1)C. (-3, -1)D. (3, +oo)【答案】A【解析】由题意得4=国工3, B=xxl,：.AHBxxo【变式 1-2(2019浙江高考)已知全集。=-1,0,123,集合 A=0,l,2, 5= - 1,0,1,则(:式)DB=()A. -1B.
6、 0,1C. -1,2,3D. -1,0,13)【答案】A【解析】VC(/A=-1,3, A(C(/A)nB=-l,故选 A。【变式1-31 (2022北京高考真题(文)已知集合3=力1419则AU=()A. (-1, 1)B. (1, 2)C. (-1, +oo) D. (1, +oo)【答案】C【解析】A = x-lxl,AU5 = (-1,+8),故选C.【变式 1-4 (2022全国高考真题(文)已知集合 A=x|x|, %eZ),则 AAB二()A. 0B. -3, -2, 2, 3)C. -2, 0, 2D. -2, 2【答案】D【解析】解绝对值不等式化简集合A 3的表示，再根据集
7、合交集的定义进行求解即可.【详解】因为 A = x x v3,xZ = 2,1,01,2,B-x X l,XZ=xX；X 0,Q = %|-43x + 2 3,则低P)。=A. (-|,0)B. (0jc.(o$D. oj【答案】cx|0x,3x|0x,3x|0x,3【解析】因为P = 翼|3%2 一 2工之0 二 久|%之；或;r工0,所以P =又因为Q = x| - 4 3x + 2 3 = （x| - 2 x x*x+y = 8八yx*x+y = 8x+y = 8x+y = 8【解析】由题意，中的元素满足 ,且, 由 x + y = 8 2 2x,得x4,所以满足 + y = 8 的有(
8、1,7), (2,6),(3,5), (4,4),故中元素的个数为4.故选C.【变式 1-11设集合 A=x|l/3, B=x2x49 则 AU5二A. x2x3B. x|2x3C. xx4D. xx, 【解析】集合mxL88 3 1得1勺2募 由 5可得上於2.易知集合的“长度”的最小值是5一A七.n2,【答案序Ahi【变式2-1（2021 河北衡水中调研）定义集合的商集运算为万=4r=z，meA, nB.已知集合4=2, kB4, 6, 3=x|x=51,攵A,则集合中的元素个数为（）A. 6B. 7C. 8C. 8C. 8D. 9【答案】B【解析】由题意知,3=0, 1, 2）, 7=0
9、, t, 1, 则U3=0, T, T, 1,2）,共有 7A 2463 A2 4 O 3个元素，故选B。【变式2-2（2021 .湖北高考真题（理）已知集合4 = （羽y）|/+y24i,%yez, B = （x,y）| |x| 2, y 2, xty 6 Z）,定义集合4B = 6+力）1（冗l，i） W A，（%的） W B,则4B中元素的个数为（）A. 77 B. 49 C. 45 D. 30【答案】C【解析】因为集合AuKyyXxZ + yZwLx/EZ,所以集合Z中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合3 = （%,y）|团2y| 2,KyZ中有25个元素（即25个点）：即
10、图中正方形3co中的整点， 集合4啰8 = （久1 +工2/1+丫2）1。1，%）4 02/2）可的元素可看作正方形4邛泅中的整点（除去 四个顶点），即7x7-4=45个.【变式2-3（2021 .新余市第六中学高一期中）设集合A5是非空集合，定义Ax3 = x|xAdB且B,已知4 = 乂-2cx5 , B = |x|x3,则 AxB=.【答案】1|3xv5或x? 2【解析】如图所示：BAu3 = xxv5,AcB =同-2x3, 因为=BMxeAcb,所以 AxB = x3 vx5；JtV-2. 故答案为：x3x5或-2.A【变式2-4设S是整数集Z的非空子集，如果DoIeS,有qAeS,
11、则称S关于数的乘法是封闭的.若TW是Z的两个不相交的非空子集，TUV = Z,且V。力,。丁，有力(丁； Vx,y,zV,有xyzwV,则下列结论恒成立的是A.V中至少有一个关于乘法是封闭的B. T,V中至多有一个关于乘法是封闭的C.0V中有且只有一个关于乘法是封闭的D. T,V中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A【解析】取7 = 幻C(B)C(B)-C(A),C(A)C(B)已知集合A = x|f +% =4X2 +依)(12 +以+ ) = 0卜且A* 6 = 1,设实数的所有可能取值构成集合S,则C(S)=()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】由4 = 幻/+1=。,可得
12、A = -1,0因为52 +依)(12+奴+ 1)=。等价于12 +以=0或12+以 + 1 = 0 ，且4 = -=所以集合3要么是单元素集，要么是三元素集.(1)若3是单元素集，则方程f+以二o有两个相等实数根，方程/+以+1 =。无实数根，故 = ()；(2)若3是三元素集，则方程/+以=o有两个不相等实数根，方程/+改+ 1 =。有两个相等且异于方程/+ ax- o的实数根，即a? 一4 = 0 =2且Q。0.综上所求 =0或。=2 ,即5 = 0,2,2,故 C(S) = 3,故选：D.【易错警示】易错点1:空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏
13、解.在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性).易错点2：实数集R不能表示为九以为所有实数或R,因为“产包含“所有”“全体”的含义.易错点3：集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.【易错辨析1设集合A=x|lS烂3, B=x|2x4,则()Ax|2烂3B. x|2%3C. x|lx4D. x|lx4【答案】C【解析】AUB = 1,3U(2,4) = 1,4)【易错辨析 2】设全集U = -3,2,l,0,l,2,3,集合 A = -1,0,1,2, B = -3,0,2,3,则4门曲用二 ( )A. -3,3B. 0,2C. -1,1D.3,2,1,1,3【答案】C【解析】由题意结合补集的定义可知：率3 = -2,1,1,则An町=-1,1,故选C.【易错辨析3设集合4=却二烂3, B=x|2x4,则()A. x|2烂3B. x|2jc3C. x|lx4D. x|lx4【答案】C【解析】AUB = 1,3U(2,4) = 1,4)