第二章教案.docx

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1、2009 2010学年 第1学期 魂学院（部、中心） 理学院专业）公共数学基础部名称 高等数学对 象2009级工商、信管 .课教师 丁春梅称职务 教授材名称高等数学2009年8月 1日高等数学课程教案2-1授课题目：第二章导数与微分 2-1导数的概念授课类型理论课授课时间2009-10-8教学目标或要求：1 .使学生掌握导数定义的几种形式；左、右导数的概念；2 .使学生掌握导数几何意义,会求曲线的切线方程；3 .使学生理解函数的可导性与连续性之间的关系；教学重点：导数的概念教学难点：用定义求分段点处的导数教学过程：-导数概念的引入问题I:瞬时速度问题直线运动方程s=s（t/o -，时间间隔的平

2、均速度v = 1时间间隔的平均速度v 二-/ 一 0(3)(sin 九)= cosx(4) (cosa:) = -sinx(5)(tan xY = sec- x(6) (cotx) = -esc2 x(7)(secx) = secx- tan%(8) (esex) = -cscx-cotx(9)(10) (ex/ = ex(11)(bgx) = -/ xln a(12) (lnx)r = x(13)(arcsinx) 1 a/i-x2(14) (arccos xf =z7rz7(15)(arctanx) = 1 + x2(16 ) (6ZFCCOtX)f = + X(17)shx)f = ch

3、x(18) (chxY = shx(19)Q/vc) = - ch2x(20)(a res Ive) = (ln(x +x1 +1)1%2 +1(21)(1) (c) = 0(1) (c) = 0(2)(y) = T/7 ， /I 1 1 + %、，1(22)(22)（础如）=（”工）四、复合函数的求导法则复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1 .是否可导?2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。定理5 （复合函数求导法则）：如果 = （x）在x = Xo点可导，且y =/（）在 =0 =（%0）点也可导，那么，以y = /（）为外函数，以

4、 = 0（x）为内函数，所复合的复合函数y = .f（O（x）在 x = x（）点可导y = .f（O（x）在 x = x（）点可导dydx(0(X)K=xo=(0)/(%)证明：lim-73%）= lim ”一（。）x-u-uQ9(x) 一(p(x。)x-x0二 11m 仆）T（。）.lim 叭x）-叭X。）=（仇）夕，（%。） f。 U-Uo x-而 X-Xo所以（0（x）勺,=/（%）。（%）。注1:若视X。为任意，并用X代替，便得导函数:叱)=/W)-(%)，或(e(x)r =尸(。(九) ax、dy dy du或二Odx du dx2：（9（%）与（0（x）不同，前者是对变量 =（x

5、）求导，后者是对变量x求导，注意区别。3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：（?（%）=/（双以工）ge（x）（x）等。例6求y = arc tan的导数。 x解：y = arc tan 可看成arctan与=工 复合而成, xx(-y=-AX xn V = (arctan)/ =(-x 1+(+X2）=一合【例7】 y = x（为常数）的导数。解：y = x = enx是y = .匕口 =卜工复合而成的。所以V = （xy:已“广山村:d.4.J_ = 4._L.x =.xT。X X由此可见，初等函数的求导数必须熟悉基本初等函数

6、的求导；（ii）复合函数的分解；（iii） 复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉， 可不必写出中间变量，而直接写出结果。【例8y = J-，,求V。解： yr (V1 x2 y = (1 x2)2r =-,(1 x2y = / % o 2 V1 %2V1 %2【例9】y = e,求V。解：V =) = (Vl-sinx) = e1 (l sinx)2 71 - sin x Vl-sin x2-cosx 1 cosxVl-sinx 2 71-sina:【例 10= arcsin(2cos(x= -ex+e-x, 2ex - e-x (-1)2即 s/x

7、= c/zx。同理，chfx = shx o【例 13y = ln(x + V1 + x2),求 y。解：y = ln(x + Jl+ /)，=；(.+Ji + x2y x + V1 + x2 -1),求 y。解：y = (arcsin(2cos(2 - 1)=Vl-2cos(x2-l)2(2cos(x2 - 1)-2-sin(x2-l)-(x2-l)z-2sin(x2 -1)_ 4xsin(x2 -1) 2x /-4cos2(x2 -1) Jl-4cos2, -1)x【例 n】y = ln(ln(ln tan),求 y。解:八ln(ln tan)x(ln(lntan)=xXln(ln tan

8、) In tan 八 X、，(In tan )1 1 122 X . Xcos tan-221In tan-21 _ 1x sinxIn In tan 21In tan-2In In tan -2)T z f t * - e【例12】shx =(2x + Jl + %21 2x1Q+5E)=E =同理：(ln(x +一 1) = 一 / 1= (archxY QVx2-1教学手段与方法:采用启发式教学，以板书教学为主，辅之以多媒体课件教学。思考题、讨论题、作业：2-22(10), 3，7，8例1.求下列函数的导数(1) y 2x, + 7x 8； (2) y = 2+ x2 + Jxylxyf

9、x ；/八 we 4、/ ,、sinr p ds.(3) y = e (3sinx + 4cosx) ； (4) 5 = (cost， 求一 | , ；t dt参考资料(含参考书、文献等)：1、彭舟，高等数学同步辅导第六版，同济大学应用数学系，航空工业出 版社。2、赵树嫄主编，微积分，中国人民大学出版社。3、高校工科数学课程指导委员会编，高等数学释疑解难，高教出版社。4、崔荣泉，褚维盘，赵彦晖等，高等数学重点内容重点题，西安交通大学 出版社,2004。8、北京大学数学科学院邹本滕，漆毅，王奕清，高等数学辅导(同济五 版高等数学配套用书)机械工业出版社，2002。9、王绵森、马知恩主编，工科数学

10、分析基础，高教出版社。10、 季文铎主编，工学硕士入学考试数学复习指南，北京理工大学出 版社。教学后记：高等数学课程教案2-3授课题目：第二章导数与微分 2-3图阶导数授课类型理论课授课时间2009-10-13教学目标或要求：1 .了解高阶导数的概念；.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法;2 .了解阶导数的求法； 教学重点：初等函数一阶、二阶导数的求法 教学难点：阶导数的求法教学内容:一、复习一阶导数的定义二、讲解新课：(一)高阶导数的定义若质点的运动方程s = s),则物体的运动速度为以，)=s(力，或丫) = 一，那么加 dt速度是多少？加速度是速度v(。对时间/的变化率,即。是速度v(t)

11、对时间/的导数:a = a(t) = = a = &(且)或=vQ) = (sQ),由上可见，加速度 a 是 s)的dtdt dtd2 s导函数的导数，记为。二二或= s),这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列 力2定义：定义：若函数y = /(x)的导函数-(1)在4点可导，就称尸(幻在点4的导数为函数y = /(x)在点/ 处的二阶导数，记为了(%),即 lim /(*)_/()=/(上), X-殉X - X()此时，也称函数) = /(%)在点/处二阶可导。注1：若y = /(x)在区间/上的每一点都二次可导，则称/(x)在区间/上二次可导，并称/(x),x e /为/(x)在1上的

12、二阶导函数，简称二阶导数；2：仿上定义，由二阶导数/(可定义三阶导数/(x),由三阶导数/(%)可定义四阶导数/4)(1)，一般地，可由 1阶导数/T)(x)定义阶导数尸)(回；3：二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：/()(%),y西)，y西)，dnydF门或以 dxn与厂(),严(%),答dnf dxn4：未必任何函数所有高阶都存在;5：由定义不难知道，-1阶导数的导数为阶导数.因此，求高阶导数是一个逐次向 上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了。【例 1】 y = ax1 +bx + c ,求 y,y,解：= 2ax + b n yff = 2a

13、n yfff = 0, y）=0。【例2】 = /,求各阶导数。解：了 =，= 了 = , y（4）=,显然易见，对任何，有 y（）=,即（严=。【例3】y = sinx,求各阶导数。乃解：y = sinx,y = cosx = sin（x + ）一般地，有 y（）= sin（x +九一），即 （sinx）（）= sin（x +一）。同样可求得 （cosx）（）=cos（x + n） o【例4】y = ln（l + x）,求各阶导数。解:y = ln(l + x),f! yi(1 +4y1-2(1 + x)3123(l + x)4一般地，有 y（）= （iyi 止DI（1 + X）(ln(l

14、+ x)严=(T严5-D! (l + x)【例5】y = xJ 为任意常数，求各阶导数。解：y = %J 3/ =冲必7,_/ = (一 1)%一2, y = (一 1)(一2)%一3,丁=(一 1)( 一 2)( 3)%t,一般地， y=1)( - 2)( 一 + 1)即(x)5)=4(一 1)(一2)(/ + l)f。(i)当=k为正整数时，女时，(x)()=k(k l)(k 2) + l)x；=左时，(/)()=k!(= !)；寸，(，)()=0；(ii)当为正整数时，必存在一自然数Z,使得当左，(%)()在x = 0处不存在。13 -3 1 -如：y = %2,y，= r，/ =12,

15、然而，1 2在工=0处是无意义，即说明22 23 -y = x2在 = o处无导数，或y在工=0处不存在。【例6】 y = ex cosx ,求 了股。解： yf = ex cosx + e(sinx) = e (cosx-sinx),yff = e(cosx-sinx) + e (-sinx-cosx) = e(-2sinx),yfff = -2(。 sin x + ex cosjc) = -2e (sin x + cosx)。(二)高阶导数的运算法则(l)w(x) v(x)(,?) =/)(x) 1/)(x),(口) = ，+ uv (v) = u,fv + 2ufvr + uvn. ()

16、 = umv + 3uffv, + 3uvf, + uvm , ,+ /)u()。其中()= , )= u。 Leibinz 公式【例7】上例中，求y。解:y=(/cosx)=(/)cosx +C；(e)(cosx) +C；(e)阶(cosx)=ex cosx + 5e(-sinx) + 10 v(-cosx) + 10e sinx + 5e cosx + e(-sinx)= vcos x-5sinx-10cosx + 10sinx + 5cosx-sin x= ev(4sinx-4cosx) =4 (sin x-cosx)。【例8】验证丁 =。+。2*满足关系式：yff-y = O （其中。

17、2为任意常数）。解：V =3/ _ Ac2e-Zx n y =无。9+ c2e-Zx所以 y=几2 / + Qe ) = A2y n y y = o。满足关系式：2 V2=（y l）y。x 3【例9】验证y二一- x 4解：y = = = l + -L- x-4x-4 一 1 1-2)=一7，又 2y2(y = 2又 2y2(y = 2(x 4尸 x-4 (x 4)3所以 2V2（y l）y =。教学手段与方法：采用启发式教学，以板书教学为主，辅之以多媒体课件教学。思考题、讨论题、作业:1 .求y = x（n为正整数）的n阶导数，n+1阶导数，并求丁八，,L ；.求丁 = sinx的n阶导数；

18、2 .证明函数y = hx-x1满足关系式y3y，+1 = o ；.设/二阶可导，求y = /（/） + *）或y =/（sir? +卜皿/（刈2的一阶、二阶导数；3 .设f二阶可导，求 = /（/）的二阶导数。参考资料（含参考书、文献等）：1、彭舟，高等数学同步辅导第六版，同济大学应用数学系，航空工业出 版社。2、赵树嫄主编，微积分，中国人民大学出版社。3、高校工科数学课程指导委员会编，高等数学释疑解难，高教出版社。4、崔荣泉，褚维盘，赵彦晖等，高等数学重点内容重点题，西安交通大学 出版社,2004o北京大学数学科学院邹本滕，漆毅，王奕清，高等数学辅导（同济五版高等数学配套用书）机械工业出版

19、社，2002o王绵森、马知恩主编，工科数学分析基础，高教出版社。11、 季文铎主编，工学硕士入学考试数学复习指南，北京理工大学出版社。教学后记:高等数学课程教案2-4授课题目：第二章导数与微分2-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率授课类型理论课授课时间2009-10-17教学目标或要求：1、熟练掌握隐函数和参数方程所确定的函数的一阶导数的求法；2、能求这两类函数中比较简单的二阶导数.教学重点：1.求隐函数的导数.2.参数方程求导方法.教学难点：1.隐函数的一阶导数.2.参数方程的一阶导数.教学内容：函数按自变量的个数多少可分为：一元、二元、函数按自变量与因变量的位置关系可分为：显

20、函数、隐函数。一、隐函数的导数以前，我们所接触的函数，其因变量大多是由其自变量的某个算式来表示的，比如：2y = x +5, y = xsin + e，z = xln y + ey sin x等等，象这样一类的函数称为显函数。X但在实际问题中，函数并不全是如此。定义设b(x,y)是定义在区域。u A?上的二元函数，若存在一个区域/ ,对于/中的每一个x的值，恒有区间J上唯一的一个值y ,使之与x 一起满足方程：F(x, y) = 0 (1)就称方程(1)确定了一个定义域为/,值域含于/中的函数，这个函数就称为由方程(1)所确定的隐函数，若将它记为y = /(x),x/,则有：在/上，尸(x(x

21、)三0。15 丫2【例1】5/+4y 1 = 0确定了隐函数：y = o【例2】/ + ,2=1能确定出定义在_U上的函数值不小于o的隐函数了 二萌二手，也能确定出 定义在-1,1上的函数值不大于0的隐函数y = -71-x2 o上面求/(x)的过程是将一个隐函数转化为显函数，也称为隐函数的显化。注1：在不产生误解的情况下，其取值范围可不必一一指明；2：并不是任一方程(1)都能确定出隐函数，比如：x2 + 372+1 = O,不可能找到y = /(x),使得/+。)2+1 = 0；3：即使方程(1)能确定一个隐函数，但未必能象上二例一样从方程中解出y ,如： y-x-smy = Q,我们可证明

22、它确实能确定一个隐函数，但无法表示成y =/(x)的形式，即不 能显化。实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，如果隐函数可显化，则求导没什么问题，同前一样， 若隐函数不能显化，我们就直接从(1)算出其隐函数的导数。(以后我们还将介绍更一般的方法)。 【例3】5工2+4一1 = 0,求心。dx解：在方程的两边同时对x求导，得1czi dy 八dy105I Ox + 4 = 0 =x x odxdx42【例4求由方程/ +孙-e = 0所确定的隐函数y = y(x)的导数期；dx解：在方程的两边同时对x求导，得【例5】求由方程y5+sinD =尤3所确定的隐函数y在x=0处的导数位|；dx解：在方

23、程的两边同时对x求导，得而当x=0时，y=0；故代入上式得包|尸0 = 1VJ 人一Jdx【例6求由方程sin(x+ y)=/ cosx确定的曲线在点(0,0)处的切线方程；二、对数求导法有的显函数是积的表达形式，或具有指数，直接求导不方便；若取对数后则得到和的形式或不存 在指数，直接求导变的很容易。Jx + 2(3-x)4(x+1)5(x 丫【例7】(1 ) y= U + J三、参数方程所确定的函数的导数 (一)由参数方程确定的函数的导数片时刻的瞬时速度v(?0) = lim0II曲线方程为y = /(x),则曲线方程为y = /(x),则/(x0+Ax)-/(x0)Ax小。T嗯;:(%)

24、= lim /一八/)；/(x)=lim1 与x X。/(x0+Ax)-/(x0)Ax/(%) =酮JitOf(x0 +/z)-f(x0);/(%) =蛔hO其中，A = x /(x = Xo+Ar),Ay = y yo = Ax) /。).(2)：这里dxE。与观 dxlim kM M = tana = kM T = imMi。07 AsO综合以上几个问题，它们均归纳为这一极限lim /一/)(其中%-%为自变量x在f。x-x01、/(x)在点与处可导的定义 设y = /(x)在与点的某邻域内有定义，且当自变量在/点有一(2)：这里也 dx(2)：这里也 dxX=XO与或 dx中的虫与它是一

25、个整体记号，而不能视为分子力或少与夕 dx dx(3)：若极限lim包即limx-x0不存在，就称y = /(x)在x = x0点不可导。特别导 数 的 常 见 形 式 还 有【例8抛射体运动的参数方程解为=匕，y=%g/，且u的方向：tan。= y = & d:x a（t s【例9】求摆线方程1 y = a（-c（二）相关变化率x = x（z）, y = y（t），且 X 上X- vxt1 2，求时刻t的运动速度K y = t-gtV+（% g/）2? = yj =匕-/mz）所确定的函数的二阶导数。：osz）3y之间存在联系，从而立，虫之间也存在一定关系。 dt dt教学手段与方法：采用启

26、发式教学，以板书教学为主，辅之以多媒体课件教学。思考题、讨论题、作业：2-41(2) (3) (4),3(!) (4),4(1),8(3) (4), 11参考资料（含参考书、文献等）：1、彭舟，高等数学同步辅导第六版，同济大学应用数学系，航空工业出版社。2、赵树嫄主编，微积分，中国人民大学出版社。3、高校工科数学课程指导委员会编，高等数学释疑解难，高教出版社。4、崔荣泉，褚维盘，赵彦晖等，高等数学重点内容重点题，西安交通大学出版社， 2004o14、 北京大学数学科学院邹本滕，漆毅，王奕清，高等数学辅导（同济五版高等数学配套用书）机械工业出版社，2002。15、 王绵森、马知恩主编，工科数学分

27、析基础，高教出版社。16、 季文铎主编，工学硕士入学考试数学复习指南，北京理工大学出版社。教学后记:高等数学课程教案2-5授课题目：第二章导数与微分 2-5函数的微分授课类型理论课授课时间2009-10-20教学目标或要求：1.理解微分的概念.2. 了解微分的概念中所包含的局部线性化思想，熟练掌握 微分的运算法则和一阶微分形式的不变性.教学重点：微分的概念及运算法则.教学难点：微分的定义.教学内容：一、复习1、y = /(x)可导的条件及记号1() = (当时说空是一个整体) dxdx2、可否将广(处=心改写为办=/(x)公呢？且力，公的含义又是什么？ dx二、微分的定义引入：边长为与的正方形

28、铁板均匀加热，问薄板面积改变了多少？定义:设函数y = /(x)在/的某个邻域内有定义，当自变量在/处取得增量Ax时，如果函数的增量Ay = f(x0 + Ax) /(%)可以表示为其中A是与工。有关而与Ax无关的常数，o(Ax)是比高阶的无穷小量，则函数y = /(x)在点/处可微，AAx称为微分，即定理：函数y = /(x)在点与处可微的定义的充分必要条件是函数y = /(1)在点4处 可导。证：若可微，Ay = Ax + o(Ax), 包=4 + 幺4。= 4AxAr若可导，lim 包=f(x0),包=/(%) + 戊，Ay = /(Xo)Ax + o(Ar)右T0 AxAx可导o可微=

29、 连续= 极限存在三、微分公式与运算法则微分形式不变性：令 (x)=故dy =(px)dx = /!(w) - du微分的运算法则：见导数公式四、微分的几何意义微分几何意义如图所示：例1.求函数y = JlGn71的微分;例2,填空：(1) d( )=xdxdx(3) d(尸-五、微分的应用由例2,填空：(2) d( )=xdxdx(4) d(尸-五、微分的应用由dx(3) d()二尸2Vx(4) d(尸cos cotdtco W 0)/(x0 + Ax) - /(x0) x f (x0 )Ar,令x()+Ax = x, Ax = x-x(),则有特别地，当x0=0, x很小时，有/(x)a/

30、(0) + /(0)x例3.证明如下一次近似式：(1) ex 1 + x； (2) ln(l + x)px；证：(1)令/(x) = e, /(x) = ex ,当 二0 时，/(0)=1/(0)=1,由 /(x) X f(0) + r (0)x n /(x) l + x,即 e 1 1 + x ；(2)令 f(x) = ln(l + x), /，( =一，当 x=0 时，f(0)=0f(0)=l,1 + x由 /(x) x /(0) + - (0 由= /(x)即 ln(l + x) p x。教学手段与方法：采用启发式教学，以板书教学为主，辅之以多媒体课件教学。思考题、讨论题、作业：2-53

31、 (2) (3) (4) (5) (6)参考资料(含参考书、文献等)：1、彭舟，高等数学同步辅导第六版，同济大学应用数学系，航空工业出 版社。2、赵树嫄主编，微积分，中国人民大学出版社。3、高校工科数学课程指导委员会编，高等数学释疑解难，高教出版社。4、崔荣泉，褚维盘，赵彦晖等，高等数学重点内容重点题，西安交通大学 出版社，2004。17、 北京大学数学科学院邹本滕，漆毅，王奕清，高等数学辅导(同济五版高等数学配套用书)机械工业出版社，2002。18、 王绵森、马知恩主编，工科数学分析基础，高教出版社。19、 季文铎主编，工学硕士入学考试数学复习指南，北京理工大学出 版社。教学后记:2、在(凡

32、。)内可导的定义el若y = /(x)在开区间/ =内的每一点处均可导，就称y = /(x)在/内可导，且对/xL ， V /(- +Ax)-/(x), . /(x + /z)-/(x)事实上，y = hm -或y =hm1AD Axhf。 h注(4)：上两式中，x为/内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而Ax与h(5) ： y = .f(x)在x = /的导数(%)就是导函数y = .f(x)在x = x0点的值，不要认为是(6)：为方便起见，导函数就称为导数，而尸(%)是在4点的导数。3、/(x)在他，功上可导的定义h若y = /(x)在开区间力)内可导，且九(q)及4s)都存在，

33、则称y = /(x)在闭区间4、 单侧导数(左、右导数统称为单侧导数)定理1： /(%)在x = x0点可导o/(x)在x = x0点的左导数和右导数均存在，且相等，即若lim /(.一/八)存在,就称其值为/5)在x = /点的右导数，并记为以(公)， xf%+X Xq4(%o)= lim /(%0+)-/(%()= lim .(%)7a)称为 /(%)在 = 看 点的左导数。 力-0 -hXfx。 x-x0三、求导数举例【例1】 求函数/(X)=C (。为常数)的导数。Ay = 0解：在/(x) = c中，不论X取何值，起其函数值总为C,所以，对应于自变量的增量Ar,有注：这里是指/(x)

34、 = c在任一点的导数均为0,即导函数为0。【例2】 求/(x) = x(为正整数)在x = 点的导数。丫 _ nn解:ff(a)= lim= lim(xT + axn2 + an2x + an) = nanl 即 /()= natlX aXia亦即(%)=mfT ,若将。视为任一点，并用了代换，即得/(幻= (%) =加1注：更一般地，,f(x) = x(4为常数)的导数为广(尤)二3/”,由此可见，(五)2 V(V%) = /= 9() =2 (X W。)。2 y/x x x【例3】求/(x) = $皿不在工=a点的导数。解:，/ 、 sinx-sin。j (a) = lim= cosax

35、-a即(sinx)=cos6z同理：若视。为任意值，并用x代换，使得(x) = cosx,即(sinx)= cosx。注：同理可证：(cosx) = -sinx。【例4】求f(x) = aa 0,。w 1)的导数。解：f(x)=f(x + /z)-/(x)二 11mgM 11mLih-O hD h所以() 二优 Ina o【例 5】设/(0) = (), lim 2 = A ,证明 A = /(0)。x-0%证明：因为小)T()=段nlim反幽-x-0 xf)x-0所以 A = /(0)。【例6】若/(x)在4点可导，问:/Go + h) /(x0 -h)h铲 /(% + h) f(*oh)于

36、 Go + 力) /(/), /(/)- f(*oh) 解：=+hhh/(%) +/(% ) = 2/(%)。反过来，亦证明：A：+纥 A/ j；/，。)。2用log(l + )=lim-力foh【例7】.求/(x) = log/ (a 0,awl)的导数。解：解=11m /(% + 一/=11m log a(% + 力)-log. 20 h20h1h -11慝rbga+?、：g “八福特别：(In x)=。讨论/(x) = N在x = 0处的导数。JC【例8】. 讨论/(x)=闪在x = 0处的导数。x0x 包=+ =(a 为无穷小)= Ay =/(Xo)Ax + aAx Ax.显然当Ar

37、f0时，有Ay f0,所以由1、9定义1,即得函数y = f(x)在工=看 点连注 1： 本定理的逆定理不成立，即连续未必可导。反例：y = W在x =。点连续，但不可导。f ex Y o【例10】求常数名。使得,f(x) = 在1 = 0点可导。ax + bx e=a-0 + /?= = 1。又若使/(X)在x = 0点可导，必使之左右导数存在，且相等，由函数知，左右导数是存在所以若有。=1,则(0) = 71(0),此时(x)在x = 0点可导，所以所求常数为6 Z? 1 o教学手段与方法：采用启发式教学，以板书教学为主，辅之以多媒体课件教学。思考题、讨论题、作业：习题 2-13, 4,9

38、(7), 12, 17, 18参考资料(含参考书、文献等)：1、彭舟，高等数学同步辅导第六版，同济大学应用数学系，航空工业出版社。2、赵树嫄主编，微积分，中国人民大学出版社。3、高校工科数学课程指导委员会编，高等数学释疑解难，高教出版社。4、崔荣泉，褚维盘，赵彦晖等，高等数学重点内容重点题，西安交通大学出版 社,2004 o5、北京大学数学科学院邹本滕，漆毅，王奕清，高等数学辅导(同济五版高等 数学配套用书)机械工业出版社，2002o6、王绵森、马知恩主编，工科数学分析基础，高教出版社。7、季文铎主编，工学硕士入学考试数学复习指南，北京理工大学出版社。教学后记：高等数学课程教案2-2授课题目：

39、第二章导数与微分2-2函数的求导法则授课类型理论课授课时间2009-10-10教学目标或要求：1 .使学生熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则；2 .使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则；3 .使学生熟练掌握初等函数的求导公式；教学重点：1.导数而运算法则和复合函数的求导法则；2 .基本初等函数的导数公式;教学难点：复合函数的求导法则教学内容:一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1：若函数(X)和u(x)在点/都可导，则/(x) = (x)u(x)在X。点也可导，且/(% ) = (%0 ) M(%0 )。证明.Um /(%)一/(%0)_ 扁“(X)士贝%)一(%0)士4%()

40、Xf% x-x() x-与X - X()(x) 一(%)v(x) - v(x0)=lim lim- = w (x0) v (x0)XT% x-xQ xfx。 x-x0所以尸(犬0)= /(%0)/(尤0)。注1:本定理可推广到有限个可导函数上去。2：本定理的结论也常简记为(土 u) = 土M。定理2 ：若u(x)和v(x)在x = /点可导，则/(%) = u(x)v(x)在/点可导，且有/(X。)= (%)伏X。)+ w(x0)v(x0)r o证明：lim /(X)/(X。)二 11m aMx)i(x)u(x。)IX。 x-x0x- x0Hm w(x)v(x) - u(xQ )v(x) +

41、w(x0 )v(x) 一 w(x0 )v(x0)w(x)-w(x0) /、./ . v(x) - v(x0)limv(x) + lim (4)x- x()x- x()(x)一 展/)7 X 1 Z 、r u(x) u(Xo)：hm- hm v(x) + u(x0) lim-x-x。 X-Xoxrx。 X-Xo=/(/)U(X ) + (% )/(%)即 /(%) = /(Xo)v(x() + (x()M(x()。注1：若取u(x)三c为常数，则有：(cu)r = cuf;2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如:(uvwsy = UVWS+UVfWS + UVWfS + UMS 等。定理3：若 (%)#(x)都在n = /点可导,且理9)wO,则/(尤)=必义在/点也可导,且/(尤0(%)一(工0)/(%)/(%) =V(x)v2(x0)u(x