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1、2012年新课标高考理科数学试卷分析一.题型、题量全卷包括第卷和第卷两部分.第卷为选择题.第卷为非选择题.考试时间为120分钟，总分为150分.试题分选择题、填空题和解答题.其中，选择题有12个小题，每题5分，共计60分；填空题有4个小题，每题5分，共计20分；解答题有8个题，其中第17题21题各12分，第2224题（各10分）选考一题内容分别为选修41（几何选讲）、选修44（坐标系与参数方程）、45（不等式选讲），共计70分.全部试题都要求在答题卡上作答.题型、题量同教育部考试中心近几年命制的新高考数学理科卷相同.总体来看，今年的高考数学题型不变，各题型内容所占比例也基本不变，各题型顺序大同
2、小异，但在传统题目上却非常新颖，别具一格。在难易的顺序上可谓是在挑战极限。具体来讲：集合内容占0.03%、排列组合占0.03%、复数占0.03%、向量占0.03%、线性规划占0.03%、算法占0.03%、数列占0.06%、概率占0.114%、立体几何占0.15%、解析几何占0.15%、函数占0.15%、三角函数占0.114%，试题覆盖面广，涉猎高中数学的所有内容。当学生满怀信心，摩拳擦掌地投入到战斗中去时，才恍然发觉，今非昔比。和去年相比较，试题的难度着实上了一个很高的台阶。题型分布1）注重全面考查 2012年课标卷中各种知识点题型起点较高、较综合、不易入手，多数试题源于教材，但考查较深入，强
3、调对基本知识、基本技能和基本方法的考查，又注重考查知识间的紧密联系，第（1）、（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）题分别对集合、排列组合、等比数列、三视图、三角函数、平面向量、线性规划等基本概念和基本运算进行了考查。试卷注重考查通性通法，有效检测考生对数学知识所蕴涵的数学思想和方法的掌握情况，第（3）题考查命题，而内容是复数的计算；第（4）、（8）题考查圆锥曲线的性质，注重联系平面几何与平面坐标系的转化；第（6）、（15）题分别考查了新课改中增加的程序框图、正态分布，更加强调对新知识定义的理解，更加的贴近实际操作；第（10）、（12）题考查了函数的性质和反函数，研究函数图象在解题
4、中的巧妙作用；第（16）题考查了数列的性质和求和。解答题中第一题较以往不同的是考查了解斜三角形，第二题考查概率同时涉及分段函数的解析式，立体几何、解析几何、函数与导数的考查较以往变化不大。2）强化思想方法 2012年课标卷中试卷突出考查数学本质和考生基本的数学素养，注重对数学思想方法的考查，如第（4）、（7）、（8）、（9）、（10）、(11)、（12）、（14）、（19）题考查了数形结合的思想；第（10）、（12）、（18）、（20）、（21）、（24）题考查了函数与方程的思想；第（12）、（16）、（20）、（21）、（23）题考查了转化与化归的思想；第（10）、（16）、（18）、（21
5、）、（24）题考查了分类讨论与整合的思想。二.试题考查内容试题内容与考试要求都与2012年新课程高考考试大纲的考试内容与要求相吻合，考查的知识内容与方法分布与高中数学新课标和考试大纲所规定的相同.三.试题考查的知识和方法题号主要内容知识与方法1集合集合的表示方法2排列组合分配问题3复数复数运算与命题真假判断4解析几何椭圆离心率5等比数列等比数列性质、运算6程序框图顺序结构、条件结构、循环结构7立体几何三视图、三棱锥体积8解析几何双曲线与抛物线、弦长9三角函数函数的图象性质10函数函数图象、由式识图11立体几何三棱锥外接球12函数指数函数与对函数图象、反函数、距离13平面向量向量夹角、模长14函
6、数简单线性规划15概率统计正态分布、独立事件概率计算16数列递推数列、一般数列求和17三角函数正弦定理、余弦定理、解三角形18概率统计分段函数解析式、离散型随机变量及其分布列、期望与方差19立体几何直三棱柱、线线垂直、二面角20解析几何抛物线与圆、直线与抛物线的位置关系、对称性、基本数学思想和方法、运算求解能力21函数解析式、导数、函数单调性、恒成立问题、最大值22平面几何相似三角形、三角形外接圆、平面几何推理证明23坐标系与参数方程椭圆参数方程、圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标互化、参数方程运用、两点间距离公式24不等式含绝对值不等式的解法、绝对值的几何意义四、未考查知识点2012年课标卷未
7、考查大纲要求重要知识点有二项式定理、定积分、相关系数与线性回归方程、几何概型。五、试题分析2012年全国新课标理科数学试卷突出主干、强化综合；突出应用、体现创新；强化思想、能力立意。总体难度高于近几年全国新课标卷，平均分将明显下降，对2012年首次参加新课标高考的省份是一个不小的打击，试卷是否会是新课标卷的一个分水岭，值得思考。一、选择题：（1）已知集合；,则中所含元素的个数为（ ） 【考查目标】 本题考查集合的概念和集合中元素个数的求法。【解题思路】，共10个。【答案】【试题评价】 试题考查了集合概念的理解，集合元素个数的求法，体现了考试大纲对于此方面知识的要求。（2）将名教师，名学生分成个
8、小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（ ）种 种 种 种【考查目标】 本题考查了计数原理中排列组合。【解题思路】甲地由名教师和名学生：种【答案】A【试题评价】 试题以生活实例为素材，体现了数学的应用性，要求考生理解掌握技术原理方法，应用所学知识解决实际问题。（3）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ） 的共轭复数为 的虚部为 【考查目标】 此题考查复数的基本概念和复数代数形式的运算。【解题思路】 ，的共轭复数为，的虚部为【答案】C【试题评价】 试题通过对复数代数形式的运算，检测考生对复数及其模长、共轭复数的理解和掌握程度。（4）设
9、是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） 【考查目标】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想。【解题思路】是底角为的等腰三角形，=，=，故选C.【答案】C【试题评价】 试题考查了椭圆的定义及其性质，通过几何关系建立代数关系，是典型的数形结合问题，充分体现了考试大纲中对于椭圆内容的要求。（5）已知为等比数列，则（ ） 【考查目标】 此题考查等比数列的性质及运算。【解题思路】 ，或【答案】【试题评价】 试题较简单，反映了课程标准对考生注重运用数列内容性质的要求。（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（ ）为的和为的算术平均数和分别是中最大的数和最
10、小的数和分别是中最小的数和最大的数【考查目标】 本题主要考查框图表示算法的意义。【解题思路】 由框图知其表示的算法是找N个数中的最大值和最小值，和分别为，中的最大数和最小数，故选C.【答案】C【试题评价】 此题是新课改中的新内容，更加注重考查考生对计算机程序语言的理解掌握，要求考生理解算法思想并能在实践中自觉应用，是新课改创新应用的反映。（7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） 【考查目标】 本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，考查考生的空间想象能力。【解题思路】 由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥
11、的高为3，故其体积为=9，故选B.【答案】B【试题评价】 试题的设计注重考查考生空间想象能力，是新课程教学中培养学生多样化学习能力的体现。 （8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ） 【考查目标】 本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系。【解题思路】 由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入等轴双曲线方程解得=，=，=，解得=2，的实轴长为4，故选C.【答案】C【试题评价】 试题突出了对双曲线基本知识和抛物线性质的考查，准确把握了考试说明对双曲线和抛物线内容的不同能力要求。（9）已知，函数在上单调递减。则的取值范围是（ ） 【
12、考查目标】 此题考查三角函数的图像及其性质，要求考生理解三角函数图像的伸缩、平移等变化。【解题思路】 不合题意 排除 合题意 排除另：， 得：【答案】A【试题评价】 试题比教材所讲三角函数知识复杂，对知识的考查侧重于理解和应用。（10） 已知函数；则的图像大致为（ ）【考查目标】 本题考查函数的图像，涉及定义域、最值、单调性，也间接考查了导数在求单调性和最值得应用。【解题思路】 得：或均有 排除【答案】B【试题评价】 试题通过对函数单调性和最值的考查，反映考生对求导方法的理解和灵活应用程度。 （11）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）
13、 【考查目标】 本题考查锥体及其外接球的结构特征，考查空间几何体中的计算能力技巧，考查考生空间想象能力。【解题思路】的外接圆的半径，点到面的距离 为球的直径点到面的距离为 此棱锥的体积为 另：排除【答案】A【试题评价】 试题设计较难，要求考生不仅要有良好的空间想象能力，也要掌握灵巧的相关计算能力。 （12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） 【考查目标】本题考查指数函数与对数函数图像的位置关系，考查平面坐标系中的运算能力。【解题思路】函数与函数互为反函数，图象关于对称 函数上的点到直线的距离为 设函数 由图象关于对称得：最小值为【答案】B【试题评价】 试题区别一般函数的最值问题，不直接
14、通过两函数做差构造新函数再求解，而是先观察到两函数间是互为反函数的关系，然后通过图像几何关系解答，这要求考生具备敏锐的审题能力，随时灵活运用转化的数学思想解题。二填空题：（13）已知向量夹角为 ，且；则【考查目标】 本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则。【解题思路】|=，平方得，即，解得|=或（舍）。【答案】【试题评价】 试题考查课本基础的平面向量知识，体现课程标准中对考生注重基础的要求。 (14) 设满足约束条件：；则的取值范围为 . 【考查目标】 本题考查简单的线性规划问题。【解题思路】约束条件对应四边形边际及内的区域： 则【答案】【试题评价】 试题考查知识很基础，有效检测考生对线性规
15、划问题的理解和应用。（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 【考查目标】 本题考查正态分布在实际问题中的应用，考查学生实践中应用数学知识的能力。【解题思路】 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为【答案】【试题评价】 试题考查了学生运用正态分布知识解决实际问题的能力，
16、关注新课程下考生的数学应用意识。（16）数列满足，则的前项和为 【考查目标】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力。【解题思路】【思路1】有题设知=1， =3 =5 =7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，得=2，+得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，是各项均为2的常数列，是首项为8，公差为16的等差数列，的前60项和为=1830.【思路2】可证明： 【答案】【试题评价】 试题通过巧妙设计，整个求和公式中可分为常数列和等差数列两个新数列的求和，得以全面考查考生对数列知识的掌握程度和应用能力。三、解答题： （17）（本小题满分12分）已知分别为三个内角的对边，（1）求 （
17、2）若，的面积为；求。【考查目标】 本题主要考查正余弦定理应用【解题思路】 运用正弦定理把已知等式化成角的关系（“边化角”），从而用余弦定理求解。【答案】解（1）由正弦定理得： （2） 解得：【试题评价】 试题注重基础，考查了考试大纲中要求的对三角形面积公式、正余弦定理的理解应用。18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式。 （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的
18、各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。【考查目标】 （1）考查分段函数解析式的求法；（2）考查有限个值得离散型随机变量的概率分布和数学期望，考查考生准确解读统计图表的意义的能力。【解题思路及答案】 解（1）当时， 当时， 得： （2）（i）可取， 的分布列为 （ii）购进17枝时，当天的利润为 得：应购进17枝【试题评价】 本题通过对生产生活实际问题的检测，展示了数据的获取、整理、分析等统计的基本内容，体现新课改注重过程
19、、实践与能力的教学理念。（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，是棱的中点，（1）证明：（2）求二面角的大小。【考查目标】 本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查二面角的概念和计算，综合考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【解题思路】 （1）用线面垂直证线线垂直；（2）可建立空间直角坐标系求解。【答案】解（1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中点，过点作于点，连接 ，面面面 得：点与点重合 且是二面角的平面角 设，则， 既二面角的大小为【试题评价】 试题以考生熟悉的三棱柱为载体，通过问题的分层设计，使不同层次考生的水平都得以发挥。试题准
20、确把握相关几何要素，把“综合推理论证”和“向量计算验证”巧妙融入试题设计中，使空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到充分考查，体现了课程标准对立体几何教学的能力要求。（20）（本小题满分12分）设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值。【考查目标】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力。【解题思路及答案】解（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 点到准线的距离 圆的方
21、程为 （2）由对称性设，则 点关于点对称得： 得：，直线 切点 直线坐标原点到距离的比值为。【试题评价】 试题设计围绕解析几何的思想方法展开，突出了数形结合的思想，侧重于对思想方法的理解和应用，同时还强调了良好的运算求解能力，全面体现了考试大纲对解析几何的考查目标。（21）（本小题满分12分）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。【考查目标】 本题考查导数在求单调性、最值问题中的应用，考查分类讨论的数学思想，考查灵活应用导数这一工具去分析、解决问题的能力。【解题思路】 （1）代特殊值法；（2）构造新函数。【答案】解（1） 令得： 得： 在上单调递增 得：的解析式为
22、 且单调递增区间为，单调递减区间为 （2）得 当时，在上单调递增 时，与矛盾 当时， 得：当时， 令；则 当时， 当时，的最大值为。【试题评价】 试题分布设问，考查由浅入深，重点突出，灵活考查了利用导数研究函数性质以及导数的基础知识和解题方法，而且对逻辑推理能力、运算求解能力提出较高要求。请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，分别为边的中点，直线交的外接圆于两点，若，证明：（1）；（2）。【考查目标】 本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识。【解题思路】 根据平行线的
23、判定定理的逆定理可得到线线、角角关系【答案】解（1）， （2） 【试题评价】试题以园内基本性质定理的应用为主线，考查了三角形的边角关系，题目简单，符合课程标准对几何证明选讲内容的教学要求。（23）本小题满分10分)选修44；坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为（1）求点的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围。【考查目标】 本题考查了参数方程及参数的意义，考查极坐标的基本概念和点在极坐标中位置的确定，考查考生的运算求解能力。【解题思路】 根据极坐标的概念与直角坐标的转化
24、公式，在圆中的直角坐标为（1，3），可直接写出正方形的其他三个顶点坐标。【答案】解（1）点的极坐标为 点的直角坐标为 （2）设；则 【试题评价】试题的设计符合课程标准对坐标系与参数方程选讲内容的教学要求。（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围。【考查目标】 本题主要考查含绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想。【解题思路】 （1）分类讨论去绝对值，（2）在给定的自变量的取值范围内去绝对值。【答案】解（1）当时， 或或 或 （2）原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立【试题评价】 试题的设计符合课程标准对不等式选讲内容的
25、教学要求。三个选考题都控制在中等难度，并保持客观难度平衡，不但有利于考生水平的发挥，同时为考生创造公平竞争的机会，保证了考试的客观、公正、公平。六、总体来说（一）、小题综合、难度上升。相比近几年新课标卷，小题更趋综合，难度提升，基本没有送分题，没有稳定情绪的题目。1、选择题部分。第1题考查集合，就有一定难度，要求学生对集合语言有一定的理解，更要求学生具有一定的实际操作能力；第2题考查排列组合分配问题，这是教学的一个难点，学生多有恐惧心理，位置太靠前，造成学生一定心理负担，影响全卷解答，试题排列顺序值得商榷；第3题考查复数，结合命题真假命制，题目简单，有创新；第5题考查等比数例性质与运算，要求学
26、生运算能力强、有方程思想；第六题考查程序框图，字母较多、结构复杂，难度相比往年上升一档；第8题考查解析几何，双曲线与抛物线综合，要求学生概念清楚，综合能力强；第11题考查立体几何，三棱锥外接球问题，空间想象能力要求非常高，难度高于往年相同位置的题目；第12题考查指对函数，可结合反函数的思想，利用导数的几何意义进行求解，显然，这部分超出了课标与考纲对反函数知识的要求；2、填空题部分。第15题，出现了多年未考的正态分布，再结合独立事件进行考查，对学生具有一定的挑战性；第16题，递推数列为背景的题目，填空题的压轴题，明显超出了学生的实际水平，在课标与考纲对数列要求降低的背景下在课标卷中出现这一题目，
27、我们对新课标数列的教学或许应该重新认识。（二）、突出主干、能力立意解答题部分主干突出、能力立意，重点在于考查数学数学思想，解决问题的实际能力，其中18题与19题对立体几何与概率统计的考查顺序进行了调整，增加了学生的不适应感，整体难度在近几年之上，加之考生在小题部分浪费了时间、影响了情绪，在一定程度上影响了学生的作答。第17题，考查正余弦定理与解三角形，大纲卷里多年稳定的题目，但是20072011的宁夏海南卷中解答题17题都未出现这一题型（在2007、2009分别考查了正余弦定理的运用题，其余考查的都是数列题），本以为会淡出新课标卷，不意在此出现，这与平时的训练不相符，肯定会造成学生不适应，所以
28、还是难住了不少同学。本题有与新课标背道而驰的嫌疑。第18题，考查概率统计（这一位置历年都是立体几何），以实际生活为背景，考查随机变量分布列、期望和方差，第1问直接考查分段函数的解析式，与2011年形式相同，但对阅读理解的能力、对数据处理的能力都比去年要求高，同时，对方差的考查增加了运算的难度，开放型的题目设问要求学生准确理解随机变量的数字特征。第19题，考查立体几何（这一历年都是概率统计），这是唯一没有变化的题目，直三棱柱的背景学生较熟悉，线线垂直的证明和二面角的求解都属于常规题，同时兼顾传统几何方法和空间向量法，难度不大。第20题，考查解析几何，抛物线与圆的背景选材较新，与历年相比，第一问也
29、不易得分，第2问考查直线与抛物线的位置关系，利用对称性解答，运算能力的考查要求非常高，高难度。第21题，考查函数与导数的综合运用，比较抽象，与历年直接给出函数解析式的题目不同，但是第一问在以前的小题中考查过。本题要求学生具有很强的函数处理能力和对导数的充分理解，对分类讨论思想的考查与历年相同，高难度，与历年相比，第一问也不易得分。选考题，题型固定，22题，几何证明选讲、23题，坐标系与参数方程、24题，不等式选讲。今年选考题难度明显高于往年，23题第2问，多个两点间距离的平方和的取值范围、24题第2问，三个绝对值的问题，都对学生有一定的冲击，要求学生对问题要很强的理解能力和操作能力。导致学生基本只能得到第1问的分。总之，2012年全国新课标理科数学试卷难度远高于历年，试卷结构、题型设置，考查内容方面都有创新，题目更重能力，更重思想、更重探索，今年理科数学的平均分明显下降，这对2012年首次参考新课标卷的学生明显不公平，但是，试卷的区分度和可信度将会更高，对高校的选拨作用会更加明显。2012年新课标高考数学卷，对2013年新课标高考备考工作和对今后新课标的教学提出了更高的挑战。