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1、二次函数一般式的图二次函数一般式的图像和性质像和性质第1页，共51页，编辑于2022年，星期四1 的顶点坐标是的顶点坐标是_，对称轴，对称轴是是_ 2怎样把怎样把 的图象移动，便可得到的图象移动，便可得到 的图象？的图象？（h，k）复习提问复习提问直线直线xh 第2页，共51页，编辑于2022年，星期四3 的顶点坐标是的顶点坐标是 ，对称，对称轴是轴是 (2，5)直线直线 x2 4在上述移动中图象的开口方向、形状、在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？变化？有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变有变化的：抛物线的
2、顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状化的：抛物线的开口方向、形状 第3页，共51页，编辑于2022年，星期四我们复习了将抛物线我们复习了将抛物线 向左平移向左平移2个单位再个单位再向下平移向下平移5个单位就得到个单位就得到 的图象，的图象，将将 化为一般式为化为一般式为 ，那么如何将抛物线，那么如何将抛物线 的图的图像移动，得到的像移动，得到的 图像呢？图像呢？新课新课 的图象怎样平移就的图象怎样平移就得到得到那么一般地，函数那么一般地，函数的图象呢？的图象呢？第4页，共51页，编辑于2022年，星期四1用配方法把用配方法把化为化为的形式。的形式。的形式，求出顶点坐标和对称轴。
3、的形式，求出顶点坐标和对称轴。例例1 用配方法把用配方法把化为化为解：顶点坐标为（顶点坐标为（3，2），对称轴为），对称轴为x3第5页，共51页，编辑于2022年，星期四答案：答案：，顶点坐标是，顶点坐标是(1，5)，对称轴是直线对称轴是直线 x1 的形式，求出顶点坐标和的形式，求出顶点坐标和对称轴。对称轴。练习练习1 用配方法把用配方法把化为化为第6页，共51页，编辑于2022年，星期四 的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 “”类似具体演算如下：化为化为的形式。的形式。2用公式法把抛物线用公式法把抛物线把变形为第7页，共51页，编辑于2022年，星期四所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直
4、线。第8页，共51页，编辑于2022年，星期四 的形式，求出对称轴和顶点坐标例例2 用公式法把化为解：在中，顶点为（1，2），对称轴为直线 x1。第9页，共51页，编辑于2022年，星期四 的形式，并求出顶点坐标和对称轴。答案：，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x2练习练习2 用公式法把化成第10页，共51页，编辑于2022年，星期四3图象的画法图象的画法 步骤：1利用配方法或公式法把化为的形式。2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。第11页，共51页，编辑于2022年，星期四 的图像，利用函数图像回答：例例3 画出(1)x取什么值时，y0？
5、(2)x取什么值时，y0？(3)x取什么值时，y0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？第12页，共51页，编辑于2022年，星期四分析：分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像第13页，共51页，编辑于2022年，星期四(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称，对称轴是轴是x2.(2)当当x1时时，y0，即，即图图象与象与x轴轴交于点交于点(1，0)，根据，根据轴对轴对称，很容易知道称，很容易知道(1，0)
6、的的轴对轴对称点是点称点是点(3，0)又当又当x0时时，y6，即，即图图象与象与y轴轴交于点交于点(0，6)，根据，根据轴对轴对称，称，很容易知道很容易知道(0，6)的的轴对轴对称点是点称点是点(4，6)用光滑曲用光滑曲线线把五个点把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，6)，(4，6)连结连结起来，就是起来，就是的的图图象。象。第14页，共51页，编辑于2022年，星期四解：列表xy2210063046第15页，共51页，编辑于2022年，星期四（2,2）x=2（0,6）（1,0）（3,0）（4,6）由图像知：由图像知：(1)当当x1或或x3时，时，y0；(2)当当1x3时，时，y
7、0；(3)当当x1或或x3时，时，y0；(4)当当x2时，时，y有最大值有最大值2。xy第16页，共51页，编辑于2022年，星期四练习练习3 画出画出的图像。的图像。x10123y52125第17页，共51页，编辑于2022年，星期四x=1y=x22x2第18页，共51页，编辑于2022年，星期四 （3）开口方向：当）开口方向：当 a0时，抛物线开口向时，抛物线开口向上；当上；当 a0时，抛物线开口向下。时，抛物线开口向下。4二次函数二次函数的性质：的性质：（1）顶点坐标）顶点坐标（2）对称轴是直线）对称轴是直线第19页，共51页，编辑于2022年，星期四如果如果a0，当，当时，函数有最小值
8、，时，函数有最小值，如果如果a0，当，当时，函数有最大值，时，函数有最大值，（4）最值：）最值：第20页，共51页，编辑于2022年，星期四若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；当当时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；当时，时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。（5）增减性：）增减性：第21页，共51页，编辑于2022年，星期四 与与y轴的交点坐标为轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线抛物线与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线抛物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为，其中，其中为方程为方程的两
9、实数根的两实数根第22页，共51页，编辑于2022年，星期四 与与x轴的交点情况可轴的交点情况可由对应的一元二次方程由对应的一元二次方程(7)抛物线抛物线的根的判别式判定：的根的判别式判定：0有两个交点有两个交点抛物线与抛物线与x轴相交；轴相交；0有一个交点有一个交点抛物线与抛物线与x轴相切；轴相切；0没有交点没有交点抛物线与抛物线与x轴相离。轴相离。第23页，共51页，编辑于2022年，星期四例例4 已知抛物线已知抛物线k取何值时，抛物线经过原点；取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在y轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在x轴上；轴上；
10、k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。第24页，共51页，编辑于2022年，星期四 ，所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上。，所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点；抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，所以第25页，共51页，编辑于2022年，星期四 ，所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上。抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即，整理得，解得：由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。第26页，共51页，编辑于2022年，星期四所以当x2时，。解法一（配方法）：例
11、例5 当当x取何值时，二次函数取何值时，二次函数 有最大值或有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？最小值，最大值或最小值是多少？第27页，共51页，编辑于2022年，星期四因为所以当x2时，。因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值，总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；(2)用公式法解法二（公式法）：第28页，共51页，编辑于2022年，星期四又例例6已知函数已知函数 ，当，当x为何值时，函为何值时，函数值数值y随自变量的值的增大而减小。随自变量的值的增大而减小。解法一：，抛物线开口向下，对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。第29页，共51页，编辑于2022年，
12、星期四解法二：，抛物线开口向下，对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。第30页，共51页，编辑于2022年，星期四例例7 已知二次函数已知二次函数的最大值是的最大值是0，求此函数的解析式，求此函数的解析式第31页，共51页，编辑于2022年，星期四解：解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组由解方程得所求函数解析式为。第32页，共51页，编辑于2022年，星期四 相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若a0开口向上；5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。a0开口向下。第33页，共51页，编辑于2022年，星期四5抛物线抛
13、物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故若b0对称轴为y轴，若a，b同号对称轴在y轴左侧，第34页，共51页，编辑于2022年，星期四5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)，c0抛物线经过原点；c0与y轴交于正半轴；c0与y轴交于负半轴。第35页，共51页，编辑于2022年，星期四例例8 已知如图是二次函数已知如图是二次函数yax2b
14、xc的图象，的图象，判断以下各式的值是正值还是负值判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc第36页，共51页，编辑于2022年，星期四分析：已知的是几何关系分析：已知的是几何关系(图形的位置、形图形的位置、形状状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用数形结合的作用第37页，共51页，编辑于2022年，星期四解：解：(1)因为抛物线开口向下，所以因为抛物线开口向下，所以a0；判断判断a的符号的符号第38页，共51页，编辑于2022年，星期四(2)因为对称轴在因为对称轴在y轴
15、右侧，所以轴右侧，所以，而，而a0，故，故b0；判断判断b的符号的符号第39页，共51页，编辑于2022年，星期四(3)因为因为x0时，时，yc，即图象与，即图象与y轴交点的轴交点的坐标是坐标是(0，c)，而图中这一点在，而图中这一点在y轴正半轴，轴正半轴，即即c0；判断判断c的符号的符号第40页，共51页，编辑于2022年，星期四(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标因为顶点在第一象限，其纵坐标，且，且a0，所以，所以，故，故。判断判断b24ac的符号的符号第41页，共51页，编辑于2022年，星期四 ，且，且a0，所以，所以b2a，故，故2ab0；(5)因为顶点横坐标小于因为顶点横坐标小于1，
16、即，即判断判断2ab的符号的符号第42页，共51页，编辑于2022年，星期四(6)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵时，点的纵坐标为正值，即坐标为正值，即a12b1c0，故，故abc0；判断判断abc的符号的符号第43页，共51页，编辑于2022年，星期四(7)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，点时，点的纵坐标为负值，即的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判断判断abc的符号的符号第44页，共51页，编辑于2022年，星期四第45页，共51页，编辑于2022年，星期四第46页，共51页，编辑于2022年，星期四第47页，共51页，编辑于2022年，星期四第48页，共51页，编辑于2022年，星期四第49页，共51页，编辑于2022年，星期四第50页，共51页，编辑于2022年，星期四第51页，共51页，编辑于2022年，星期四