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1、简谐激励下强迫振动的响应特性简谐激励下强迫振动的响应特性强迫振动的几种形式强迫振动的几种形式强迫振动的运动方程强迫振动的运动方程取不同形式时，振动特点不同取不同形式时，振动特点不同其中简谐激励为最简单的激励形式其中简谐激励为最简单的激励形式单自由度运动微分方程的一般形式单自由度运动微分方程的一般形式其中其中,为相应齐次方程的解为相应齐次方程的解 瞬态响应瞬态响应瞬态响应瞬态响应 为方程的特解为方程的特解 稳态响应稳态响应稳态响应稳态响应运动微分方程的解运动微分方程的解 简谐激励下的响应简谐激励下的响应（有阻尼系统中该项解将逐渐消失）（有阻尼系统中该项解将逐渐消失）振动的时域波形振动的时域波形一
2、、无阻尼情形一、无阻尼情形无阻尼情形的运动方程无阻尼情形的运动方程瞬态解的一般形式：瞬态解的一般形式：稳态解的一般形式：稳态解的一般形式：代入运动方程，得到振幅：代入运动方程，得到振幅：因此，总振动的一般形式为：因此，总振动的一般形式为：放大系数与静位移放大系数与静位移总振动方程中总振动方程中代入初始条件，可求得待定常数代入初始条件，可求得待定常数 得到总振动的表达式得到总振动的表达式振幅放大系数（幅值比）振幅放大系数（幅值比）静位移静位移无量纲频率比无量纲频率比稳态解的振幅稳态解的振幅 X 通常可表达成通常可表达成其中：X无阻尼系统幅频特性无阻尼系统幅频特性稳态解的分段响应特性稳态解的分段响
3、应特性总响应总响应共共 振振由罗比塔法则由罗比塔法则此时此时Case 4:n 设激励频率与固有频率接近激励频率与固有频率接近，则：令，为一小正数。则：因此有：激励频率与固有频率接近激励频率与固有频率接近可变幅值可变幅值幅值变化周期为出现拍的现象出现拍的现象激励频率与固有频率接近激励频率与固有频率接近拍振周期拍振周期：两零幅值点或最大幅值点对应的时间：两零幅值点或最大幅值点对应的时间拍频拍频：拍的现象拍的现象we havewe have n n-=2 2 Period of beating:?Max.Amplitude:?拍的现象拍的现象激励频率与固有频率比不同时的情况激励频率与固有频率比不同时
4、的情况如右图所示的单自由度系统:m=5kg,c=0 Ns/m,and k=2000 N/m.如果如果F F(t t)=10sin(20)=10sin(20t t)(N),)(N),所有初条所有初条件为零件为零,求系统响应求系统响应x x(t t)=?)=?Solution The equation of motion:例（例（1）问题描述问题描述问题描述问题描述 Particular solution:Substitute above equations in equation of motion to obtain例例（1）The solution:A and B are determine
5、d using the initial conditionsHence,the complete response of the undamped system is例（例（1）The solution:详细推导详细推导详细推导详细推导例（例（1）二、有阻尼情形二、有阻尼情形运动方程一般形式运动方程一般形式假设稳态解形式并代入运动方程得假设稳态解形式并代入运动方程得用三角函数公式展开用三角函数公式展开令两边同谐波项相等令两边同谐波项相等幅频特性幅频特性相频特性相频特性稳态稳态和瞬和瞬态问态问题！题！全解！全解！无量纲化无量纲化振幅放大系数（幅值比）振幅放大系数（幅值比）式中：力函数和响应相位差
6、力函数和响应相位差 Vector relationshipForceForceAmplitudeAmplitudePhase AnglePhase AngleExcitationF(t)F00oRestoringkX0Lag F(t)DampingExceed x(t)90oInertiam2X0Exceed x(t)180o稳态响应的相位特性稳态响应的相位特性cX0(Stiffness domination)Vector relationship Vector relationship稳态响应的稳态响应的低频低频特性特性（习惯表达方式）（外力主要与弹性力平衡）（外力主要与弹性力平衡）若若(I
7、nertia domination)稳态响应的稳态响应的高频高频特性特性（外力主要与惯性力平衡）（外力主要与惯性力平衡）(Damping domination)稳态响应的共振特性稳态响应的共振特性（共振时，外力与阻尼力平衡，惯性力与弹性力平衡）（共振时，外力与阻尼力平衡，惯性力与弹性力平衡）振幅达到最大值时的频率振幅达到最大值时的频率受迫振动峰值并不出现在阻尼受迫振动峰值并不出现在阻尼系统的固有频率处，峰值频率系统的固有频率处，峰值频率略向左偏移，略向左偏移，对于小阻尼对于小阻尼 (i.e.,for light damping).相位特性和振幅一样，相位特性和振幅一样，振幅达到最大值时的频率振
8、幅达到最大值时的频率相位差相位差相位差相位差 自由振动自由振动 受迫振动受迫振动应该注意，这里的相位差是表示应该注意，这里的相位差是表示应该注意，这里的相位差是表示应该注意，这里的相位差是表示响应滞后于激励的相位角，不应响应滞后于激励的相位角，不应响应滞后于激励的相位角，不应响应滞后于激励的相位角，不应与自由振动的初相位相混淆与自由振动的初相位相混淆与自由振动的初相位相混淆与自由振动的初相位相混淆两者主要区别：两者主要区别：两者主要区别：两者主要区别：初相位初相位初相位初相位取决于初始位移与初始速度的相对大小；取决于初始位移与初始速度的相对大小；取决于初始位移与初始速度的相对大小；取决于初始位
9、移与初始速度的相对大小；相位差相位差相位差相位差反映响应相对于激励力的滞后效应，是由系统反映响应相对于激励力的滞后效应，是由系统反映响应相对于激励力的滞后效应，是由系统反映响应相对于激励力的滞后效应，是由系统本身具有阻尼引起的。本身具有阻尼引起的。本身具有阻尼引起的。本身具有阻尼引起的。相位差特性相位差特性相频曲线相频曲线总响应总响应系统总响应为：系统总响应为：系统总响应为：系统总响应为：式中式中式中式中 为阻尼系统的瞬态响应，与自由振动的表达式相同。为阻尼系统的瞬态响应，与自由振动的表达式相同。为阻尼系统的瞬态响应，与自由振动的表达式相同。为阻尼系统的瞬态响应，与自由振动的表达式相同。因此欠
10、阻尼系统的总响应为：因此欠阻尼系统的总响应为：因此欠阻尼系统的总响应为：因此欠阻尼系统的总响应为：其中瞬态响应的幅值其中瞬态响应的幅值其中瞬态响应的幅值其中瞬态响应的幅值 和相位和相位和相位和相位 可通过将初始条件代入上可通过将初始条件代入上可通过将初始条件代入上可通过将初始条件代入上式予以确定，即式予以确定，即式予以确定，即式予以确定，即联立求解联立求解联立求解联立求解以下方程获得：以下方程获得：以下方程获得：以下方程获得：问题描述问题描述问题描述问题描述 （1）当外激励）当外激励 F(t)=10sin(10t)(N),求系统的稳态响求系统的稳态响应应x2(t)=?（2）当）当 F(t)=1
11、0sin(10t)(N),而所有的初值条件为零，而所有的初值条件为零，即即 x(0)=dx(0)/dt=0,求瞬态解及总响应求瞬态解及总响应 x(t)?当当 t=1 s,2 s,3 s时，瞬态响应时，瞬态响应x1(t)的幅值及稳态响的幅值及稳态响应应 x2(t)的幅值的幅值 如右图所示的单自由度系统:m=5kg,c=20 Ns/m,and k=2000 N/m.例例（2）建立广义坐标。取质量元件沿建立广义坐标。取质量元件沿建立广义坐标。取质量元件沿建立广义坐标。取质量元件沿铅垂方向的位移作为广义坐标铅垂方向的位移作为广义坐标铅垂方向的位移作为广义坐标铅垂方向的位移作为广义坐标x x。原点在系统
12、的静平衡位置，。原点在系统的静平衡位置，。原点在系统的静平衡位置，。原点在系统的静平衡位置，向下为正。向下为正。向下为正。向下为正。建模建模建模建模作受力分析图作受力分析图例例（2）代入 m=5kg,c=20Ns/m,and k=2000N/m.F(t)=10sin(10t)，求频率及放大系数求频率及放大系数求频率及放大系数求频率及放大系数 例例（2）例例（2）求稳态响应的幅值及相角求稳态响应的幅值及相角求稳态响应的幅值及相角求稳态响应的幅值及相角问题问题问题问题 2 2 2 2，求瞬态响应，求瞬态响应，求瞬态响应，求瞬态响应例例（2）问题问题问题问题 2 2 2 2，总响应的最终形式，总响应
13、的最终形式，总响应的最终形式，总响应的最终形式例例（2）注意：即使初始条件均为零，瞬态解仍然不为零！注意：即使初始条件均为零，瞬态解仍然不为零！Amplitude of x2(t)=6.61mmt=1s,Amplitude of x1=0.45mmt=2s,Amplitude of x1=0.061mmt=3s,Amplitude of x1=810-3mm问题问题问题问题3 3 例例（2）衰减有、无阻尼系统对比有、无阻尼系统对比无阻尼无阻尼有阻尼有阻尼无阻尼系统的无阻尼系统的幅频响应曲线幅频响应曲线一般激励下的响应特性一般激励下的响应特性冲量作用下的单自由度系统响应冲量作用下的单自由度系统响
14、应考虑具有粘性阻尼的弹簧考虑具有粘性阻尼的弹簧-质量系统在质量系统在 t=0 时受到一个单位冲量作用时受到一个单位冲量作用:对冲量的响应对冲量的响应对于欠阻尼系统，其运动方程为对于欠阻尼系统，其运动方程为则系统的瞬态响应为则系统的瞬态响应为其中其中对冲量的响应对冲量的响应如果质量块在冲量作用之前静止，即如果质量块在冲量作用之前静止，即则系统的初始条件变为则系统的初始条件变为系统的响应为系统的响应为我们有我们有:称为称为 单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数对冲量的响应对冲量的响应如果冲量的大小是如果冲量的大小是 而不是而不是1，那么初始速度，那么初始速度 变为变为此时系统的响应成为此时系统的响应成
15、为冲量及响应如右图所示。冲量及响应如右图所示。如果冲量如果冲量 是作用在任意时刻是作用在任意时刻 处，处，则该时刻速度变化为则该时刻速度变化为 。假设冲量。假设冲量作用前作用前 ，则系统响应为，则系统响应为 脉冲发生的时刻脉冲发生的时刻对任意外力的作用，可将任意力看成对任意外力的作用，可将任意力看成是一系列大小变化的冲量组成的。是一系列大小变化的冲量组成的。对一般力的响应对一般力的响应假假设设在在 时时刻刻，力力 在在很很短短的的时时间间 作作用用在在系系统统上上，则则在在这这一一时时刻刻的的冲冲量量就就是是 ，对对于于任任意意时时刻刻 ，冲冲量量发发生生的的时时间间为为 ，则则该该冲冲量量在
16、在 时刻引起的系统的响应为时刻引起的系统的响应为:则系统在则系统在 t 时刻的总响应等于之前所有时刻的微冲量引起的时刻的总响应等于之前所有时刻的微冲量引起的响应的叠加：响应的叠加：对一般力的响应对一般力的响应将单位脉冲响应函数的表达式代入，得将单位脉冲响应函数的表达式代入，得式中的积分称作式中的积分称作 杜哈梅积分杜哈梅积分 或或 卷积卷积令令 ，并用积分代替求和，可得，并用积分代替求和，可得上面两式即为单自由度欠阻尼系统对任意激励上面两式即为单自由度欠阻尼系统对任意激励 的响应。的响应。例子例子例子例子有阻尼系统，套用杜哈梅积分公式无阻尼系统有例子例子小小 结结p强迫振动与自由振动的区别p强迫振动解的一般形式：稳态解+瞬态解p稳态解在不同无量纲频段的表现形式p有阻尼时的表现形式p无阻尼时的拍振现象（激励频率接近固有频率）p共振现象p一般激励下响应的求取作业作业(page 42,43)2-7,2-10,2-14