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1、第三章第三章：计算机控制系统的数学描述计算机控制系统的数学描述授课人：李会军授课人：李会军中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军内容提纲内容提纲本章内容提纲本章内容提纲Z变换的定义和性质Z反变换的求解方法差分方程差分方程脉冲传递函数脉冲传递函数2中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军差分方程差分方程差分方程的一般形式差分方程的一般形式假设连续函数 采样后为 ，采样时刻的幅值为 ，为了便于使用差分方程描述，将 写为 ；假设 是系统的输入数值序列；是系统的输出数值序列。一般说来，当前时刻输出信息 不仅取决于当前时刻的输入信息 ，还
2、取决于过去时刻的输入信息 和过去时刻的输出信息 ；后向差分方程：前向差分方程：3中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军差分方程差分方程差分方程的一般形式差分方程的一般形式差分方程的解差分方程的解差分方程的解=通解通解+特解特解通解通解：与初始状态有关的解，描述系统在初始状态下的自由运动；特解特解：与外部输入有关的解，描述系统在特定外部作用下的强迫运动；差分方程的求解方法：迭代法迭代法Z变换法变换法4中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军差分方程的求解方法差分方程的求解方法迭代法迭代法根据差分方程的初始条件，逐步求解后面的未知项
3、；例1：已知系统的差分方程为 ，输入信号，初始条件为 ，求输出信号解：将差分方程写成递推形式 当 时：当 时：令 ，即可求出全部的输出序列优点：优点：计算简单，便于编程实现；缺点：缺点：难以写出通项公式；5中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军差分方程的求解方法差分方程的求解方法Z变换法变换法Z变换的左移定理利用左移定理，可将前向差分方程转换为以z为变量的代数方程 计算出C(z)之后，在利用Z反变换，求出c(k)6中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军差分方程的求解方法差分方程的求解方法Z变换法变换法Z变换的右移定理利用左移定
4、理，可将后向差分方程转换为以z为变量的代数方程 计算出C(z)之后，在利用Z反变换，求出c(k)7中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军差分方程的求解方法差分方程的求解方法Z变换法变换法例2：差分方程 的初始状态为 ，使用Z变换法求 ，假设采样周期假设采样周期T=1s解：对差分方程进行Z变换，可得将初始条件带入，整理后可得：将 使用部分分式展开如下：8中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军差分方程的求解方法差分方程的求解方法Z变换法变换法因为 为非重根，系数可计算如下：可得：查表可得：9中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学
5、院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义在零初始条件下，离散系统输出量的Z变换与输入量的Z变换之比已知系统的脉冲传递函数，输出量的Z变换可表示如下：注意注意：脉冲传递函数的形式，和系统的结构和参数有关，与输入信号的形式无关10中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数脉冲传递函数的求取步骤脉冲传递函数的求取步骤对系统的传递函数 作拉式反变换，得到脉冲响应函数对脉冲响应函数 采样，得到离散脉冲响应对离散脉冲响应 进行Z变换，得到脉冲响应传递函数 注意：注意：11中国矿业大学中国矿业大学信息与
6、电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数差分方程与脉冲传递函数差分方程与脉冲传递函数已知离散系统的差分方程如下(前向差分方程前向差分方程)：在零初始条件下，对差分方程进行Z变换如下：差分方程和脉冲传递函数是离散系统的两种数学描述形式差分方程和脉冲传递函数是离散系统的两种数学描述形式12中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数采样系统中各部分的结构形式并非所有环节都能写成脉冲传递函数，只有输入和输出均有采样开关，也并非所有环节都能写成脉冲传递函数，只有输入和输出均有采样开关，也就是说
7、输入输出均为离散信号时，才能写出它们之间的脉冲传递函数；就是说输入输出均为离散信号时，才能写出它们之间的脉冲传递函数；13中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数串联环节的脉冲传递函数14中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数串联环节的脉冲传递函数1、输入输出有采样开关，串联环节之间也有采样开关 如果n个环节串联，且串联环节之间均有采样开关，则：15中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会
8、军脉冲传递函数脉冲传递函数开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数串联环节的脉冲传递函数2、如果仅输入输出有采样开关，串联环节之间没有采样开关 如果n个环节串联，且串联环节之间均无采样开关，则：注意：16中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数有零阶保持器时的开环脉冲传递函数：延迟环节，延迟时间为T17中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数并联环节的脉冲传递函数使用叠加定理，传递函数求解如下18中国矿业大学中国矿业大学信息与电
9、气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数独立环节：在计算机控制系统中，两个相邻相邻采样开关之间的环节(环节个数任意)称为独立环节；闭环脉冲传递函数推导注意：误差信号被采样，可认为输入输出信号均有采样开关；注意：误差信号被采样，可认为输入输出信号均有采样开关；19中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数例3：推导下图所示的离散系统的闭环脉冲传递函数证明：综合点之后的采样开关，相当于输入和反馈均被采样20中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气
10、工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数21中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数采样系统闭环输出的通用公式注意：注意：1、输入信号R(s)可作为一个连续环节看待；2、如果R(z)存在，则可写出闭环系统的脉冲传递函数；否则，写不出来闭环系统的脉冲传递函数；1+闭环回路中所有独立环节闭环回路中所有独立环节Z变换的乘积变换的乘积前向通道中所有独立环节前向通道中所有独立环节Z变换的乘积变换的乘积22中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传
11、递函数脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数常用采样系统结构图及输出表达式23中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数常用采样系统结构图及输出表达式24中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数常用采样系统结构图及输出表达式25中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数有干扰作用时闭环系统的输出根据线性系统的叠加原理，分别计算输入和干扰作用下的输出响应1、R(s)单独作用下的输出响应(令N(s)=0)26中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军脉冲传递函数脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数有干扰作用时闭环系统的输出2、干扰N(s)单独作用时的输出响应(令R(s)=0)由于干扰信号没有采样开关，所以只能写出其作用下的输出响应，不能写由于干扰信号没有采样开关，所以只能写出其作用下的输出响应，不能写出它的脉冲传递函数出它的脉冲传递函数3、根据叠加原理，系统的总输出如下27