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1、第三章第三章：计算机控制系统的数学描述计算机控制系统的数学描述授课人：李会军授课人：李会军中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军内容提纲内容提纲本章内容提纲本章内容提纲Z变换的定义和性质变换的定义和性质Z反变换的求解方法反变换的求解方法差分方程脉冲传递函数2中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军内容回顾内容回顾采样定理采样定理(香农定理香农定理)定理：如果连续信号是有限带宽的，且它所含的频率分量的最大值为 ，当采样频率 时，原来的连续信号可以用其采样信号来表征，或者说采样信号可以不失真地代表原来的连续信号。物理含义：如果采样频
2、率足够大，使得连续信号的最高频率的正弦分量在一个周期内能够被采样2次以上，则采样信号就能不失真地反映连续信号的特性；3中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的定义变换的定义连续信号 经过周期为T的理想采样开关后，采样信号 如下：对上式进行拉氏变换如下：为了简单起见，令：，上式变为：4中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的定义变换的定义表示方法：含义：表示采样脉冲序列采样脉冲序列 拉氏变换的一种特殊形式；延迟环节：均表示k个采样周期的延迟5中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程
3、学院李会军李会军Z变换变换Z变换的计算方法变换的计算方法级数求和法例1：求指数函数 的Z变换解：连续函数 采样之后的数学表达式如下：Z变换：上式为一个等比级数，当 时，级数收敛，级数和为：6中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的计算方法变换的计算方法部分分式展开法1、求出时域函数 对应的拉式变换 ；2、使用部分分式展开法，将 展开成简单分式之和；3、利用常用函数拉氏变换和Z变换对照表，查表得到相应的Z变换；部分分式展开法的步骤：7中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的计算方法变换的计算方法部
4、分分式展开法1、当 无重根时，可写为n个分式之和的形式：是 的根，系数 可求解如下：2、当 有重根，假设 为r阶重根，为非重根，则：8中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的计算方法变换的计算方法部分分式展开法 为非重根的系数，可按照步骤1的方法进行计算，为重根的系数，其计算方法如下：9中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的计算方法变换的计算方法部分分式展开法 例2：已知 ，求其相应的采样函数采样函数的Z变换 解：利用部分分式展开法，可分解如下：10中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信
5、息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的计算方法变换的计算方法部分分式展开法将各项系数带入展开式，并查找各项对应的Z变换，可得：11中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的计算方法变换的计算方法留数计算法假设 为r阶重根，为非重根，则留数计算法的计算公式：其中，是 的r阶重根，为 的非重根；12中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的基本定理变换的基本定理线性定理证明：根据Z变换的定义，线性定理证明如下 13中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换
6、Z变换的基本定理变换的基本定理时域位移定理1、左位移(超前)定理证明：根据Z变换的定义，证明如下14中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的基本定理变换的基本定理时域位移定理特殊情况特殊情况：在零初始条件下在零初始条件下，即 ，超前定理可简化如下：2、右位移(延迟)定理 证明：根据Z变换的定义，证明如下15中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的基本定理变换的基本定理复域位移定理证明：根据Z变换的基本定义，证明如下注意：时域形式和注意：时域形式和Z域形式中域形式中 的符号的符号16中国矿业大学中
7、国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的基本定理变换的基本定理初值定理证明：根据Z变换的基本定义，证明如下终值定理：假设 的Z变换为 ，并假定函数 在Z平面的单位圆上或单位圆外没有极点，则有：17中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变换的基本定理变换的基本定理证明：引入如下2个有限数列对于实际系统，当t0时，f(t)=0。所以式(2)中，f(-T)=0。比较(1)和(2)：令z趋于1，对(1)式和(2)式之差取极限，如下：18中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z变换变换Z变
8、换的基本定理变换的基本定理因此，当n趋于无穷时，可得：19中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z反变换反变换Z反变换的定义反变换的定义描述：求出与Z变换相对应的采样函数采样函数 的过程成为Z反变换；注意：注意：Z反变换的结果只包含了采样时刻的信息，与连续信号无关20中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z反变换反变换Z反变换的求解方法反变换的求解方法幂级数展开法(长除法)根据Z变换的定义，Z变换式可以用幂级数表示，则 项的加权系数即为采样时刻的值：优点优点：计算方便，易于计算机编程实现；缺点缺点：难以得到f(kT)的通项公式
9、；21中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z反变换反变换Z反变换的求解方法反变换的求解方法 例3：已知 ，求 解：采样函数为：)）22中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z反变换反变换Z反变换的求解方法反变换的求解方法留数法采样时刻的值 可利用 在 全部极点上的留数之和求得：其中，n为 的极点个数如果 的极点中有r阶的重极点 ，该极点处的留数计算如下：23中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z反变换反变换Z反变换的求解方法反变换的求解方法留数法 例4：已知 ，求解：使用留数法计算如下采样
10、函数为：24中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z反变换反变换Z反变换的求解方法反变换的求解方法部分分式展开法(查表法)1、当 无重根时，将 展开成部分分式之和的形式如下：计算各项系数：得到：查表可知：由此可得：25中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z反变换反变换Z反变换的求解方法反变换的求解方法部分分式展开法(查表法)2、当 有r阶重根时，可展开如下：其中，是非重根项的系数，可使用步骤1中的方法进行计算。重根项的系数计算方法如下26中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z反变换反变换Z反变换的求解方法反变换的求解方法部分分式展开法(查表法)计算出各展开项的系数之后，得到 的部分分式之和的形式如下：查表，得到各采样时刻的值最后，得到 的Z反变换形式：27中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z反变换反变换Z反变换的求解方法反变换的求解方法 例5：求 的Z反变换，假设采样时间假设采样时间T=1s解：利用部分分式展开法，将 展开如下：计算各项系数：28中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军Z反变换反变换Z反变换的求解方法反变换的求解方法 可得：查表：Z反变换为：29