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1、1第一部分第一部分 专题二专题二 第三讲第三讲 导数的简单应用导数的简单应用A 组1曲线yxex2x1 在点(0，1)处的切线方程为( A )Ay3x1 By3x1Cy3x1 Dy2x1解析 ky|x0(exxex2)|x03，切线方程为y3x1，故选 A2(文)如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程为xy20，则f(1)f (1)( D )A1 B2C3 D4解析 由条件知(1，f(1)在直线xy20 上，且f (1)1，f(1)f (1)314.(理)(2017烟台质检)在等比数列an中，首项a1 ，a4 (12x)dx，则该数列的2 34 1前 5 项和S5为( C )A18 B3
2、 C D242 3242 5解析 a4 (12x)dx(xx2)| 18，4 14 1因为数列an是等比数列，故 18q3，解得q3，2 3所以S5.故选 C.2 3135 13242 33已知常数a、b、c都是实数，f(x)ax3bx2cx34 的导函数为f (x)，f (x)0 的解集为x|2x3，若f(x)的极小值等于115，则a的值是( C )A B 81 221 3C2 D5解析 依题意得f (x)3ax22bxc0 的解集是2,3，于是有23a0，23，23，2b 3ac 3ab，c18a，函数f(x)在x3 处取得极小值，于是有f(3)3a 227a9b3c34115，a81，a
3、2，故选 C.81 24若函数f(x)loga(x3ax)(a0，a1)在区间( ，0)内单调递增，则a的取值1 2范围是( B )A ，1) B ，1) 1 43 4C( ，) D(1， )9 49 4解析 由x3ax0 得x(x2a)0.则有Error!或Error!所以x或0.1 3解析 yx2a，若yx3ax有三个单调区间，则方程x2a0 应有两1 3个不等实根，故a0.(理)(2018临沂模拟)如图，已知A(0， )，点P(x0，y0)(x00)在曲线yx2上，若1 4阴影部分面积与OAP面积相等，则x0.64解析 因为点P(x0，y0)(x00)在曲线yx2上，所以y0x，2 0则
4、OAP的面积S |OA|x0| x0x0，1 21 21 41 8阴影部分的面积为x00x2dxx3|x00x，1 31 3 3 0因为阴影部分面积与OAP的面积相等，所以xx0，1 3 3 01 8即x .2 03 8所以x0.3 8648已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4 时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当x(1，)时，f(x)0，求实数a的取值范围解析 (1)f(x)的定义域为(0，)当a4 时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f (x)ln x 3，f (1)2，1 xf(1)0.曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 2xy20
5、.4(2)当x(1，)时，f(x)0 等价于ln x0.ax1 x1设g(x)ln x，ax1 x1则g(x) ，g(1)0.1 x2a x12x221ax1 xx12当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)内单调递增，因此g(x)g(1)0；当a2 时，令g(x)0，得x1a1，x2a1.a121a121由x21 和x1x21，得x10，r0)ax xr2(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若 400，求f(x)在(0，)内的极值a r解析 (1)由题意知xr，所以定义域为(，r)(r，)，f(x)，ax xr2ax x22r
6、xr2f (x)ax22rxr2ax2x2r x22rxr22，arxxr xr4所以当xr时，f (x)0.因此，f(x)的单调递减区间是(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间是(r，r)(2)由(1)可知f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减，因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)100.ar 2r2a 4r(理)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)5x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解析 (1)因为f(x)xeaxbx，所以f (x)(1x)eaxb.依题设，得Erro
7、r!即Error!解得a2，be.(2)由(1)，知f(x)xe2xex.由f (x)e2x(1xex1)及 e2x0 知，f (x)与 1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)内单调递增故g(1)1 是g(x)在区间(，)内的最小值B 组1(2017郑州市质检)已知函数f(x)的导函数为f (x)，且满足f(x)2xf (e)ln x，则f (e)( C )A1 B1 Ce1 De解析 依题意得，f (x)2f (e) ，取xe 得f (e)2f (e) ，由1 x1 e此解得f (e) e1，故选 C.1 e2已知函数f
8、(x)ax3bx23x在x1 处取得极值，若过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，则切线方程是( B )A9xy160 B9xy160Cx9y160 Dx9y160解析 f (x)3ax22bx3，依题意f (1)f (1)0，即Error!解得a1，b0.所以f(x)x33x，6因为曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上，设切点为(x0，y0)，则点M的坐标满足y0x3x，3 0因此f (x0)3(x1)2 0故切线的方程为yy03(x1)(xx0)2 0注意到点A(0,16)在切线上，有 16(x3x0)3(x1)(0x0)，3 02 0化简得x8.3 0解得x02.所以，切
9、点为M(2，2)，切线方程为 9xy160.3(文)函数f(x)3x2ln x2x的极值点的个数是( A )A0 B1C2 D无数个解析 函数定义域为(0，)，且f (x)6x 2，1 x6x22x1 x由于x0，g(x)6x22x1 中200 恒成立，故f (x)0 恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点(理)物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方 5 m 处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为( C )A3 B4 C5 D6解析 因为物体A在t秒内行驶的路程为 (3t21)dt，物
10、体B在t秒内行驶的路程t 0为 10tdt，所以 (3t2110t)dt(t3t5t2)| t3t5t25，所以(t5)(t21)t 0t 0t00，即t5.4(文)(2018湖南衡阳三次联考)已知x1 是函数f(x)ax3bxlnx(a0，bR R)的一个极值点，则 lna与b1 的大小关系是( B )Alnab1 Blna0)，则g(a) 3，1 a13a ag(a)在(0， )上递增，在( ，)上递减，1 31 3故g(a)maxg( )1ln3f(x3)成立的x的取值范围是( D )A(1,3) B(，3)(3，)C(3,3) D(，1)(3，)解析 函数f(x)ln(exex)x2，
11、f(x)2x，exex exex当x0 时，f(x)0，f(x)单调递增，当xf(x3)等价于|2x|x3|，整理，得x22x30，解得x3 或xf(x3)成立的x的取值范围是(，1)(3，)，故选 D5设f(x)，g(x)分别是定义在 R R 上的奇函数和偶函数，且g(x)0，当xf(x)g(x)，且f(3)0，则不等式0，当x0，fx gxf xgxfxgx g2x令h(x).fx gx则h(x)在(，0)上单调递增，8因为h(x)h(x)，fx gxfx gx所以h(x)为奇函数，根据奇函数的性质可得函数h(x)在(0，)上单调递增，因为f(3)f(3)0，所以h(3)h(3)0，h(x
12、)1，则a的取值范围为a0 时，讨论f(x)的单调性解析 (1)当a0 时，f(x) 2ln xf (x) (x0)1 x1 x22 x12x x2由f (x)0，12x x2解得 0 .1 2f(x)在(0， )内是增函数，在( ，)内是减函数1 21 2f(x)的极大值为f( )2ln 22，无极小值1 2(2)f(x)2ax (2a)ln x1 xf (x)2a(2a) 1 x21 x2ax22ax1 x2.ax12x1 x2当 02 时，f(x)在(0， )和( ，)内是增函数，在( ， )内是减函数1 a1 21 a1 2(理)已知函数f(x)ax2lnx，其中aR R.1 2(1)
13、求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上的最大值是1，求a的值解析 (1)f (x)，x(0，)ax21 x当a0 时，f (x)0，从而函数f(x)在(0，)上单调递增；当a0 时，令f (x)0，解得x，舍去x.1a1a此时，f(x)与f (x)的情况如下：x(0，)1a1a(，)1af (x)0f(x)f()1a所以，f(x)的单调递增区间是(0，)；1a单调递减区间是(，)1a10(2)当a0 时，由(1)得函数f(x)在(0,1上的最大值为f(1) .a 2令 1，得a2，这与a0 矛盾，舍去a2.a 2当1a0 时，1，由(1)得函数f(x)在(0,1上的最大值为f(1) .1aa 2令 1，得a2，这与1a0 矛盾，a 2舍去a2.当a1 时，01，由(1)得函数f(x)在(0,1上的最大值为f()1a1a令f()1，解得ae，满足a1.1a综上，当 f(x)在(0,1上的最大值是1 时，ae.