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1、第六章第六章 系统的稳定性系统的稳定性 稳定性是控制系统的重要性能指标之稳定性是控制系统的重要性能指标之一，也是对控制系统的最基本要求。一个系一，也是对控制系统的最基本要求。一个系统能否在实际中应用，首要的条件就是这个统能否在实际中应用，首要的条件就是这个系统必须是稳定的。因此系统的稳定性分析系统必须是稳定的。因此系统的稳定性分析是本书的重要章节。是本书的重要章节。6.1 6.1 系统稳定的条件系统稳定的条件一一 、稳定性的概念、稳定性的概念1 1 系统的稳定现象举例。系统的稳定现象举例。Ab)Aa)稳定不稳定是系统特有的性能稳定不稳定是系统特有的性能,与扰动大小没有关系与扰动大小没有关系.图
2、示图示a a为一钟摆示意图。设在外界扰动力为一钟摆示意图。设在外界扰动力作用下，摆由原来平衡位置作用下，摆由原来平衡位置A A偏离到新的位置偏离到新的位置AA，形成了摆的初始状态。当外力去掉后，形成了摆的初始状态。当外力去掉后，摆在重力作用下由位置摆在重力作用下由位置AA回到回到A A。并在惯性力并在惯性力作用下继续向左摆动后来达到作用下继续向左摆动后来达到A”A”。此后又开此后又开始向右摆动。这样，由于介质阻尼作用经过若始向右摆动。这样，由于介质阻尼作用经过若干次震荡，摆将重新回到原来的平衡位置干次震荡，摆将重新回到原来的平衡位置A A，而而B B图所示的摆，如果在图所示的摆，如果在A A点
3、也是平衡的，但只点也是平衡的，但只要有小的扰动使摆偏离要有小的扰动使摆偏离A A点后，即使扰动消失点后，即使扰动消失了，摆也不会回到原来的平衡位置了，摆也不会回到原来的平衡位置A A。由后述由后述定义可知定义可知a a是稳定的，是稳定的，b b是不稳定的。是不稳定的。2 2、稳定性的定义稳定性的定义 系统的稳定性：是指系统在使它偏离稳定平衡状系统的稳定性：是指系统在使它偏离稳定平衡状态的扰动消除后，若系统在足够长的时间内能恢复到态的扰动消除后，若系统在足够长的时间内能恢复到原来的平衡状态，或者趋于一个给定的新的平衡状态，原来的平衡状态，或者趋于一个给定的新的平衡状态，则该系统是稳定的则该系统是
4、稳定的。反之，若系统对于干扰的瞬态响应随时间的推移反之，若系统对于干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大而不断扩大（b b图）或发生持续震荡（图）或发生持续震荡（C C图）就是一般图）就是一般所谓的所谓的“自激振动自激振动”,系统是不稳定。系统是不稳定。只有稳定的系统才能正常工作。只有稳定的系统才能正常工作。稳定性是系统去稳定性是系统去掉扰动之后自身的一种恢复能力，是系统的一种固有掉扰动之后自身的一种恢复能力，是系统的一种固有特征，特征，这种固有的稳定性只取决于系统的结构参数，这种固有的稳定性只取决于系统的结构参数，而与初始条件及外部作用无关。而与初始条件及外部作用无关。a)b)c)二、二、系统
5、稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件:根据稳定性定义，若系统稳定，则当其根据稳定性定义，若系统稳定，则当其输入端加任意一干扰信号时，其对应的系统输入端加任意一干扰信号时，其对应的系统输出必随时间增长而衰减。即输出必随时间增长而衰减。即设系统传函为：设系统传函为：其中，-p1,-p2,-pn为系统n个两两相异的极点，即特征方程的根。A1,A2An为部分分式的n个待定系数，可由公式求出：将上式进行拉氏反变换为：pi0因此，系统稳定的充要条件为：系统传递函数的极因此，系统稳定的充要条件为：系统传递函数的极点必须全部在点必须全部在ss平面的左侧。平面的左侧。因此，系统稳定的充要条件为：因此，系统稳
6、定的充要条件为：系统系统传递函数的极点必须全部在传递函数的极点必须全部在ss平面的左侧。平面的左侧。由于传递函数的极点就是特征方程式的由于传递函数的极点就是特征方程式的根。因此系统稳定的充分必要条件可转化为：根。因此系统稳定的充分必要条件可转化为：要求系统特征方程式的所有根之实部均为负数要求系统特征方程式的所有根之实部均为负数。6-3 6-3 劳斯劳斯胡尔维茨判据（代数稳定判据）胡尔维茨判据（代数稳定判据）线线性性定定常常系系统统稳稳定定的的条条件件是是特特征征方方程程的的根根具具有有负负实实部部。因因此此，要要判判别别其其稳稳定定性性，就就要要求求解解特特征征方方程程的的根根。当阶数高于当阶
7、数高于4 4时，解根将会遇到较大困难。时，解根将会遇到较大困难。为为避避免免直直接接解解根根，只只好好讨讨论论根根的的分分布布，看看其其是是否否全全部部具具有有负负实实部部，来来判判断断系系统统的的稳稳定定性性，就就产产生生了了一一系系列列稳稳定定判判据据。18841884年年，E.J.RouthE.J.Routh提提出出的的判判据据，成成为为劳劳斯斯判判据据。18951895年年，A.HurwitzA.Hurwitz提提出出了了另另一一方方法法，赫赫尔尔维维茨茨判据。判据。（代数方法）（代数方法）一、劳斯判据一、劳斯判据 设控制系统的特征方程为：设控制系统的特征方程为：劳斯判据劳斯判据判断系
8、统稳定性的步骤如下：判断系统稳定性的步骤如下：步骤步骤：1、检查系数：特征方程不缺项;所有系数ai均为正值。2、根据特征方程式，列写劳斯阵列：Snanan-2an-4an-6Sn-1an-1an-3an-5an-7Sn-2b1b2b3b4Sn-3c1c2c3c4S2SS0Snanan-2an-4an-6Sn-1an-1an-3an-5an-7Sn-2b1b2b3b4Sn-3c1c2c3c4S2SS03 3、考察阵列中第一列各数的符号：、考察阵列中第一列各数的符号：若第一若第一列各数均为正，则闭环特征方程的所有根列各数均为正，则闭环特征方程的所有根具有负实部，系统稳定。具有负实部，系统稳定。如果
9、第一列中有负数，则系统不稳定，如果第一列中有负数，则系统不稳定，数值符号改变的次数即为系统特征方程含数值符号改变的次数即为系统特征方程含有正实部根有正实部根(不稳定根）的数目。不稳定根）的数目。例1：设控制系统的特征方程为：试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：1.各项为正且不缺项；2.劳斯阵列：s3s2ss0133240130-2003(1)(1)第一列中系数不全为正，第一列中系数不全为正，系统不稳定；系统不稳定；（2 2）系数由）系数由1-1-（-2-2）-3-3 符号改变两次，说明系统符号改变两次，说明系统有两个正实部的根（不稳定根），有两个正实部的根（不稳定根），即在即在SS右平面有两个闭
10、环极点。右平面有两个闭环极点。二、特殊情况二、特殊情况 特特殊殊情情况况1 1：如如果果在在劳劳斯斯判判据据阵阵列列中中有有一一行行的的第第一一个个元元素素为为零零，而而后后各各元元素素不不为为零零。在在计计算下一行时，数值趋于无穷大，无法计算。算下一行时，数值趋于无穷大，无法计算。方法：方法：将将零零用用一一个个很很小小的的正正数数来来代代替替，然然后后继继续续计计算算各各行行，再再令令趋趋于于零零求求极极限限，再再来来判判别第一列系数的符号。别第一列系数的符号。例2：设控制系统的特征方程为：试应用劳斯判据判断系统的稳定性。解：1.各项为正且不缺项；2.劳斯阵列：s3s2ss01112200
11、1d01(1)(1)第一列中系数不全为正，第一列中系数不全为正，系统不稳定；系统不稳定；（2 2）系数由）系数由 -（-）-1-1 符号改变两次，说明系统符号改变两次，说明系统有两个正实部的根，即在有两个正实部的根，即在SS右右平面有两个闭环极点。平面有两个闭环极点。特殊情况特殊情况2 2：有一行元素全为零有一行元素全为零 （说说明明虚虚轴轴上上有有共共轭轭虚虚根根，系系统统处处于于临临界稳定），系统是临界稳定或不稳定界稳定），系统是临界稳定或不稳定 方法：方法：利用该行的上一行的各元素构成辅助利用该行的上一行的各元素构成辅助多项式，并利用此多项式的导数的系数组成多项式，并利用此多项式的导数的
12、系数组成劳斯表的这一行，继续进行运算；劳斯表的这一行，继续进行运算；利用辅助多项式构成辅助方程，解出利用辅助多项式构成辅助方程，解出数值相同，符号相异的特征根。数值相同，符号相异的特征根。例3：设控制系统的特征方程为：试应用劳斯判据判断系统的稳定性。解：1.各项为正且不缺项；2.劳斯阵列：s3s2ss018201621216016800038结论：结论：第一列第一列系数全为正，系统系数全为正，系统没有右半平面的根，但没有右半平面的根，但s s3 3行的行的各系数都为零，说明虚轴上有各系数都为零，说明虚轴上有共轭虚根，系统处于临界稳定。共轭虚根，系统处于临界稳定。s5s44/38 三、赫尔维茨（
13、三、赫尔维茨（Hurwitz）判据判据系统特征方程：D(s)=ansn+an-1sn-1+a1s+a0=0 各系数组成的行列式如下所示：系统稳定的充分必要条件是：系统稳定的充分必要条件是：不缺项且各项系数全为正；不缺项且各项系数全为正；主主行行列列式式n n及及其其对对角角线线上上各各子子行行列式列式1 1，2 2n-1n-1均具有正值。即：均具有正值。即：例：已知某系统的特征方程式为例：已知某系统的特征方程式为 求该系统稳定的求该系统稳定的K K值范围。值范围。解：列劳斯表解：列劳斯表由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。第一列
14、的系数必须全为正值。可得：可得：6-36-3、奈奎斯特稳定判据（几何判据）、奈奎斯特稳定判据（几何判据）由由H.NyquistH.Nyquist于于19321932年年提提出出的的稳稳定定判判据据。这这一一判判据据是是利利用用开开环环系系统统的的幅幅相相频频率率特特性性（奈奈氏氏图图，极极坐坐标标图图）来来判判断断系系统统闭闭环环后后的的稳定性，是一种几何判据。稳定性，是一种几何判据。应应用用奈奈奎奎斯斯特特判判据据不不需需要要求求取取闭闭环环系系统统的的特特征征根根，而而是是应应用用开开环环频频率率特特性性G GK K(jw(jw)曲曲线（乃氏曲线）进而分析闭环系统的稳定性线（乃氏曲线）进而
15、分析闭环系统的稳定性。一、预备知识：一、预备知识：闭环传函、开环传函的关系：闭环传函、开环传函的关系：设系统如图所示：设系统如图所示：其闭环传函其闭环传函：开环传函开环传函：G(s)H(s)-由于与一般为分式，即：由此可看出：1+的极点pi(I=1,2,n)就是开环传函 的极点。而1+的零点是闭环传函的极点。由此可看出：1+的极点pi(I=1,2,n)就是开环传函 的极点。而1+的零点是闭环传函的极点。用奈氏判据判断系统稳定需要：用奈氏判据判断系统稳定需要：奈奈氏氏图图和和开开环环右右极极点点数数(即即开开环环传传递递函数中含有不稳定的极点数函数中含有不稳定的极点数)二、奈奎斯特稳定判据二、奈
16、奎斯特稳定判据1）、奈奎斯特判据内容：）、奈奎斯特判据内容：闭环控制系统稳定的充分和必要条件是：当闭环控制系统稳定的充分和必要条件是：当由由00变化时，系统开环幅频特性曲线（奈氏变化时，系统开环幅频特性曲线（奈氏图）图）G(j)H(j)G(j)H(j)逆时针包围（逆时针包围（-1-1，j0j0）点的圈点的圈数数N N等于开环传函等于开环传函S S右半平面极点数右半平面极点数P P的一半的一半,如如开开环环系系统统稳稳定定，则则S S右右半半平平面面的的开开环环极极点点数数P=0P=0，则则闭闭环环系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件为为：系系统的开环奈氏图不包围（统的开环奈氏图不包围（-1,j
17、0-1,j0）点点。如则闭环系统不稳定，闭环系统的不稳定根（正实部特征根）的个数为Z-闭环右极点(不稳定根)的个数（正整数 或零）；P-开环右极点(不稳定根)的个数（正整数 或零）；N-由0变化时，G(j)H(j)曲线（奈氏曲线）包围（-1，j0）点的个数。N0 按逆时针包围；N=0 不包围；N0下的相频曲线自下而上穿过-1800线时幅角增大为正穿越，反之相频曲线自上而下穿过-1800线时角度减小为负穿越.3 3、判据、判据 根据上述对应关系根据上述对应关系 对数频率特性的奈氏判据表达如下：对数频率特性的奈氏判据表达如下：系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件是是：在在开开环环波波德德图图的的L
18、()0dBL()0dB的的所所有有频频段段内内，相相频频特特性性曲曲线线（）在在-180-1800 0线上正、负穿越次数之差等于线上正、负穿越次数之差等于 。P-P-开环右极点数。开环右极点数。如果如果P=0P=0，则上述正负穿越次数应相等。则上述正负穿越次数应相等。如如果果在在L()=0L()=0时时，相相频频曲曲线线穿穿越越-180-1800 0，则则系系统统处于临界稳定状态。处于临界稳定状态。-1800-+L()/dBP=0()P=2L()dB/dec-+()当当开开环环轨轨迹迹穿穿越越（-1-1，j0j0）点点时时，其其对对应的闭环系统将处于临界稳定状态。应的闭环系统将处于临界稳定状态
19、。设设 开开 环环 频频 率率 特特 性性 G(j)H(j),G(j)H(j),在在=0 0时时通通过过（-1-1，j0j0）点点，这这时时可可得得到到如如下临界条件：下临界条件：根据上式就可得到待定参数的临界值。根据上式就可得到待定参数的临界值。例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为试确定系统临界稳定时开环增益试确定系统临界稳定时开环增益k k的临界值的临界值k0k0与与时间常数时间常数T T的关系。的关系。解：由幅角条件得将代入幅值条件，即可求得代入幅值条件，即可求得K K的临界值的临界值K K0 0 即：即：由此可知：为了使闭环稳定由此可知：为了使闭
20、环稳定K K的取值范围应该使的取值范围应该使5-4 5-4 系统的相对稳定性（稳定性裕量）系统的相对稳定性（稳定性裕量）奈奈氏氏判判据据是是通通过过研研究究开开环环传传递递函函数数的的轨轨迹迹（即即奈奈氏氏图图）和和（-1-1，j0j0）点点的的关关系系及及开开环环右极点数来判别系统的稳定性。右极点数来判别系统的稳定性。至至此此，只只回回答答了了稳稳定定与与否否的的问问题题，但但不不能能回回答答稳稳定定程程度度如如何何。下下面面由由奈奈奎奎斯斯特特图图与与（-1-1，j0j0）点点的的关关系系，不不但但可可以以判判别别系系统统稳稳定定与与否否，而而且且还还可可以以表表示示系系统统的的稳稳定定程
21、程度度，即即稳稳定定性性的的裕裕量量。系系统统的的稳稳定定性性程程度度可可用用相相位位裕裕量量和幅值裕量和幅值裕量来表示。来表示。从奈奎斯特稳定判据可知：若开环传函没有从奈奎斯特稳定判据可知：若开环传函没有右平面的极点，且闭环系统是稳定的右平面的极点，且闭环系统是稳定的,则：则：G(j)G(j)轨迹离（轨迹离（-1-1，j0j0）点越远，则闭环的稳定点越远，则闭环的稳定性程度越高。性程度越高。开环奈氏轨迹离（开环奈氏轨迹离（-1-1，j0j0）点越近，则其闭环系统点越近，则其闭环系统的稳定性越低。的稳定性越低。如穿过（如穿过（-1-1，j0j0）点，则系统处于临界稳定状态。点，则系统处于临界稳
22、定状态。这便是通常所说的相对稳定性。它通过这便是通常所说的相对稳定性。它通过G(j)G(j)对点（对点（-1-1，j0j0）的靠近程度来度量。的靠近程度来度量。-1 一、一、概念概念1幅值交界频率c：（也称幅值穿越频率，开环 截止频率，开环剪切频率）开环频率特性的幅频特性 时所对应的频率 2 相位交界频率g：也称相位穿越频率，时所对应的频率。c-在波德图上，是对数幅频特性曲线与0dB线相交时的频率。波德图上二、相位裕量二、相位裕量 在在幅幅值值穿穿越越频频率率c c处处，使使系系统统达达到到临临界界稳稳定定所所需需要要的的附附加加相相位位量量，定定义义为为相相位位裕量裕量：0 0时时，表表示示
23、系系统统不不仅仅稳稳定定，而而且且还还有有相相当当的的稳稳定定储储备备。即即允允许许相相位位再再增增加加度度才才能能达到临界稳定状态条件。达到临界稳定状态条件。cg(-1,j0)-c0g正增益裕量20lg|GH|GH1对不稳定的系统：，则Kg2相对稳定性稳定裕量幅值裕量相角裕量幅值穿越频率相位穿越频率总结：稳定不稳定相角裕量幅值裕量系统稳定系统不稳定为负值系统稳定系统不稳定为满足动态性能的要求，相角裕量在300600幅值裕量在515dB例：已知最小相位系统的例：已知最小相位系统的BodeBode图渐近线，求系统的开环图渐近线，求系统的开环传递函数，求系统的相角裕量，说明系统的稳定性。传递函数，
24、求系统的相角裕量，说明系统的稳定性。解：求k，取0.1：代入0.1得例：已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图，例：已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图，试求：试求：（1 1）系统的开环传函；）系统的开环传函；（2 2）利用稳定裕度判断系统的稳定性；）利用稳定裕度判断系统的稳定性；（3 3）如要求系统具有）如要求系统具有3030o o的稳定裕度，试确的稳定裕度，试确 开环放大应改变的倍数。开环放大应改变的倍数。-1-2-3L(w)/dB0.110wC40解解:(1)(1)系统开环传函的基本形式：系统开环传函的基本形式：K=10(2)(2)开环对数幅频特性为：开环对数幅频特性为：系统的
25、开环对数相频特性为：系统的开环对数相频特性为：利用了利用了L(w)=0L(w)=0求解截止频率求解截止频率故故系统临界稳定系统临界稳定（3）由于若要求即要求解得：例：设某单位负反馈系统的前向通道传函为：（1）计算系统的开环剪切频率（2）计算系统闭环幅频特性的谐振频率及谐振峰值二阶二阶系统的谐振频率：系统的谐振频率：谐振峰值谐振峰值例：已知单位负反馈系统的开环传函为当系统的输入时，闭环系统的稳态输出为，试计算参数K和T的数值解：系统闭环传函：闭环系统的频率特性：由频率特性的定义：1例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为：例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为：试确定使系统产生持续振荡的试确定使系
26、统产生持续振荡的K K的取值，的取值，并求出振荡频率。并求出振荡频率。解：列劳斯表：K=119(1)例：已知某单位负反馈系统的开环传函：求使系统稳定的K、T的取值范围例：某系统的开环传函：画出其bode图，并求幅值穿越频率一是非题：一是非题：1 1 系统的增益越大，则系统的误差就越小。（系统的增益越大，则系统的误差就越小。（）2 2 若系统在某输入信号作用时，其稳态误差为无穷大，若系统在某输入信号作用时，其稳态误差为无穷大，则该系统是不稳定的。则该系统是不稳定的。（）3 3 单位负反馈系统的开环传函的零点就是闭环传函的单位负反馈系统的开环传函的零点就是闭环传函的 零点。零点。（）4 4 在同一
27、频率下，幅频特性相同的两个系统，其中非在同一频率下，幅频特性相同的两个系统，其中非 最小相位系统的相位角的变化范围一定小于最小最小相位系统的相位角的变化范围一定小于最小 相位系统的相位角的变化范围。相位系统的相位角的变化范围。（）5 5 在时域响应中，若加大信号的幅值，则可使系统的在时域响应中，若加大信号的幅值，则可使系统的 响应加速。响应加速。（）6 6 一个二阶系统，当其阻尼比增大时，调整时间就随一个二阶系统，当其阻尼比增大时，调整时间就随 之减小。之减小。（）7 7 若某系统在加速度信号作用时，稳态误差为若某系统在加速度信号作用时，稳态误差为，则该系统不稳定。则该系统不稳定。（）8 8
28、某系统前向通道传函为某系统前向通道传函为G(s)G(s)，这时把单位负反馈这时把单位负反馈 改变为改变为 H(s)=1+sH(s)=1+s的负反馈的情况下，两者的稳态的负反馈的情况下，两者的稳态 误差是相同的。误差是相同的。（）9 9 任何非线性系统都可以通过线性化处理，使之成为任何非线性系统都可以通过线性化处理，使之成为 线性系统。线性系统。（）1010系统传函的闭环主导极点越靠近虚轴，则响应越系统传函的闭环主导极点越靠近虚轴，则响应越 快。快。（）1111频率响应是指系统对谐波输入信号的时间响应。频率响应是指系统对谐波输入信号的时间响应。（）1212单位负反馈零型系统的闭环增益等于单位负反
29、馈零型系统的闭环增益等于1 1。（）1515控制系统的所有性能的讨论都与输入信号无关。控制系统的所有性能的讨论都与输入信号无关。（）1616一个含有延时环节一个含有延时环节e e-s-s的系统一定是不稳定系统。的系统一定是不稳定系统。（）1717若系统对某信号的稳态响应不趋向于零，则该系统若系统对某信号的稳态响应不趋向于零，则该系统 是不稳定的。是不稳定的。（）1818若开环传函的增益为若开环传函的增益为k k，则经单位负反馈闭环后，则经单位负反馈闭环后，其其k k值不变。值不变。（）1919超调量与系统的固有频率无关。超调量与系统的固有频率无关。（）2020常数常数A A的拉氏变换仍然是的拉
30、氏变换仍然是A A。（）2121一阶系统的时间常数一阶系统的时间常数T T值越大，则该系统的响应越值越大，则该系统的响应越 快。快。（）2222单位负反馈系统的阶次取决于前向通道传函的阶次。单位负反馈系统的阶次取决于前向通道传函的阶次。一选择题：1闭环控制系统的作用信号是：（）a偏差信号b输入信号c反馈信号d干扰信号2二阶系统的固有频率Wn变化时，以下哪个指标不变：（）aMpb。tpc。tsd。tr3以下哪个分析与输入信号无关：（）a频域响应b。时域响应c。稳定性分析d。稳态误差分析4型系统的Nyquist曲线的起点在：（）a负虚轴的无穷远处b。负实轴无穷远处c实轴上d。复平面的原点处5一阶惯
31、性环节G(s)=K/(1+Ts)在单位阶跃信号作用时，当输出值达到0.98K时，相应调整的时间是：（）aKTb。Tc4Td。4KT6如G(s)=K/(1+4s),当W为何值时，其相位角滞后45：（）a4b。1/4c。4Kd。K/47系统产生谐振的条件是：（）a01b。00.707d。0.418二阶系统产生振荡的条件是：（）a01c。00.707d。0.707111G(s)=(s+1)/s2(2s+5),当时，相频趋向于：（）a-b。-3/2c。-/2d。12对二阶系统，以下频率之间的关系是正确的是：（）aWnWdb。WdWrc。WrWd13某系统传函G(s)=1/(s2+2Wns+Wn2),当输入信号R(t)=A时，其稳态输出值是：（）a1b。Ac。Wn2Ad。A/Wn214对系统传函C(s)/R(s)=6/(s2+4s+4)的叙述，哪个是正确的：）a临界阻尼系统b。增益是6c。是0型系统d。欠阻尼系统