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1、3 函数极限存在的条件函数极限存在的条件一、归结原则一、归结原则二、单调有界定理二、单调有界定理三、函数极限的柯西收敛准则三、函数极限的柯西收敛准则首页首页3 函数极限存在的条件函数极限存在的条件 定理定理3.8(归结原则归结原则)一、归结原则一、归结原则数列数列对任何含于对任何含于设设在在内有定义内有定义.存在的充要条件是存在的充要条件是:且以且以为极限的为极限的极限极限都存在且相等都存在且相等.首页首页分析分析只须证明只须证明,若对任意数列若对任意数列有有且且则则因为在已知条件中因为在已知条件中,具具有这种性质的数列有这种性质的数列 是任意的是任意的 可以考虑应用反证法可以考虑应用反证法.
2、也就是否定结论也就是否定结论,根据极限定义根据极限定义只要能构造某一个数列只要能构造某一个数列(当然有无限多个当然有无限多个),假设假设但是但是盾盾.于是充分性得到证明于是充分性得到证明.充分性的证法：充分性的证法：所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时这时的否定叙述的否定叙述,与已知条件相矛与已知条件相矛首页首页若若则则证证已知已知根据海涅定理根据海涅定理必要性必要性,对任意数列对任意数列且且有有数列极限的四则运算数列极限的四则运算,对任意数列对任意数列且且有有再根据海涅定理的充分性再根据海涅定理的充分性,有有首页首页注注3 海涅定理除上述重要
3、的理论意义外海涅定理除上述重要的理论意义外,它还为证它还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以若可找到一个以 为极限的数列为极限的数列 ,使使 不存在不存在,或找到两个都以为或找到两个都以为 极限的数列极限的数列 与与 ,使使 与与 都存在而不相等都存在而不相等,则则 不存在不存在.首页首页函数函数 的图象如图的图象如图3-4所示所示,例例1证明极限证明极限 不存在不存在.由图象可见由图象可见,当当 时时,其函数值无限次地在其函数值无限次地在-1与与1的范围内振的范围内振荡荡,而不趋于任何确定的数而不趋于任何确定的数.首页首页对任何
4、以为对任何以为 极限的递减数列极限的递减数列 ,有有 设函数设函数 在点在点 的某空心右邻域的某空心右邻域 有定义有定义.对于对于 和和 为四种类型为四种类型的单侧极限的单侧极限,相应的归结原则可表示为更强的形式相应的归结原则可表示为更强的形式.现以现以 这种类型为例阐述如下：这种类型为例阐述如下：定理定理3.9的充要条件是：的充要条件是：首页首页以保证所找到的数列以保证所找到的数列 能递减的趋于能递减的趋于 .定理定理3.93.9充分性的证明可参照第二章第三节例充分性的证明可参照第二章第三节例3 3及及定理定理3.83.8的证明的证明.注注5例如可取例如可取首页首页 (1)设设 为定义在为定
5、义在 上的有界函数上的有界函数.若若 递增递增,则则 ;二、单调有界定理二、单调有界定理 相应于数列极限的单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类关于上述四类单侧极限也有相应的定理单侧极限也有相应的定理.现以现以 这种类型为这种类型为例叙述如下：例叙述如下：定理定理3.10 设设 为定义在为定义在 上的单调有界上的单调有界函数函数,则右极限则右极限 存在存在.注注6 若若 递减递减,则则 首页首页首页首页(2)设设 为定义在为定义在 上的递增函数上的递增函数 则则 充分性的证明可以利用数列极限的柯西充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁准则和函数极限与数
6、列极限的桥梁海涅定理来海涅定理来证证.三三 函数极限的柯西收敛准则函数极限的柯西收敛准则定理定理3.11(柯西准则柯西准则)设函数设函数 在在 内有定义内有定义.存在的充要存在的充要条件是：任给条件是：任给 ,存在正数存在正数 ,使得对任何使得对任何 有有 .分析分析 分两步：分两步：1)对任何以对任何以 为极限的数列为极限的数列 数列数列 的极限都存在的极限都存在;2)证明对任何以证明对任何以 为极限的数列为极限的数列 ,数列数列 的极限都相等的极限都相等.首页首页 可以利用柯西准则证明函数极限可以利用柯西准则证明函数极限 的不存在的不存在:注注7 设函数设函数 在在 内有定义内有定义.不存
7、在不存在的充要条件是：存在的充要条件是：存在 ,对任意正数对任意正数 ,存在存在 ,我们可取我们可取 ,对任何对任何 ,设正整设正整数数 ,令令如在例如在例1中中首页首页于是按柯西准则于是按柯西准则,极限极限则有则有 ,而而首页首页 小小 结结1 1 证明函数极限存在或求函数极限的方法证明函数极限存在或求函数极限的方法.(1)(1)用定义证明函数极限的方法且用定义证明函数极限的方法且尤其是分段函数的分段点尤其是分段函数的分段点.(2)(2)用柯西收敛准则证明函数极限存在用柯西收敛准则证明函数极限存在.(3)(3)用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值.(4)(
8、4)用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值限值 (5)(5)用四则运算法则及一些熟悉的极限求值用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.首页首页 (6)(6)对于单侧极限对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存单调有界定理可证得极限存在在.2 2 证明函数极限不存在的主要方法证明函数极限不存在的主要方法:(1)(1)利用函数极限的定义证明函数极限不存在利用函数极限的定义证明函数极限不存在,(2)(2)利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限特别对分段函数在分段点处的极限.(3)(3)利用海涅归结原理证明函数极限不存在利用海涅归结原理证明函数极限不存在.(4)(4)利用柯西收敛准则证明函数极限不存在利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.首页首页