函数极限存在条件.ppt

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1、关于函数极限存在条件现在学习的是第1页，共19页3 函数极限存在的条件0.xx 与讨论数列极限存在的条件一样,我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性下面的定理只对这种类型的函数极限进行讨论,但其结论对其它类型的函数极限也是成立的. 定理3.8(归结原则,海涅定理)000000(;).lim( )(;),lim().xxnnnfUxf xUxxxf x设 在内有定义存在的充要条件是:对任何含于且以 为极限的数列极限都存在且相等现在学习的是第2页，共19页即即00lim( ),(),lim()nnnxxnf xAx xxnf xA 证明证明0lim( )xxf xA即即/00,0(),0 |

2、xx 使当时恒有恒有 |)(|Axf则对上述则对上述, 0N 时时使使当当Nn 00 |nxx故故 |)(|AxfnAxfnn )(lim0limnnxx再由现在学习的是第3页，共19页都有都有Axfnn )(lim用反证法用反证法即即00 x使对，都有 满足00 |xx/n现取有有nx满足满足/00 |nxxn但但0|)(| Axfn此与此与Axfnn )(lim矛盾矛盾0lim( )xxf xA00()nnxxxx设对0lim( )xxf xA要证0lim( )xxf xA若0( )f xA但00,nnxx xx即1,2,n 现在学习的是第4页，共19页1注:归结原则也可简述为00lim(

3、 )()lim().nnxxnf xAxx nf xA 对任何有2注000 ,lim(), ,lim()lim(),lim( ).nnnnnnnnnxxxxf xxxxf xf xf x若可找到一个以 为极限的数列使不存在或找到两个都以 为极限的数列与使与都存在但不相等 则不存在现在学习的是第5页，共19页海涅定理的意义虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但两者是有联系的.海涅定理是沟通数列极限与函数极限的桥梁.它指出,函数极限可化数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位,因为海涅定理给出了函数极限存在的充要条件,所以有的数学分析教材就用数列极限定义函数极限.有了海涅定理之后,有

4、关函数极限的定理都可借助数列极限的定理予以证明.应用海涅定理证明函数极限不存在也很简便.现在学习的是第6页，共19页01limsinxx例1 证明极限不存在.证1,nxn 设1,(1,2,),22nxnn 则显然有0,0(),nnxxn 1sin00,nx1sin11().nnx 故由归结原则即得结论.1sin.0,yxx函数的图象如右图所示当时 其函数值无限次地在-1与1的范围内震荡,而不趋于任何确定的数.现在学习的是第7页，共19页1,;0,.xD xxR例2,证明狄利克莱函数当 为有理数时 ( )=当 为无理数时在上每一点都不存在极限00000, ,lim,lim,nnnnnnnnxRr

5、srxsx rx sx事实上有理数列与无理数列且00.D xxxRD xR根据海涅定理,函数 ( )在 不存在极限因为 是上任意一点,所以 ( )在 上每一点都不存在极限lim( )1,lim()0,nnnnD rD s有现在学习的是第8页，共19页证 必要性00lim( ),0,0,0( ).xxf xAxxf xA 设则对当时有0000 (),0,nnxUxxNnNxx设含于且递减趋于则对上述当时便有0,().lim().nnnnNf xAf xA于是当时 便有故000,.:xxxxxxxx 对于和这四种类型的单侧极限相应的归结原则可表示为更强的形式现以这种类型为例阐述如下00000003

6、.9().lim( ):(),lim().xxnnnfxUxf xAxxUxf xA定理设函数 在点 的某空心右邻域有定义的充要条件是 对任何以 为极限的递减数列有现在学习的是第9页，共19页0000lim( ),( )xxf xAxxxf xA充分性 (反证)假设则存在某一个正数不论正数多么小 总存在一点尽管0但有00001110110()(,),2(),Uxxxxxxf xA设则对存在一点使0且210220222021min,2(),xxxxxf xAxx对存在一点使0且1000121min,2(),nnnnnnnnnxxxxxf xAxxxx一般地,对取存在一点 使0且nx这样的数列满足

7、001(),1,2,nnnxUxxx n(1)且0(2)(),1,2,nf xAn00(),nxUx由于故有00(),2nnnxxn 00000,lim,()(2),lim(),.nnnnnxxxxUxf xA因此可见 是以 为极限的递减数列 且含于但由知矛盾现在学习的是第10页，共19页3.10定理000(),lim( ).xxfUxf x设 为定义在上的单调有界函数则右极限存在证00()fUx不妨设 在上递增.00()fUx因 在上有界,由确界原理00()inf( ),.x Uxf xA存在 记为0lim( ).xxf xA下证,事实上000,(),xUx 按下确界定义 存在( )f xA

8、 使得00,xx取,f则由 的递增性000(,)(; ),xx xUx对一切( )( ).f xf xA有,另一方面( ),( ).Af xAf x由更有000(,)(; ),xx xUx从而对一切有( )Af xA0lim( ).xxf xA就证得现在学习的是第11页，共19页最后,我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则.000003.11()(;).lim( ):0,(),(; )( )().xxfUxf xx xUxf xf x 定理设 在内有定义存在的柯西准则充要条件是正数使得对任何有证必要性000,(),(; )xUx 则正数当0lim( ),xxf xA设( ).2f xA有00,(

9、; )x xUx于是对任何有( )()( )()f xf xf xAf xA22.充分性000 (; )lim.nnnxUxxx设数列且00,0,(),(; )x xUx 按假设正数使得对任何有现在学习的是第12页，共19页( )().f xf x0(),nxx n由于0,0,Nn mN对上述的使得当时有00,(; ),nmxxUx()().nmf xf x从而有 (),nf xA于是按数列的柯西收敛准则,数列的极限存在 记为lim().nnf xA即000(;)lim,nnnyUxyx设另一数列且,lim(),nnf y则如上所证存在.B记为.BA现证122, :,nnnzx yxyxy为此

10、 考虑数列00 (;)nzUx易见0lim,nnzx且, ().nf z仍如上所证也收敛 ()nf z于是,作为的两个子列, () ().nnf xf y与必有相同的极限所以由归结原则推得0lim( ).xxf xA现在学习的是第13页，共19页00000lim( ):0,(),(; )( )().xxf xx xUxf xf x按照函数极限的柯西准则,我们能写出不存在的充要条件是正数无论 多么小 总可找到使得011,0,n如在例1中我们可取对任何设正整数令11,2xxnn0,(0; ),x xU则有11sinsin1xx而0.01limsinxx于是,按照函数极限的柯西准则,极限不存在.现在

11、学习的是第14页，共19页部分习题解答lim( )xf x1.叙述函数极限的归结原则().lim( ):xfUf x设 在内有定义则存在的充要条件是(),lim,lim(),nnnnnUxxf x 对任何含于内的无上界数列只要那么必存在 且任何这样的数列的极限都相等. ,)().: lim( ) ,)().xfaf xfa2.设 为定义在上的增 减 函数证明存在的充要条件是 在有上 下 界证 (只证增函数有上界的情况,另一种情况类似可证) :lim( )xf xA若1,0(),( )1MMaxMf xA 对当时有现在学习的是第15页，共19页1( )1.Af xA 即 ,) ,),faxa 是

12、上的增函数,对 ,xa M当时有( )()f xf M(1)f M1.A(,),( )1.xMf xA当时 有 ,).fa 所以 在上有上界: ,)fa 若 在上有上界, ,)fa 按确界原理, 在上有上确界, ,)sup ( ).xaAf x设 ,),( ),xaf xA 有000, ,),()xaf xA 且对使0 ,),xaxx 从而对且恒有0()( ),Af xf xAlim( ).xf xA所以有现在学习的是第16页，共19页3.(1)lim( );xf x叙述极限的柯西准则(2)lim( ),lim sin.xxf xx根据柯西准则叙述不存在的充要条件 并应用它证明不存在解(1)

13、lim( )xf x的柯西准则:( )(),lim( )0,0,(),( )().xf xUf xMx xUx xMf xf x 设函数在内有定义 则存在的充要条件是:对只要就有00(2)( )(),lim( )0,0,(),( )().xf xUf xMx xUx xMf xf x 设函数在内有定义 则不存在的充要条件是:对于任何总存在虽然但lim sin ,xx对于01,2取0,M 对于任何 1nM 则有及2,(22),22xnM xnM 0sinsin2.xx但lim sin.xx所以不存在现在学习的是第17页，共19页0004.().:()lim,lim(),oonnnnnfUxxUx

14、xxf x设 在内有定义证明 若对任何数列且极限都存在 则所有这些极限都相等证0 (),onnxyUx任取两数列,0limlim.nnnnxyx它们都有lim(),lim().nnnnf xAf yB按题设假设1122 :,nnnzx y xyxy构建新数列0 ()onzUx则212, .nnnnnxzyzz且均是的子列210limlim,nnnnzxx故20limlim,nnnnzyx0lim.nnzxlim(),nnf zC按题设假定212lim()lim().nnnnf zf zC则lim()lim()nnnnf xf yC.ABC即 ,.nnxy因为,是任取的两数列 所以结论成立现在学习的是第18页，共19页感谢大家观看感谢大家观看9/1/2022现在学习的是第19页，共19页