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1、追赶曲线的计算机模拟追赶曲线的计算机模拟一、问题描述 欧洲文艺复兴时期的著名人物达芬奇曾经提出一个有趣的“狼追兔子”问题，当一只兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只饿狼出现在兔子正东的100码处。兔子急忙奔向自己的洞穴，狼立即以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。兔子一旦回到洞穴便逃脱厄，问狼是否会追赶上兔子？二、背景分析这一问题的研究方法可以推广到如鱼雷追击潜艇、地对空导弹击飞机等问题上去。在对真实系统做实验时，可能时间太长、费用太高、危险太大、甚至很难进行。计算机模拟是用计算机模仿实物系统，对系统的结构和行为进行动态演示，以评价或预测系统的行为效果。根据模拟对象的不同特点，分为确定性模拟和
2、随机性模拟两大类。模拟通常所用的是时间步长法，即按照时间流逝的顺序一步一步对所研究的系统进行动态演示，以提取所需要的数据。三、模型假设（1）设兔子奔跑的速度为 ，则狼运动的速度为 。建立平面直角坐标系，若当 时刻，兔子位于点 处，狼位于点 处。试根据 ，的坐标确定一个单位向量 ，描述狼在 时段内的运动方向。（2）根据狼的运动方向和速度推导 到 的坐标的具体表达式。（3）用计算机绘制追赶曲线的图形（包括静态和动态的图形）。四、模型的建立首先计算狼的初始位置到兔子洞穴的直线距离：由于狼奔跑的速度是兔子速度的两倍，兔子跑60码的时间狼可以跑120码。如果狼沿直线奔向兔窝，应该是可以追上兔子的。但是，
3、有人推导出狼在追赶兔子过程中的运动曲线为根据曲线方程，当时 ，。也就是说，在没有兔窝的情况下兔子一直往北跑，在跑到大约66码处将被狼追上。由此可知，在有兔窝时狼是追赶不上兔子的。用计算机模拟的方法也可以得到同样的结论。取时间步长为1s，随时间步长的增加，考虑这一系统中的各个元素（狼和兔子）所处的位置变化规律，用计算机作出模拟。最后，根据第60s时狼所在的位置的坐标，判断狼是否能追上兔子。设兔子所在位置为动点 Q，狼所在位置为动点P。在时刻 tk，两个动点的坐标分别为：Q(uk,vk),P(xk,yk)，动点P的轨迹就是追赶曲线。在t k 时刻到t k+1 时刻这个时段，P点的运动方向可以用单位
4、向量描述：显然，uk=0，vk=tk。五、五、源程序源程序设在初始时刻兔子和狼的位置分别为 Q(0，0)，P(100，0)初始时刻的狼、兔距离为100码，我们不妨规定当狼、兔距离小于0.5码时，兔子被狼追上，结束追赶。下面MATLAB程序可计算并绘制追赶曲线。x(1)=100;y(1)=0;u(1)=0;v(1)=0;t=1;d=100;e=-1 0;while d0.5 x(t+1)=x(t)+2*e(1);y(t+1)=y(t)+2*e(2);t=t+1;u(t)=0;v(t)=t;e=-x(t)t-y(t);d=sqrt(e(1)2+e(2)2);e=e/d;end plot(u,v,o,x,y)六、实验结果