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1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其平面向量数量积的物理背景及其含义含义已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a，OB=b，则，则AOB=（0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入
2、向量“数量积数量积”的概念。的概念。已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a|b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a|b|cos规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。|a|cos（|b|cos）叫）叫做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？ab=
3、|a|b|cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当=90时时ab为零。为零。设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，的夹角，则的夹角，则特别地特别地OAB abB1解：解：ab=|a|b|cos=54cos120 =54（-1/2）=10例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求a ab b。例例2 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解：|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45 =2OAB|b|cos ab
4、B1等于等于的长度的长度与与的乘积。的乘积。练习：练习：1 1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 00，a b b=0，则，则b=04 4若若a b=0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b=b c，则，则a=c6 6若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：其中，其中，是任意三个向量，是任意三个向量，注：注：ONMa+b
5、bac 向量a、b、a+b在c上的投影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律证明运算律(3)例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.例例4、的夹角为的夹角为解解:2013.4.17应用应用复习复习2、数量积的定义：、数量积的定义：1、向量夹角的定义：、向量夹角的定义：叫做叫做规定规定0
6、与任何向量的数量积为与任何向量的数量积为03、投影：、投影：OOO4、数量积的几何意义：、数量积的几何意义：等于等于 的长度的长度与与的乘积。的乘积。投影投影5 5、数量积的运算规律：、数量积的运算规律：（）（）6、数量积的重要性质、数量积的重要性质设设是非零向量，是非零向量，(用于计算向量的模用于计算向量的模)(点乘为零是判定两向量点乘为零是判定两向量垂直的条件垂直的条件)(用于计算向量的用于计算向量的夹角夹角,以及判断三以及判断三角形的形状角形的形状)求向量的数量积及向量的模求向量的数量积及向量的模点评点评：利用利用 求向量的模时求向量的模时 可转化为求向量的平方问题可转化为求向量的平方问
7、题变式变式1：已知：已知 ，的夹角的夹角6060，求求 题型一：求向量的数量积及向量的模题型一：求向量的数量积及向量的模题型二：解决向量的垂直问题题型二：解决向量的垂直问题分析分析：根据向量根据向量 与与 互相垂直互相垂直的条件列出关于的条件列出关于k的关系式，求关于的关系式，求关于k的方程的方程跟踪训练跟踪训练题型三：求向量的夹角题型三：求向量的夹角例例3：已知单位向量：已知单位向量 的夹角为的夹角为60，求向量求向量 与与 的夹角的夹角分析分析：要求向量要求向量 与与 的夹角，依据公式的夹角，依据公式 即先求出这两向量的数量积及它们的模即先求出这两向量的数量积及它们的模单位向量的模是单位向
8、量的模是1 例例4：已知已知ABC中，中，试判断试判断ABC的形状的形状题型四：判断三角形形状题型四：判断三角形形状练习练习1 1、已知、已知|p|p|8 8，|q|q|6 6，p p和和q q的夹角是的夹角是6060，求，求p p q q2 2、设、设|a|a|1212，|b|b|9 9，a a b b ，求，求a a和和b b的夹角的夹角3 3、已知、已知 中，中，ABABa a，ACACb b 当当a a b0b0时，时，是三角形；是三角形；当当a a b=0b=0时，时，是三角形是三角形4 4、已知、已知|a|a|6 6，e e为单位向量，当它们的夹角分别为为单位向量，当它们的夹角分别为 4545、9090、135135时，求出时，求出a a在在e e方向上的投影方向上的投影5 5、已知、已知 中中a a5 5，b b8 8，C C6060，求，求BCBC CACA24135钝角钝角直角直角020跟踪训练跟踪训练变式变式3：已知：已知O为为ABC所在平面内一点所在平面内一点,且满足且满足 试判断试判断ABC的形状的形状利用平面向量数量积求解利用平面向量数量积求解长度长度问题问题