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1、24.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径济水一中数学组济水一中数学组 黄小国黄小国问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.437.4m m,拱高拱高(弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离)为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？实践探究实践探究把把一个圆沿着它的任意一条直
2、径对折，一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴例例1 下列图形中是轴对称图形吗？如果是，请下列图形中是轴对称图形吗？如果是，请画出它的一条对称轴画出它的一条对称轴.如图如图1，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）图）图1是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧
3、？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE弧弧：把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半两侧的两个半圆重合，点圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，分别与分别与 、重合重合图图1OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧 CD是是 O的直径，的直径，AB是弦；是弦；CDAB于于E；AE=BE，由以上活动可得：由以上活动可得：
4、一条直线若满足一条直线若满足：（1）过圆心（）过圆心（CD是直径是直径）；）；（2）垂直于弦（）垂直于弦（CD AB于于E）；）；则可推出：则可推出：（3）平分弦（）平分弦（AE=BE）；）；（4）平分弦所对的劣弧（）平分弦所对的劣弧（）；）；（5）平分弦所对的优弧（）平分弦所对的优弧（）.如图如图3，AB是是 O的弦（不是直径），直径的弦（不是直径），直径CD平分弦平分弦AB，交，交AB于于E（1）图）图3是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？）你能发现图中有那些等量关系？CD与与AB垂直吗？说一说垂直吗？说一说
5、你的理由你的理由.OABCDE活活 动动 三三AEC=BEC弧：弧：图图3思考：思考：如果如果AB也是直径，上述结也是直径，上述结论是否成立？论是否成立？不一定成立不一定成立.CDAB（AEC=BEC=900）OABCDE CD是是 O的直径，的直径，AB是弦（不是直径）；是弦（不是直径）；AE=BE；CD AB，推论：推论：平分平分弦（不是直径）弦（不是直径）的直径垂直于弦，并的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧一条直线若满足一条直线若满足：（1）过圆心（）过圆心（CD是直径是直径）；）；（2）平分弦（不是直径）（）平分弦（不是直径）（AE=BE）；）；则可推出：（则可
6、推出：（3）垂直于弦（）垂直于弦（CD AB）；）；（4）平分弦所对的劣弧（）平分弦所对的劣弧（）；）；（5）平分弦所对的优弧（）平分弦所对的优弧（）.由以上活动可得：由以上活动可得：例例2 如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE解：连接解：连接OA，过点，过点O作作OEAB于于E答：答：O的半径为的半径为5cm.1.如图如图AB是是 O的直径，弦的直径，弦CDAB于于M，下，下列结论不一定成立的是（列结论不一定成立的是（）A.CM=DMB.C.AD=2BDD.BCD=BDCC巩固练习巩固练习2.如图，
7、周长为如图，周长为10 的的 O中，弦中，弦AB的弦心距的弦心距OC等于等于3，那么弦，那么弦AB的长为（的长为（）A.2 B.4 C.6 D.8D巩固练习巩固练习3.如图，如图，AB是是 O的直径，弦的直径，弦CDAB于于E，若若AB=20，CD=16，则线段，则线段OE等于（等于（）A.4 B.6C.8 D.10B4如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD矩形矩形ADOE为正方形
8、为正方形.OABCDE CD是是 O的直径，的直径，AB是弦；是弦；CDAB于于E；AE=BE，小结反思小结反思垂径定理垂径定理一条直线若满足一条直线若满足：（1）过圆心（）过圆心（CD是直径是直径）；）；（2）垂直于弦（）垂直于弦（CD AB于于E）；）；则可推出：则可推出：（3）平分弦（）平分弦（AE=BE）；）；（4）平分弦所对的劣弧（）平分弦所对的劣弧（）；）；（5）平分弦所对的优弧（）平分弦所对的优弧（）.符号语言符号语言OABCDE CD是是 O的直径，的直径，AB是弦（不是直径）；是弦（不是直径）；AE=BE；CD AB，垂径定理的推论垂径定理的推论一条直线若满足一条直线若满足：（1）过圆心（）过圆心（CD是直径是直径）；）；（2）平分弦（不是直径）（）平分弦（不是直径）（AE=BE）；）；则可推出：（则可推出：（3）垂直于弦（）垂直于弦（CD AB）；）；（4）平分弦所对的劣弧（）平分弦所对的劣弧（）；）；（5）平分弦所对的优弧（）平分弦所对的优弧（）.小结反思小结反思符号语言符号语言作业：作业：课本课本87第第1题，题，88第第9、11题题.