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1、 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径（ 第第1课时）课时） 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，它的对称轴是圆是轴对称图形，它的对称轴是_1.如何确定一个圆？以点如何确定一个圆？以点O为圆心，为圆心，2cm为半径作圆。为半径作圆。任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线OAB活活 动动 二二 试验与探究试验与探究 （1）是是轴对称图形垂直于弦轴对称图形垂直于弦AB的的直径直径CD所在的直线所在的直线是它的对称
2、轴是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BEDCE弧弧:AC=BC,AD=BD把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个两侧的两个半圆重合，点半圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，AC , AD分别与分别与BC 、BD重合重合如图，（如图，（1）若在此圆中增添一条弦）若在此圆中增添一条弦AB后，该图还是轴对后，该图还是轴对称图形吗？你还能通过折叠的方法找到它的对称轴吗？称图形吗？你还能通过折叠的方法找到它的对称轴吗？（2）观察：如图，在）观察：如图，在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为，垂足为E你发现了哪些相等的线段和相等的
3、弧你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么呢为什么呢?OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧即直径即直径CD垂直于弦垂直于弦AB，平分弦，平分弦AB,并且平分并且平分AB及及ACBCDABCDAB CD CD是直径，是直径， AE=BE,AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.几何语言：几何语言： 老师提示老师提示: : 垂径定理是圆中一个重要的定理垂径定理是圆中一个重要的定理, ,三种语言三种语言要相互转化要相互转化, ,形成整体形成整体, ,才能运用自如才能运用自如. .垂径
4、定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。题设题设结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论可以推出其他三个结论.“知二推三知二推三” (1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心（或是直径）过圆心（或是直径） (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意: :当具备了当具备了(2)(
5、3)(2)(3)时时, ,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是不是直径直径”的限制的限制. .平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧思考：如果思考：如果CDCD是是OO的直径，的直径，ABAB是弦，是弦，CDCD平分平分ABAB，那么那么CDCD垂直于垂直于ABAB吗？为什么？吗？为什么？ B.OCADO.CAEBDn你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂径定理及推论垂径定理及推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平
6、分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并
7、且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.(1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心（或是直径）过圆心（或是直径） (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CO OB BA AE EE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B 练习练习在下列图形中，你能否利用垂径定理在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆
8、弧找到相等的线段或相等的圆弧弦心距弦心距一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4) 垂直平分弦的一定是圆的直径。垂直平分弦的一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。A
9、BCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦解决弦时常用的辅助线：解决弦时常用的辅助线：过圆心作弦的垂线、连半径等构过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形造直角三角形1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：OEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.活活 动动 三三118422AEAB 在RtAOE中P82 第1题过点过点O作作OEAB于点于点E，连接连接AO已知：AB是O的一
10、条弦，OEAB于点E，请完成下列各题：（1）AB=8，OE=3，则OA=_；若点M是AB上的一动点，则OE的取值范围是_（2）OA=10，OE=6，则AB=_；（3）AB=1，AOE=60，则OE=_；（4）AB=OA=5,则AOE=_.，OE=_。 D C A B O（5）弓形的弦长AB为6cm，弓形的高CD为2cm，则这弓形所在的圆的半径为. 53OE5166323530413小结：（小结：（1 1）以上各题均在）以上各题均在_三角形中求解，三角形中求解，_、_、_构成了直角三角形的三边；构成了直角三角形的三边；（2 2）垂径定理和勾股定理、方程的思想、分类讨论思想相结合，）垂径定理和勾股
11、定理、方程的思想、分类讨论思想相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题直角直角半径半径半弦半弦弦心距弦心距提升练习提升练习2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. OEAC ODAB小
12、小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦=、圆的轴对称性、圆的轴对称性、垂径定理及其推论的图式小结小结: 解决弦时常用的辅助线：解决弦时常用的辅助线：过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形，过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形，根据垂径定理、勾股定理、方程思想、分类讨论根据垂径定理、勾股定理、方程思想、分类讨论思想可解决：弦长、半
13、径、弦心距、弓形高。思想可解决：弦长、半径、弦心距、弓形高。.CDABOMNE.ACDBO.ABO作业作业 P8788 第1、8题填空：1、如图：已知AB是 O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是 O的弦，OB=4cm，ABO=300，则O到AB的距离是_cm，AB=_cm.。OAEDCB。 OAB第1题图第2题图ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD）24H选择：如图：在 O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）A、3 B、2 C、1 D、0。OCDBAA D A B O5 3cm在直径是在直径是20cm的的 O中，中，AB的度数是的度数是60，那么弦那么弦AB的弦心距是的弦心距是_已知已知P为为 O内一点内一点,且且OP=2cm,如果如果 O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的最短的弦等点的最短的弦等于于_2 5cm