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1、第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移返回第11章 超静定结构的内力与位移【内容提要】【内容提要】本章介绍超静定结构内力计算的三种方法。力法和位本章介绍超静定结构内力计算的三种方法。力法和位移法是超静定结构计算的基本方法，它们都要建立和解算移法是超静定结构计算的基本方法，它们都要建立和解算一组线性方程组；力矩分配法是在位移法基础上发展起来一组线性方程组；力矩分配法是在位移法基础上发展起来的一种渐近解法，它不需要解算联立方程，通过逐步修正的一种渐近解法，它不需要解算联立方程，通过逐步修正使计算结果逐渐逼近真实解，在工程实际中经常采用。使计算结果逐渐逼近真实解，在工程实际中
2、经常采用。第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移返回第11章 超静定结构的内力与位移【学习要求】【学习要求】1.掌握超静定次数的确定方法。掌握力法的基本原理和解题步掌握超静定次数的确定方法。掌握力法的基本原理和解题步骤。骤。2.熟练掌握用力法求解简单超静定梁和刚架的内力。能用力法熟练掌握用力法求解简单超静定梁和刚架的内力。能用力法求解支座移动时超静定结构的内力。能用力法求解超静定结构的位求解支座移动时超静定结构的内力。能用力法求解超静定结构的位移。移。3.掌握位移法基本未知量的确定方法。掌握位移法的基本原理掌握位移法基本未知量的确定方法。掌握位移法的基本原理和解题步骤。
3、了解单跨超静定梁的弯矩和剪力图表。和解题步骤。了解单跨超静定梁的弯矩和剪力图表。4.熟练掌握用位移法求解简单超静定梁和刚架的内力。熟练掌握用位移法求解简单超静定梁和刚架的内力。5.了解转动刚度、分配弯矩和传递弯矩等概念，掌握力矩分配了解转动刚度、分配弯矩和传递弯矩等概念，掌握力矩分配法的基本原理。法的基本原理。6.熟练掌握用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架的内力。熟练掌握用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架的内力。7.了解超静定结构的特性。了解超静定结构的特性。第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移返回第11章 超静定结构的内力与位移 112 力法力法113 位移法位移法
4、114 力矩分配法力矩分配法 111 概述概述第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移概述概述1111超静定结构的概念超静定结构的概念 超静定结构是工程实际中广泛应用的一类结构，与静超静定结构是工程实际中广泛应用的一类结构，与静定结构相比，超静定结构有如下两方面的特点定结构相比，超静定结构有如下两方面的特点:(1)从几何组成来说，超静定结构是从几何组成来说，超静定结构是有多余约束的几有多余约束的几何不变体系何不变体系。如图。如图a所示梁，是有一个多余约束的几何不所示梁，是有一个多余约束的几何不变体系。图变体系。图b所示桁架，是有两个多余约束的几何不变体所示桁架，是有两个多
5、余约束的几何不变体系。它们都是超静定结构。系。它们都是超静定结构。111 概述概述目录Fq(a)456132(b)F第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移概述概述目录 (2)从静力特征方面来说，从静力特征方面来说，仅由静力平衡条件不能解仅由静力平衡条件不能解出超静定结构中的所有反力和内力。出超静定结构中的所有反力和内力。这是因为超静定结构这是因为超静定结构存在多余约束，存在多余约束，多余约束所对应的力称为多余约束所对应的力称为多余未知力多余未知力。由于有多余未知力，仅用静力平衡条件无法确定其全部反由于有多余未知力，仅用静力平衡条件无法确定其全部反力和内力。如图力和内力。
6、如图a所示梁，有四个反力，但只有三个独立所示梁，有四个反力，但只有三个独立的平衡方程；图的平衡方程；图b所示桁架，支座链杆和内部链杆共有所示桁架，支座链杆和内部链杆共有14根，每一根链杆对应一个未知力，共根，每一根链杆对应一个未知力，共14个未知力，但只能个未知力，但只能列出列出12个独立平衡方程；因此均不能由平衡条件解出所有个独立平衡方程；因此均不能由平衡条件解出所有未知力。未知力。Fq(a)456132(b)F 综上所述，存在多余约束，所有支座反力和内力不综上所述，存在多余约束，所有支座反力和内力不能仅用静力平衡条件确定，这就是超静定结构与静定结构能仅用静力平衡条件确定，这就是超静定结构与
7、静定结构的根本区别。的根本区别。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移概述概述1112 超静定次数的确定超静定次数的确定超静定结构中多余约束的数目，称为超静定结构中多余约束的数目，称为超静定次数超静定次数。一个超静定结构具有几个多余约束，就称为几次超一个超静定结构具有几个多余约束，就称为几次超静定结构。静定结构。确定结构的超静定次数，可以用去掉多余约束使原确定结构的超静定次数，可以用去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法进行。结构变成静定结构的方法进行。在结构中去掉多余约束的方式，通常有以下几种：在结构中去掉多余约束的方式，通常有以下几种：(1)去掉或切断一根链杆，
8、相当于去掉一个约束。去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移概述概述X1X1X1 （2）去掉一个固定铰支座或去掉一个单铰，相当于去掉一个固定铰支座或去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。去掉两个约束。X2X1X2X1X1X2目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移概述概述 (3)切断一个刚性连接或去掉一个固定端支座，相当切断一个刚性连接或去掉一个固定端支座，相当于去掉三个约束。于去掉三个约束。X2X1X1X2X3X3X1X2X3或或目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移概述概述
9、(4)将一个固定端支座改为固定铰支座或将一个刚性将一个固定端支座改为固定铰支座或将一个刚性连接改为单铰连接，相当于去掉一个约束。连接改为单铰连接，相当于去掉一个约束。X1X1X1或或目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移概述概述（5）切开一个封闭框，相当于去掉三个约束。切开一个封闭框，相当于去掉三个约束。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移概述概述下图所示结构有两个封闭框，为六次超静定结构。下图所示结构有两个封闭框，为六次超静定结构。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移概述概述 应用上述去掉约束的方式，可以
10、确定出任何结构的超应用上述去掉约束的方式，可以确定出任何结构的超静定次数。由于去掉约束的方式具有多样性，所以对同一静定次数。由于去掉约束的方式具有多样性，所以对同一超静定结构可以得到与其对应的不同形式的静定结构。超静定结构可以得到与其对应的不同形式的静定结构。必必须注意，不管以何种方式去掉多余约束，得到的结构必须须注意，不管以何种方式去掉多余约束，得到的结构必须是无多余约束的几何不变体系，即静定结构。是无多余约束的几何不变体系，即静定结构。一定注意不一定注意不要将结构变为瞬变体系。要将结构变为瞬变体系。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移概述概述结构结构瞬变体系瞬
11、变体系X1第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法1121 力法的基本原理力法的基本原理 力法是最早出现的求解超静定结构的方法。力法是最早出现的求解超静定结构的方法。力法的基力法的基本思想是将超静定问题转化为静定问题。本思想是将超静定问题转化为静定问题。112 力法力法 1.基本结构和基本未知量基本结构和基本未知量 图图a所示为一超静定梁，有一个多余约束，是一次超所示为一超静定梁，有一个多余约束，是一次超静定结构。现将支座静定结构。现将支座B处的竖向链杆作为多余约束去掉，处的竖向链杆作为多余约束去掉，并用相应的多余未知力并用相应的多余未知力X1代替其作用，我们把这
12、个去掉了代替其作用，我们把这个去掉了多余约束的静定结构（这里为悬臂梁），称为多余约束的静定结构（这里为悬臂梁），称为力法的基本力法的基本结构结构。lAB原结构原结构AB基本结构基本结构X1(a)(b)目录 我们让基本结构的受力和变形与原结构的受力和变我们让基本结构的受力和变形与原结构的受力和变形完全一样形完全一样(图图b)。这样，就可以用基本结构代替原结构。这样，就可以用基本结构代替原结构进行计算。由于基本结构是静定的，故只要设法求出多余进行计算。由于基本结构是静定的，故只要设法求出多余未知力未知力X1，则其余的计算就迎刃而解了。因此，力法计算，则其余的计算就迎刃而解了。因此，力法计算的的基本
13、未知量基本未知量就是多余未知力。就是多余未知力。“力法力法”名称也因此而来。名称也因此而来。2.力法方程力法方程 多余未知力多余未知力X1必须考虑位移条件才能求解。在原结构必须考虑位移条件才能求解。在原结构(图图a)中，支座中，支座B处的竖向位移等于零，因而在基本结构处的竖向位移等于零，因而在基本结构(图图b)中，中，B点沿点沿X1方向的位移方向的位移1也也应该为零。零。lAB原结构原结构AB基本结构基本结构X1(a)(b)目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法lAB原结构原结构AB基本结构基本结构X1AB 1FX1AB 11=+(a)(b)(c)(d)目录
14、第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 令令 1F和和 11分别表示荷分别表示荷载载q和多余未知力和多余未知力X1单独作单独作用于基本结构上时，用于基本结构上时，B点沿点沿X1方向上的位移，如图方向上的位移，如图c、d所示。根据叠加原理，可得所示。根据叠加原理，可得 1=1F+11=0 式中，位移式中，位移 1、1F、11的方向如果与的方向如果与X1的方向的方向相同，则规定为正。相同，则规定为正。即即 1=0 若以若以 11表示表示X1=1单独作用于基本结构上时，单独作用于基本结构上时，B点沿点沿X1方向的位移（图方向的位移（图e），则有），则有 这就是一次超静
15、定结构的这就是一次超静定结构的力法方程力法方程 代入上式，有代入上式，有AB 11(e)目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 由于由于11和和 1F是静定结构在已知荷载作用下的位移，是静定结构在已知荷载作用下的位移，可由第可由第10章所述的位移计算的方法求得，因而多余未知力章所述的位移计算的方法求得，因而多余未知力X1可由力法方程解出。可由力法方程解出。X1=1 计算计算11和和 1F时，可采用图乘法。分别绘出基本结构时，可采用图乘法。分别绘出基本结构在在X1=1和荷载和荷载q单独作用下的单独作用下的 图和图和MF图（图图（图f、g），），则由则由 图自乘
16、，得图自乘，得 BMF图图ABX1=1图图(f)(g)目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法由由 图与图与MF图互乘，得图互乘，得A 将将 11和和 1F代入力法方程，得代入力法方程，得 当当X1求出后，其余的支座反力和内力计算就与悬臂梁求出后，其余的支座反力和内力计算就与悬臂梁一样。在绘制原结构的弯矩图时，可采用叠加原理，即由一样。在绘制原结构的弯矩图时，可采用叠加原理，即由 所得结果所得结果X1为正号，表示为正号，表示X1的实际方向与假设方向相的实际方向与假设方向相同，即是铅直向上的。同，即是铅直向上的。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定
17、结构的内力与位移力法力法 计算出控制截面计算出控制截面(A截面截面)上的弯矩值后，即可绘出上的弯矩值后，即可绘出M图。图。BM 图图(h)A1122 力法典型方程力法典型方程 由上述可知，由上述可知，力法是以多余未知力作为基本未知量，力法是以多余未知力作为基本未知量，由位移条件建立方程，解出基本未知量，进而求出结构内由位移条件建立方程，解出基本未知量，进而求出结构内力的。力的。因此，在实际计算时，首先要判断结构的超静定次因此，在实际计算时，首先要判断结构的超静定次数，从而确定其由多少个多余未知力。然后，列出数目相数，从而确定其由多少个多余未知力。然后，列出数目相等的位移条件，求解这些多余未知力
18、。因此，正确选取力等的位移条件，求解这些多余未知力。因此，正确选取力法基本结构和列出力法方程是至关重要的。法基本结构和列出力法方程是至关重要的。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 下面通过图示二次超静定结构来说明如何建立力法方下面通过图示二次超静定结构来说明如何建立力法方程。程。用力法分析时，需要去掉两个约束，设去掉支座用力法分析时，需要去掉两个约束，设去掉支座B的的两个约束并以两个约束并以X1和和X2代替其作用代替其作用,则得到图则得到图b所示基本结构。所示基本结构。由于原结构由于原结构B点的水平位移和竖向位移均为零，因此基本点的水平位移和竖向位移均为
19、零，因此基本结构在荷载结构在荷载q和多余未知力和多余未知力X1、X2共同作用下，共同作用下，B点沿点沿X1、X2方向的位移方向的位移1和和2也也应该为零。零。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 由此得到位移方程为由此得到位移方程为 基本结构在荷载基本结构在荷载q和多余未知力和多余未知力X1、X2共同作用下的位移应等于这些力分别共同作用下的位移应等于这些力分别单独作用下的位移的叠加，所以有单独作用下的位移的叠加，所以有目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 设设X1=1、X2=1单独作用于基本结构上时，单独作用于基本结构
20、上时，B点产生的点产生的位移分别如图位移分别如图f、g所示，则有所示，则有,目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法将以上关系式代入将以上关系式代入 ，有，有 上式就是力法方程。解以上方程即可求出多余未知力上式就是力法方程。解以上方程即可求出多余未知力X1和和X2。当。当X1和和X2求出后，其余的计算就与静定结构一样求出后，其余的计算就与静定结构一样了。具体绘制弯矩图时，可采用叠加原理进行，即了。具体绘制弯矩图时，可采用叠加原理进行，即 式中，式中，分别为基本结构在，分别为基本结构在X1=1、X2=1和荷载和荷载q单独作用下的弯矩。单独作用下的弯矩。、目录第十
21、一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 对于对于n次超静定结构，共有次超静定结构，共有n个多余未知力，可根据个多余未知力，可根据n个已知位移条件建立个已知位移条件建立n个独立的方程。当已知多余未知力个独立的方程。当已知多余未知力作用处的位移为零时，其力法方程为作用处的位移为零时，其力法方程为 目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 不论超静定结构的类型、超静定次数以及所选的基本不论超静定结构的类型、超静定次数以及所选的基本结构如何，所得方程都具有上面的形式，故上式称为结构如何，所得方程都具有上面的形式，故上式称为力法力法典型方程典
22、型方程。式中，。式中，ii 称为称为主系数主系数，表示基本结构在，表示基本结构在Xi=1单单独作用下引起的独作用下引起的Xi作用点沿作用点沿Xi方向的位移，恒为正值。方向的位移，恒为正值。ij称为称为副系数副系数，表示基本结构在，表示基本结构在Xj=1单独作用下引起单独作用下引起的的Xi作用点作用点沿沿Xi方向的位移，可为正、为负或为零。方向的位移，可为正、为负或为零。1F称为称为自由项自由项，表示基本结构在荷载单独作用下引，表示基本结构在荷载单独作用下引起的起的Xi作用点沿作用点沿Xi方向的位移。方向的位移。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法根据位移互
23、等定理，副系数有互等关系，即根据位移互等定理，副系数有互等关系，即 由典型方程求出各多余未知力后，再按静定结构的分由典型方程求出各多余未知力后，再按静定结构的分析方法求出原结构的内力和绘制内力图，也可由叠加原理析方法求出原结构的内力和绘制内力图，也可由叠加原理按下式计算弯矩，绘制弯矩图。按下式计算弯矩，绘制弯矩图。由于各系数和自由项都是基本结构的位移，因而可按由于各系数和自由项都是基本结构的位移，因而可按第第10章的方法求得。章的方法求得。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 1123 力法计算步骤力法计算步骤 综上所述，用力法计算超静定结构的步骤归纳如下
24、：综上所述，用力法计算超静定结构的步骤归纳如下：(1)判定结构的超静定次数，判定结构的超静定次数，选取力法基本结构选取力法基本结构。(2)根据基本结构在去掉多余约束处的位移等于原结根据基本结构在去掉多余约束处的位移等于原结构相应处的位移，构相应处的位移，建立力法方程建立力法方程。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 (3)计算力法方程中各系数和自由项计算力法方程中各系数和自由项。为此，需要绘。为此，需要绘出基本结构在单位未知力作用下的内力图和荷载作用下的出基本结构在单位未知力作用下的内力图和荷载作用下的内力图或写出内力表达式，然后按求位移的方法计算系数内力
25、图或写出内力表达式，然后按求位移的方法计算系数和自由项。和自由项。(4)解力法方程求出多余未知力解力法方程求出多余未知力。(5)绘制原结构的内力图绘制原结构的内力图。例例111 试试用力法计算图示超静定梁，并绘制弯矩图。用力法计算图示超静定梁，并绘制弯矩图。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法qllllACB 解解 该梁为一次超静定结构，取基本结构如图该梁为一次超静定结构，取基本结构如图b所示。所示。力法典型方程为力法典型方程为 分别绘出分别绘出 图、图、MP图图(图图c、d)。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法由图
26、乘法得由图乘法得qllll原结构原结构X1基本结构基本结构 (a)(b)ACBACBX1=1l图图MF图图(c)(d)ACBACB将将 11、1F代入力法方程，解得代入力法方程，解得X1为负值，表示其实际方向与所设方向相反。为负值，表示其实际方向与所设方向相反。按式按式绘制最后弯矩图如图绘制最后弯矩图如图e。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法M图图ACB(e)前面已经说明，前面已经说明，力法的基本结构不是惟一的力法的基本结构不是惟一的，本例也，本例也可取下图所示任何一个作为基本结构。但无论取何种基本可取下图所示任何一个作为基本结构。但无论取何种基本结构计
27、算，最后的计算结果是一样的，只是计算的繁简程结构计算，最后的计算结果是一样的，只是计算的繁简程度不同。读者不妨试算。度不同。读者不妨试算。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法q基本结构基本结构1X1qX1X1基本结构基本结构2ACBACB 例例112 试试用力法计算图示结构，并绘制弯矩图。用力法计算图示结构，并绘制弯矩图。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法F2EIEIlABC 解解 该刚架为二次超静定结构，取图该刚架为二次超静定结构，取图b所示基本结构。所示基本结构。力法典型方程为力法典型方程为 目录第十一章第十一章
28、 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法F2EIEIX1X2基本结构基本结构F2EIEIl原结构原结构ABCABC(a)(b)分别绘出基本结构的分别绘出基本结构的 、MF图。图。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法X1=1图图lX2=1图图llFMF图图ABC(c)ACBACB(d)(e)由图乘法得由图乘法得目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法X1=1图图lX2=1图图ll(c)ACBACB(d)将各系数和自由项代入典型方程，解得将各系数和自由项代入典型方程，解得X1=X2=由由 绘出结构弯矩图如图绘出结
29、构弯矩图如图f。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法F弯矩图弯矩图 ACB(f)例例113 图示结构，支座图示结构，支座A顺时针转动了角位移顺时针转动了角位移 ，试用力法计算，并绘制弯矩图。试用力法计算，并绘制弯矩图。l EIEIAB目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 解解 该刚架为一次超静定结构，取基本结构如图该刚架为一次超静定结构，取基本结构如图b所示。所示。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 X1基本结构基本结构l EIEI原结构原结构ABBA(a)(b)X1=1ll图图
30、l1(c)BA 由原结构在支座由原结构在支座B处的竖向位移等于零的条件，建立处的竖向位移等于零的条件，建立力法方程为力法方程为 基本结构在基本结构在X1=1作用下的作用下的 图以及相应的图以及相应的A支座反力支座反力分别如图所示。分别如图所示。计算出系数和自由项为计算出系数和自由项为目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 X1基本结构基本结构l EIEI原结构原结构ABBA(a)(b)X1=1ll图图l1(c)BA将系数和自由项代入力法方程，解得将系数和自由项代入力法方程，解得X1为负值，表示其实际方向与所设方向相反。为负值，表示其实际方向与所设方向相反。因
31、基本结构是静定结构，在支座移动时不产生内力。因基本结构是静定结构，在支座移动时不产生内力。故最后弯矩图按故最后弯矩图按 绘出，如图绘出，如图d所示。所示。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法M图图AB(d)X1=1ll图图l1(c)BA1124超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算 计算超静定结构的位移和计算静定结构的位移一样，计算超静定结构的位移和计算静定结构的位移一样，可采用单位荷载法。由力法计算可知，当多余未知力解出可采用单位荷载法。由力法计算可知，当多余未知力解出后，原结构的内力、变形与静定的基本结构在多余未知力后，原结构的内力、变形与静定的基本
32、结构在多余未知力和荷载共同作用下的内力、变形是一致的。因此，原结构和荷载共同作用下的内力、变形是一致的。因此，原结构的位移计算就转化为静定的基本结构的位移计算了。的位移计算就转化为静定的基本结构的位移计算了。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 由于超静定结构的内力不随计算的基本结构不同而异，由于超静定结构的内力不随计算的基本结构不同而异，故最后的内力图可以认为是由与原结构对应的任意基本结故最后的内力图可以认为是由与原结构对应的任意基本结构求得的。故在计算超静定结构的位移时，虚拟单位力可构求得的。故在计算超静定结构的位移时，虚拟单位力可以施加在其中任何一种
33、形式的基本结构上。这样，在计算以施加在其中任何一种形式的基本结构上。这样，在计算超静定结构的位移时。超静定结构的位移时。可选取单位内力图较简单的基本结可选取单位内力图较简单的基本结构来施加虚拟单位力，以使计算简便。构来施加虚拟单位力，以使计算简便。例例114 求图示超静定刚架求图示超静定刚架C点的水平位点的水平位 CH移和横梁移和横梁中点中点D的竖向位移的竖向位移 DH。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 解解 刚架的弯矩图已由力法求出，刚架的弯矩图已由力法求出，如图如图b所示。所示。(1)求求C点的水平位移。求点的水平位移。求C点的水点的水平位移时，可
34、在图平位移时，可在图c所示的基本结构所示的基本结构C点加水平单位力点加水平单位力 ，绘出图，绘出图 (图图c)。将。将M图与图与 图进行图乘，得图进行图乘，得 计算结果为正，表示计算结果为正，表示C点的实际位移方向点的实际位移方向与所设单位力方向一致，即水平向右。与所设单位力方向一致，即水平向右。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 (2)求求D点的竖向位移。求点的竖向位移。求D点的竖向点的竖向位移时，分别取图位移时，分别取图d、e所示的基本结构所示的基本结构来虚拟力状态，用图乘法计算如下：来虚拟力状态，用图乘法计算如下：目录第十一章第十一章 超静定结构的
35、内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法由图由图b、e计算得计算得 计算结果均为正，表示计算结果均为正，表示D点的实点的实际位移方向与所设单位力方向一致，际位移方向与所设单位力方向一致，即铅直向下。即铅直向下。以上选取两种不同的基本结构以上选取两种不同的基本结构,计计算结果完全相同，但后者较为简便。算结果完全相同，但后者较为简便。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法1125 超静定结构的性质超静定结构的性质 超静定结构与静定结构相比较具有以下特性：超静定结构与静定结构相比较具有以下特性：(1)在静定结构中，只有荷载因素才能产生内力；而在静定结构中，只有荷载
36、因素才能产生内力；而超静定结构中只要有引起结构产生变形的因素超静定结构中只要有引起结构产生变形的因素(如荷载作如荷载作用、温度改变、支座移动、制造误差、材料收缩等用、温度改变、支座移动、制造误差、材料收缩等)都会都会使其产生内力使其产生内力。(2)静定结构的内力仅用静力平衡条件即可确定，它静定结构的内力仅用静力平衡条件即可确定，它与结构的材料性质和截面尺寸无关；而与结构的材料性质和截面尺寸无关；而超静定结构的内力超静定结构的内力还要考虑变形条件，因此，它还要考虑变形条件，因此，它与结构各杆件的弯曲刚度与结构各杆件的弯曲刚度EI(或拉压刚度或拉压刚度EA)的相对值或绝对值有关的相对值或绝对值有关
37、。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法 (3)静定结构在任一约束被破坏后，即变为几何可变静定结构在任一约束被破坏后，即变为几何可变体系，从而丧失承载能力；而体系，从而丧失承载能力；而超静定结构在多余约束破坏超静定结构在多余约束破坏后。仍能维持几何不变性，还能承受一定荷载作用。后。仍能维持几何不变性，还能承受一定荷载作用。因此因此超静定结构有防护突然破坏的能力。超静定结构有防护突然破坏的能力。(4)超静定结构由于有多余约束存在，在局部荷载作超静定结构由于有多余约束存在，在局部荷载作用下内力分布范围大，内力峰值小，变形小。用下内力分布范围大，内力峰值小，变形小
38、。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移力法力法第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法113 位移法位移法 上面讨论的力法是计算超静定结构的基本方法之一，上面讨论的力法是计算超静定结构的基本方法之一，它是以多余未知力为基本未知量，当结构的超静定次数较它是以多余未知力为基本未知量，当结构的超静定次数较高时，用力法计算将十分麻烦。而高时，用力法计算将十分麻烦。而位移法是以独立结点的位移法是以独立结点的位移为基本未知量，未知量的个数与结构的超静定次数无位移为基本未知量，未知量的个数与结构的超静定次数无关，故一些高次超静定结构用位移法计算
39、比较简便关，故一些高次超静定结构用位移法计算比较简便。目录1131 位移法的基本原理位移法的基本原理 位移法的基本思想是将超静定结构的计算问题转化为位移法的基本思想是将超静定结构的计算问题转化为单跨超静定梁的计算问题单跨超静定梁的计算问题。图图a所示等截面连续梁，在荷载所示等截面连续梁，在荷载q的作用下产生如图中的作用下产生如图中虚线所示的变形。其中杆虚线所示的变形。其中杆AB和杆和杆BC在在B点处刚性连接，点处刚性连接，两杆在两杆在B端发生了共同的角位移端发生了共同的角位移Z1。杆。杆AB的受力和变形情的受力和变形情况，相当于两端固定梁仅在况，相当于两端固定梁仅在B端发生角位移端发生角位移Z
40、1；杆；杆BC的受的受力和变形情况，相当于力和变形情况，相当于B端固定、端固定、C端铰支梁受荷载端铰支梁受荷载q作用，作用，并在并在B端发生角位移端发生角位移Z1。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法因此，该连续梁的受力和变形因此，该连续梁的受力和变形情况与图情况与图b所示情况相同。如所示情况相同。如果把结点果把结点B的角位移作为支座的角位移作为支座移动看待，那么只要知道角位移动看待，那么只要知道角位移移Z1的大小，则可由力法计算的大小，则可由力法计算出两个单跨静定梁的全部内力，出两个单跨静定梁的全部内力，即求得该连续梁的全部内力。即求得该连续梁的全部
41、内力。这样，就将上述连续梁转化为这样，就将上述连续梁转化为两个单跨静定梁的计算。两个单跨静定梁的计算。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法 由上可知，用位移法计算该梁就是以结点角位移由上可知，用位移法计算该梁就是以结点角位移Z1为为基本未知量。下面研究角位移基本未知量。下面研究角位移Z1的计算。为了将图的计算。为了将图a转化转化为图为图b进行计算，设想在连续梁结点进行计算，设想在连续梁结点B处加入一处加入一附加刚臂附加刚臂，用记号用记号“”表示（图表示（图c）。）。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法(c)基本
42、结构基本结构该附加刚臂的作用是限制结点该附加刚臂的作用是限制结点B不发生转动（但不能限制不发生转动（但不能限制移动）。由于移动）。由于B点无线位移，于是点无线位移，于是B点就相当于固定端，点就相当于固定端，原结构就变成了由原结构就变成了由AB和和BC两个单跨超静定梁的组合体，两个单跨超静定梁的组合体，称为称为位移法的基本结构位移法的基本结构。然后使附加刚臂转过与实际变形。然后使附加刚臂转过与实际变形相同的转角相同的转角Z1，这样，基本结构的受力和变形就与原结构，这样，基本结构的受力和变形就与原结构的受力和变形完全相同（图的受力和变形完全相同（图c）。因此，可用基本结构代）。因此，可用基本结构代
43、替原结构进行计算。替原结构进行计算。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法(c)基本结构基本结构Z1qABCZ1原结构原结构BZ1Z1Z1Z1q两个单跨超静定梁两个单跨超静定梁ABC等效变为等效变为两个单跨超静定两个单跨超静定梁画在一起梁画在一起目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法 基本结构基本结构 为了计算上的方便，对于单跨超静定梁在支座移动或为了计算上的方便，对于单跨超静定梁在支座移动或荷载作用下的内力已用力法求出，列于表荷载作用下的内力已用力法求出，列于表11-1中，以备查中，以备查用，在表用，在表11-1
44、中，中，表示梁的单位长度的弯曲刚度值，表示梁的单位长度的弯曲刚度值，称为称为线刚度线刚度。在位移法计算中，。在位移法计算中，杆端弯矩（对杆端而言）杆端弯矩（对杆端而言）和杆端转角都以顺时针转向为正和杆端转角都以顺时针转向为正；杆端剪力的符号规定同杆端剪力的符号规定同前前。角位移以顺时针转向为正，反之为负角位移以顺时针转向为正，反之为负。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法表表111 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法续表续表目录第十一章第十一
45、章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法续表续表目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法续表续表目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法续表续表目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法续表续表目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法 借助表借助表111，分别绘出基本结构在荷载，分别绘出基本结构在荷载q单独作用单独作用以及单独发生角位移以及单独发生角位移Z1时的弯矩图（图时的弯矩图（图d、e）。用）。用R1F表表示基本结构由于
46、荷载示基本结构由于荷载q单独作用时，附加力臂中的反力矩；单独作用时，附加力臂中的反力矩；用用R11表示基本结构由于附加刚臂产生角位移表示基本结构由于附加刚臂产生角位移Z1时，时，附加附加刚臂中的反力矩。刚臂中的反力矩。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法 由原结构由原结构B结点力矩平衡条件，附加刚臂中的反力矩应结点力矩平衡条件，附加刚臂中的反力矩应为零。故为零。故 R11+R1F=0 而而 R11=r11Z1 则有则有r11Z1+R1F=0此式称为此式称为位移法方程位移法方程分别由以上各图中的分别由以上各图中的B结点力矩平衡方程，得结点力矩平衡方程，得
47、r11=4i+3i=7i R1F=目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法Z1qABCZ1Z1基本结构基本结构MF图图qABCR1F荷载单独作用荷载单独作用=+R1F0-B取出取出B结点结点CABZ1R112iZ14iZ13iZ1Z1单独作用单独作用取出取出B结点结点R114iZ1B3iZ1取出取出B结点结点ABC在在Z1=1作用下作用下r112i4i3i图图Z14iB3ir11Z1=目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法将将r11、R1F代入位移法方程，有代入位移法方程，有解得解得 求出求出Z1后，可按后，可按 绘
48、出原结构的弯矩图如绘出原结构的弯矩图如图所示图所示。ABCM图图目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法 由以上分析可知，由以上分析可知，位移法就是以结构的结点位移作为位移法就是以结构的结点位移作为基本未知量，以结点平衡条件建立位移法方程求解基本未基本未知量，以结点平衡条件建立位移法方程求解基本未知量，进而求出结构内力。知量，进而求出结构内力。1132 位移法的典型方程位移法的典型方程 1位移法基本未知量的确定位移法基本未知量的确定 用位移法计算结构内力，是以结构上刚结点的用位移法计算结构内力，是以结构上刚结点的角位角位移移和和独立的结点线位移独立的结点线
49、位移为基本未知量的。为基本未知量的。对于结构上的铰结点所对应的角位移，是由各杆自身对于结构上的铰结点所对应的角位移，是由各杆自身的变形和受力情况所决定的，与其他杆件无关，故不作为的变形和受力情况所决定的，与其他杆件无关，故不作为基本未知量。基本未知量。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法 结构角位移未知量数目就等于刚结点的数目结构角位移未知量数目就等于刚结点的数目（不包括（不包括固定端支座）。固定端支座）。结构独立的结点线位移一般可用结构独立的结点线位移一般可用“铰化结点、增加链铰化结点、增加链杆杆”的方法的方法确定：确定：先把结构中所有刚结点和固定端
50、支座都先把结构中所有刚结点和固定端支座都改为铰结点和固定铰支座，然后增加最少的支座链杆使结改为铰结点和固定铰支座，然后增加最少的支座链杆使结构成为几何不变体系，所增加的链杆数目就是独立的结点构成为几何不变体系，所增加的链杆数目就是独立的结点线位移数目线位移数目。目录第十一章第十一章 超静定结构的内力与位移超静定结构的内力与位移位移法位移法 确定结构独立的结点线位移时，既要考虑刚结点的水确定结构独立的结点线位移时，既要考虑刚结点的水平和竖向线位移，也要考虑铰结点的水平和竖向线位移。平和竖向线位移，也要考虑铰结点的水平和竖向线位移。对于受弯直杆通常略去轴向变形，即认为杆件长度是不变对于受弯直杆通常