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1、2020/4/21数学建模用MATLAB优化工具箱解线性规划min z=cXbAXts?.1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）2、模型：min z=cXbAXts?.beqXAeq?命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若没有不等式：存在，则令A=，b=.bAX?2020/4/21数学建模3、模型：min z=cXbAXts?.beqXAeq?VLBXVUB命令：1 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）2x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）注意：1 若没有等式约束:,则令Aeq=,beq=.2其中X
2、0表示初始点beqXAeq?4、命令：x,fval=linprog()返回最优解及处的目标函数值fval.2020/4/21数学建模解 编写M文件xxgh1.m如下：c=-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6;A=0.010.010.010.030.030.03;0.020 0 0.050 0;0 0.020 0 0.050;0 00.030 00.08;b=850;700;100;900;Aeq=;beq=;vlb=0;0;0;0;0;0;vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)例例 1 max 6543216.064.072.0
3、32.028.04.0 xxxxxxz?85003.003.003.001.001.001.0.654321?xxxxxxts 70005.002.041?xx 10005.002.052?xx 90008.003.063?xx 6,2,10?jxj 2020/4/21数学建模例例 2 321436minxxxz?120.321?xxxts 301?x 5002?x 203?x 解:编写M文件xxgh2.m如下：c=6 3 4;A=0 1 0;b=50;Aeq=1 1 1;beq=120;vlb=30,0,20;vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub
4、)?321)436(minxxxz?32120030 xxx?50120010111 .321xxxts2020/4/21数学建模一、问题提出 市场上有 n 种资产is（i=1,2n）可以选择，现用数额为 M 的相当大的资金作一个时期的投资。这 n 种资产在这一时期内购买is的平均收益率为ir，风险损失率为iq，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的is中最大的一个风险来度量。购买is时要付交易费，(费率ip)，当购买额不超过给定值iu时，交易费按购买iu计算。另外，假定同期银行存款利率是0r，既无交易费又无风险。（0r=5%）投资的收益和风险2020/4/21数学建模已知 n=4 时相
5、关数据如下：is ir（%）iq（%）ip（%）iu（元）S1 28 2.5 1 103 S2 21 1.5 2 198 S3 23 5.5 4.5 52 S4 25 2.6 6.5 40 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。2020/4/21数学建模基本假设：基本假设：1.投资数额 M 相当大,为了便于计算，假设 M=1；2投资越分散，总的风险越小；3总体风险用投资项目is中最大的一个风险来度量；4n 种资产 Si之间是相互独立的；5在投资的这一时期内,ri,pi,qi，r0为定值，不受意外因素影响；6
6、净收益和总体风险只受 ri,pi,qi影响，不受其他因素干扰。二、基本假设和符号规定二、基本假设和符号规定符号规定：Si 第 i 种投资项目，如股票，债券 ri,pi,qi-分别为 Si的平均收益率,风险损失率，交易费率 ui -Si的交易定额 0r -同期银行利率 xi -投资项目 Si的资金 a-投资风险度 Q -总体收益 Q-总体收益的增量 2020/4/21数学建模三、模型的建立与分析三、模型的建立与分析1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max qixi|i=1，2,n2购买 Si所付交易费是一个分段函数,即 pixi xiui 交易费=piui xiui 而题目所给
7、定的定值 ui(单位:元)相对总投资 M 很小,piui更小,可以忽略不计,这样购买 Si的净收益为(ri-pi)xi 3要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型:目标函数 MAX?niiiixpr0)(MINmax qixi 约束条件?niiixp0)1(=M xi0 i=0,1,n 2020/4/21数学建模a 在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限 a，使最大的一个风险 qixi/Ma，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。模型 1 固定风险水平，优化收益 目标函数：Q=MAX?11)(niiiixpr 约束条件：Mxqi
8、ia?Mxpii)1(，xi 0 i=0，1，n 4.模型简化：模型简化：2020/4/21数学建模b若投资者希望总盈利至少达到水平 k 以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。模型 2 固定盈利水平，极小化风险 目标函数：R=minmax qixi 约束条件：?niiiixpr0)(k，?Mxpii)1(，xi 0 i=0，1，n 2020/4/21数学建模c投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险、收益赋予权重 s（0s1)，s 称为投资偏好系数.模型 3 目标函数：min smaxqixi-（1-s）?niiiixpr0)(约束条件?nii
9、ixp0)1(=M，xi0 i=0,1,2,n 2020/4/21数学建模四、模型四、模型1 1的求解的求解模型 1为:minf=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185)(x0 x1 x2 x3 x 4)T x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1 s.t.0.025x1 a 0.015x2 a 0.055x3 a 0.026x4a xi 0 (i=0,1,.4)由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长a=0.001 进行循环搜索，编制程序如下：2020/4/21数学建模max
10、 Q=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185)(x0,x1,x2,x3,x4)T x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1 s.t.0.025x1 a 0.015x2 a 0.055x3 a 0.026x4 a xi 0 (i=0,1,.4)从 a=0 开始，以步长a=0.001 对下列组合投资模型求解,并绘图表示 a 与目标函数最优值 Q 的对应关系:2020/4/21数学建模a=0;while(1.1-a)1c=-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;A
11、=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=xQ=-valplot(a,Q,.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold ona=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)2020/4/21数学建模a=0.0030 x=0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q=0.1266 a=0.0060 x=0 0.2400 0.4000 0.
12、1091 0.2212 Q=0.2019 a=0.0080 x=0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.0000 Q=0.2112 a=0.0100 x=0 0.4000 0.5843 0 0 Q=0.2190 a=0.0200 x=0 0.8000 0.1882 0 0 Q=0.2518 a=0.0400 x=0.0000 0.9901 0.0000 0 0 Q=0.2673 计算结果：计算结果：2020/4/21数学建模五、五、结果分析结果分析4 4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓
13、慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a*=0.6%，Q*=20%，所对应投资方案为:风险度 收益x0 x1x2 x3x40.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 3.3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。2 2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。1.1.风险大，收益也大。2020/4/21数学建模实验作业实验作业某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.