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1、直梁的弯曲1拉（压）杆：拉（压）杆：承受轴向拉、压力承受轴向拉、压力轴轴 ：承受扭矩承受扭矩墙墙楼板楼板桥板桥板梁：梁：承受横向力承受横向力PPPP工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题 梁的弯曲实例与概念梁的弯曲实例与概念以以弯曲弯曲弯曲弯曲变形为主的杆件在工程上统称为变形为主的杆件在工程上统称为梁梁梁梁。受力特点受力特点受力特点受力特点：力垂直于构件的轴线：力垂直于构件的轴线(力偶在轴线平面力偶在轴线平面)；变形特点变形特点变形特点变形特点：杆的轴线将由直线变成曲线杆的轴线将由直线变成曲线4桥式吊车桥式吊车桥式吊车桥式吊车5火车轮轴火车轮轴火车轮轴
2、火车轮轴6车削工件车削工件车削工件车削工件7纵向对称面：纵向对称面：通过梁的通过梁的轴线轴线和和截面对称轴截面对称轴的平面。的平面。矩形截面梁有一个纵向对称面矩形截面梁有一个纵向对称面纵向对称面纵向对称面 工工程程中中的的梁梁一一般般都都有有纵纵向向对对称称面面，如如：矩矩形形、圆、环、工字、圆、环、工字、T形截面梁。形截面梁。平平面面弯弯曲曲：具具有有纵纵向向对对称称面面的的梁梁，当当梁梁上上的的外外力力均均垂垂直直于于梁梁的的轴轴线线，并并作作用用在在纵纵向向对对称称面面内内，梁梁的的轴轴线线将将弯弯成成此此平平面面内内的的一一条条平平面面曲曲线线，这这种种弯弯曲曲称为称为平面弯曲平面弯曲
3、。梁有纵向对称面；梁有纵向对称面；梁有纵向对称面；梁有纵向对称面；载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；变形后梁的轴线在变形后梁的轴线在变形后梁的轴线在变形后梁的轴线在纵向对称面内纵向对称面内纵向对称面内纵向对称面内弯成平面曲线。弯成平面曲线。弯成平面曲线。弯成平面曲线。平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲的概念平平平平面面面面弯弯弯弯曲曲曲曲是是工工程程中中最最常常见见也也是是最最简简单单的的一一种种弯弯曲曲。本本章讨论平面弯曲。章讨论平面弯
4、曲。RARBPqM10梁的外力、梁的支座及分类梁的外力、梁的支座及分类（1）集中力）集中力P 作用面积很小时可视为集中力（作用面积很小时可视为集中力（N）（2）分布力）分布力q 沿梁轴线分布较长（沿梁轴线分布较长（N/m）（3）集集中中力力偶偶m 力力偶偶的的两两个个力力分分布布在在很很短短的的一一段段梁梁上上（Nm）1.外力外力还有支座反力还有支座反力qq(x)均匀分布力均匀分布力P集中力集中力TT集中力偶集中力偶 T分布力分布力非均匀分布力非均匀分布力梁的外力、梁的支座及分类梁的外力、梁的支座及分类2.支座支座a)活活动动铰铰链链支支座座b)固固定定铰铰链链支支座座c)固固 定定端端AAA
5、3.梁的类型梁的类型简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁外伸梁外伸梁：一一端端是是固固定定铰铰链链支支座座，另另一一端端是是活活动动铰铰链支座。链支座。：一一个个固固定定铰铰链链支支座座和和一一个个活活动动铰铰链链支支座，有一端或两端伸出支座以外座，有一端或两端伸出支座以外：一端固定，另一端自由。：一端固定，另一端自由。4.梁支座反力梁支座反力利用静力学平衡方程求支座反力：利用静力学平衡方程求支座反力：lPAB4.梁支座反力梁支座反力MAqlABRyRx 梁横截面上的内力梁横截面上的内力剪力和弯矩剪力和弯矩一、截面法求内力一、截面法求内力剪力与弯矩剪力与弯矩梁横截面上的内力仍用梁横截面上的内力仍用截面法截
6、面法截面法截面法求。求。【例例】有一简支梁有一简支梁AB，梁上有集中载荷，梁上有集中载荷P，求截面上，求截面上1-1与与2-2的内力。的内力。16（1）以梁为研究对象，先）以梁为研究对象，先求支座反力求支座反力RA、RB17（2）用截面法求）用截面法求1-1上的内力。上的内力。内力内力Q1剪力剪力剪力剪力（平行横截面）（平行横截面）18内内力力偶偶矩矩M1弯弯弯弯矩矩矩矩(在在纵纵向向对对称称面内，作用在横截面上面内，作用在横截面上)O 横截面的形心横截面的形心（3）用截面法求）用截面法求2-2上的内力。上的内力。截面截面2-2上也有剪力弯矩上也有剪力弯矩19a思考思考思考思考：如果取右半段如
7、何？如果取右半段如何？数值相同，方向相反数值相同，方向相反注意这里注意这里Q2为负为负20 用用截截面面法法求求1-1截截面面内内力力：以以任任一一段段如如左左段段为为对象，受力如图所示。对象，受力如图所示。由静力平衡方程知：由静力平衡方程知：剪力剪力弯矩弯矩RA=RB=P11P求求2-2截面内力：以右段为对象截面内力：以右段为对象 弯弯曲曲变变形形时时梁梁横横截截面面上上的的内内力力包包括括剪剪力力Q和和弯矩弯矩M。剪力剪力弯矩弯矩 AC段段和和BD段段截截面面内内有有剪剪力力和和弯弯矩矩，属属于于剪切弯曲剪切弯曲。CD段段截截面面内内只只有有弯弯矩矩，没没有有剪剪力力（=0），属于属于纯弯
8、曲纯弯曲。222.从弯曲变形看弯矩从弯曲变形看弯矩1 1）纵纵向向纤纤维维变变成成了了弧弧线线，凹凹入入边边纵纵向向纤纤维维m m1 1m m2 2缩缩短短了了，突突出出边边 n n1 1n n2 2伸伸 长长 了了，O O1 1O O2 2长度长度不变不变。2 2）横横向向线线a a1 1b b1 1、a a2 2b b2 2仍仍为为直直线线，说说明明变变形形前前的的横横截截面面变变形形后仍然保持为后仍然保持为平面平面。加载后发生弯曲：加载后发生弯曲：3 3）a a1 1b b1 1与与a a2 2b b2 2不不再再平平行行（互互相相倾倾斜斜），说说明明横横截截面面a a1 1b b1 1
9、与与a a2 2b b2 2发生了发生了相对转动相对转动。中中性性层层：梁梁弯弯曲曲变变形形时时，既既不不伸伸长长又又不不缩缩短短的纵向纤维层称为中性层。的纵向纤维层称为中性层。中性轴：中性层与横截面的交线中性轴：中性层与横截面的交线中性轴中性轴中性层中性层 梁梁的的弯弯曲曲，实实际际是是上上各各个个截面截面绕着中性轴转动绕着中性轴转动。中中性性层层以以上上的的纵纵向向纤纤维维缩缩短短，产产生生压压缩缩应应力力，中中性性层层以以下下的的纵纵向向纤纤维维拉拉伸伸，产产生生拉拉伸伸应应力力，中中性轴性轴上各点的正应力为上各点的正应力为零零。M 横横截截面面上上的的弯弯矩矩即即是是横横截截面面垂垂直
10、直的的分分布布内内力力的的合合力力偶矩：偶矩：弯弯矩矩阻阻止止该该截截面面在在外外力力矩矩作作用用下下所所发发生生的的进进一一步步转转动，并且力图恢复梁的原形。动，并且力图恢复梁的原形。二、剪力和弯矩的计算二、剪力和弯矩的计算 剪剪力力计计算算法法则则：梁梁任任一一横横截截面面上上的的剪剪力力等等于于该该截截面面一一侧侧（左左侧侧或或右右侧侧都都可可）所所有有横横向向外外力力的的代数和代数和。截截面面左左侧侧向向上上的的外外力力和和截截面面右右侧侧向向下下的的外外力力取取正正值值；截截面面左左侧侧向向下下的的外外力力和和截截面面右右侧侧向向上上的的外力取外力取负负值。值。Q=P0Q=P0Q=-
11、P0Q=-P5）,用用此此公公式式计计算算横横力力弯弯曲曲时的正应力也是足够精确的。时的正应力也是足够精确的。70轴惯性矩和抗弯截面模量轴惯性矩和抗弯截面模量轴惯性矩和抗弯截面模量轴惯性矩和抗弯截面模量矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面71实心圆截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面Zd圆环截面圆环截面圆环截面圆环截面工字钢截面的惯性矩和抗弯截面模量查教材附表工字钢截面的惯性矩和抗弯截面模量查教材附表8 872 梁弯曲时的强度条件梁弯曲时的强度条件一、梁的最大正应力一、梁的最大正应力梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面
12、上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处73二、梁的强度条件二、梁的强度条件Mmax梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量危险截面抗弯截面模量材料的许用应力材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷。定许可载荷。74【例例3-7】有有一一型型号号为为16的的工工字字钢钢截截面面简简支支梁梁，如如图图所所示示。已已知知P=27.5KN。钢钢材材弯
13、弯曲曲许许用用应应力力=120MPa，试试校校核核梁的强度。梁的强度。解：解：解：解：最最大大弯弯矩矩发发生生在在集集中中力力P作作用处，即梁的中点。用处，即梁的中点。查附表查附表8，16号工字钢号工字钢WZ=141cm3=141000mm3。故钢梁的最大正应力为故钢梁的最大正应力为此梁此梁安全安全75【例例3-9】悬悬臂臂梁梁由由两两根根工工字字钢钢组组成成，设设备备总总重重P（包包括括物物料料重重）为为10kN，设设备备中中心心到到固固定定端端的的距距离离a=1.5m，L=2.2m，如如图图所所示示。钢钢材材弯弯曲曲许许用用应应力力=140MPa。试按强度要求选择工字钢尺寸试按强度要求选择
14、工字钢尺寸(型号型号)。解：解：解：解：查附表查附表8，选择，选择12.6号工字钢，号工字钢，Wz=77.5cm3，符合要求。，符合要求。每一根梁每一根梁76【例例3-10】有有一一型型号号为为40a的的工工字字钢钢简简支支梁梁，跨跨度度L=8m，弯曲许用应力，弯曲许用应力=140MPa，求梁能承受的均布载荷，求梁能承受的均布载荷q。解：解：解：解：最大弯矩发生在梁的中点，最大弯矩发生在梁的中点，查查附附表表8，40a工工字字钢钢的的Wz=1090cm3，代代入入强强度度条条件件得：得：77【例例3-11】接接上上例例，型型号号40a工工字字钢钢的的截截面面积积约约为为86.1cm2，如如果果
15、换换成成矩矩形形截截面面梁梁，截截面面高高宽宽比比h/b=2，要要求求也也能能承承受受q=19075N/m均均布布载载荷荷，试试求求矩矩形形截截面面面面积。积。解：解：解：解：矩形截面梁：矩形截面梁：要要求求也也能能承承受受q=19075N/m均均布布载载荷荷，矩矩形形截截面面梁的梁的WZ也应为也应为1090cm3。承受相同载荷，矩形梁的截面面积是工字钢梁的承受相同载荷，矩形梁的截面面积是工字钢梁的3.24倍。倍。783.6 梁截面合理形状的选择梁截面合理形状的选择承承受受相相同同载载荷荷，工工字字型型截截面面比比矩矩形形截截面面更更节节省省材材料料。因因此此，在在承承受受相相同同载载荷荷情情
16、况况下下，合合理理选选择择梁梁的的截截面面形状，可以大大节省材料。形状，可以大大节省材料。根据弯曲强度条件根据弯曲强度条件同样载荷条件下，同样载荷条件下，WZ，梁强度，梁强度合理截面合理截面合理截面合理截面因因此此，在在不不增增加加材材料料面面积积A情情况况下下，WZ越越大大越越好好。即：即：WWZ Z/A/A应尽可能大。应尽可能大。应尽可能大。应尽可能大。这样的截面称这样的截面称合理截面。合理截面。合理截面。合理截面。79三种截面合理性比较三种截面合理性比较三种截面合理性比较三种截面合理性比较80上上下下边边缘缘处处应应力最大力最大靠靠近近中中性性轴轴处处，应应力力较较小小，材材料料没有充分
17、利用没有充分利用从弯曲应力分布解释截面合理性从弯曲应力分布解释截面合理性从弯曲应力分布解释截面合理性从弯曲应力分布解释截面合理性要要使使材材料料充充分分发发挥挥作作用用，就就应应该该把把材材料料用用到到应应力力较较大的地方，即大的地方，即将材料放到离中性轴较远的地方将材料放到离中性轴较远的地方。MM81根据材料性能选择截面根据材料性能选择截面根据材料性能选择截面根据材料性能选择截面材材料料拉拉压压性性能能不不同同时时，还还应应使使截截面面两两边边的的最最大大拉拉应应力和最大压应力同时达到许用应力。力和最大压应力同时达到许用应力。塑塑塑塑性性性性材材材材料料料料：拉拉=压压，对对中中性性轴轴对对
18、称称截截面面（如如工工字字型截面）型截面）脆脆脆脆性性性性材材材材料料料料：拉拉压压，中中性性轴轴偏偏向向受受拉拉一一边边（如如T字型截面）字型截面）82等强度梁等强度梁等强度梁等强度梁按梁按梁危险截面危险截面上的最上的最大弯矩来计算的。大弯矩来计算的。对等截面梁：对等截面梁：危险截面危险截面max=时时其它截面其它截面max等截面梁不能充等截面梁不能充分发挥材料作用分发挥材料作用等截面梁等截面梁83为节省材料，应使梁内各个截面上的最大应力都达为节省材料，应使梁内各个截面上的最大应力都达到或接近许用应力，这样的梁称为到或接近许用应力，这样的梁称为等强度梁等强度梁等强度梁等强度梁。等强度梁等强度
19、梁等强度梁等强度梁各个截面并不相同，属于各个截面并不相同，属于变截面梁变截面梁变截面梁变截面梁。摇臂钻的横臂摇臂钻的横臂支架支架阶梯轴阶梯轴843.7 梁的弯曲变形梁的弯曲变形工工程程问问题题中中，有有些些梁梁除除了了要要满满足足强强度度要要求求外外，还还往往往往要要求求变变形形不不能能过过大大，即即还还有有刚刚度度要要求求。因因此此需需要要研究梁的弯曲变形。研究梁的弯曲变形。85 齿轮轴即使有足够的强度，但若弯曲变形过大，将使轴上的齿轮啮合不良，引起噪声，造成齿轮与齿轮间或轴与轴承间的不均匀磨损。齿轮轴弯曲变形实例弯曲变形实例弯曲变形实例弯曲变形实例86 如如果果工工件件的的弯弯曲曲变变形形
20、过过大大，甚甚至至会会加加工工出出废废品品；钻钻床床的的变变形形过过大大，就就会会影影响响加加工精度。工精度。切削中的工件与钻床87梁梁的的变变形形可可用用变变形形后后轴轴线线的的形形状状来来说说明明，各各处处的的变变形状况用形状况用挠度和转角挠度和转角挠度和转角挠度和转角来表示。来表示。一、梁的挠度和转角的概念一、梁的挠度和转角的概念梁任意截面形心梁任意截面形心O1变变形后移至形后移至O1，其垂直，其垂直位移位移 f 称为该截面的称为该截面的挠度挠度挠度挠度，向下为正，单，向下为正，单位是位是mm。梁梁弯弯曲曲变变形形后后的的轴轴线线称称为为弹性曲线弹性曲线弹性曲线弹性曲线或或挠曲线挠曲线挠
21、曲线挠曲线。挠度挠度挠度挠度f fx xO1O188转角转角转角转角梁任一横截面绕其梁任一横截面绕其中性轴中性轴转动的角度称为该截面的转动的角度称为该截面的转转转转角角角角，用，用表示，逆时针转为正，单位是表示，逆时针转为正，单位是rad。截截面面的的转转角角等等于于该该截截面面处处弹弹性性曲曲线线的的切切线线与与梁梁轴轴线线的夹角。的夹角。f fx xO1O189悬臂梁的自由端悬臂梁的自由端挠度挠度挠度挠度最大，转角也最大。最大，转角也最大。梁的变形与梁的变形与EJZ成反比，成反比，EJEJZ Z称抗弯刚度。称抗弯刚度。称抗弯刚度。称抗弯刚度。简简单单载载荷荷下下各各种种梁梁的的最最大大挠挠
22、度度和和转转角角计计算算公公式式见见教材基本变形表教材基本变形表3-3。90用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形叠叠加加法法 当当当当梁梁梁梁上上上上同同同同时时时时作作作作用用用用几几几几个个个个载载载载荷荷荷荷时时时时，梁梁梁梁的的的的总总总总变变变变形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。在在弹弹性性范范围围内内，梁梁的的挠挠度度和和转转角角都都和和载载荷荷是是成成正正比比的的，可用可用叠加法叠加法叠加法叠加法来求几种载荷同时作用下梁
23、的变形：来求几种载荷同时作用下梁的变形：91二、弯曲的刚度条件二、弯曲的刚度条件梁的刚度条件梁的刚度条件:一一般般是是控控制制挠挠度度，工工程程中中梁梁的的变变形形许许可可值值常取常取 f/l 如如吊吊车车梁梁f/l=1/750-1/250.92【例例3-12】例例3-9的的悬悬臂臂梁梁（E=2.1105MPa），选选择择12.6号号工工字字钢钢，强强度度是是满满足足的的，现现在在还还需需要要刚刚度度校校核核，规定最大挠度应小于规定最大挠度应小于L/250。B BP/2P/2A Aa aL L c cC Cf fc c书上有错误书上有错误解：解：解：解：93根据刚度条件根据刚度条件:由由附附表
24、表6查查出出12.6号号工工字字钢钢的的JZ=488cm4，因因此此刚刚度不够，需要度不够，需要14号工字钢，其号工字钢，其JZ=712cm4。94【例例3-13】一一简简支支梁梁受受均均布布载载荷荷作作用用，q=4600N/m（含含梁梁的的自自重重）。该该梁梁为为工工字字钢钢，跨跨度度l=10m，材材质质Q235-A，工工作作温温度度240，梁梁的的许许用用挠挠度度 f=10000/720，试试选择工字钢的型号。选择工字钢的型号。解：解：解：解：由由表表3-33-3知知，最最大大挠挠度度在在梁梁的的中中点点，最最大大挠挠度为度为刚刚度度条条件为件为:由附表由附表5查得查得250 时时Q235
25、-A的的E=1.83105MPa，95由上式得：由上式得：由由附附表表6查查出出40c号号工工字字钢钢的的JZ=23900cm4，最最接接近近13566cm4，因因此此选选型型号号40c号号工工字字钢钢可可以以满满足足刚刚度度条件。条件。书上还进行强度校核，请同学自己看书。书上还进行强度校核，请同学自己看书。96作 业习题习题习题习题P94：19（强度）（强度）P95：23（变形）（变形）9798【习习题题17(m)】试试列列出出图图示示各各梁梁的的弯弯矩矩方方程程，并并画画弯弯矩矩图，求出图，求出MmaxN NB BN NC Ca a2a2a（1）求支座反力）求支座反力解：解：解：解：99取取A点为原点点为原点（2）列弯矩方程式）列弯矩方程式AC段：段：BC段：段：N NB BN NC Ca a2a2ax2100（3）求特征点弯矩）求特征点弯矩 N NB BN NC Ca a2a2a代入第代入第2方程方程得得CB段的最大弯矩段的最大弯矩101（4）画弯矩图）画弯矩图N NB BN NC Ca a2a2aqaqa2 2qaqa2 2（5）最大弯矩）最大弯矩弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图一一一一定定定定要要要要画画画画在在在在受受受受力力力力图图图图的的的的正下方，否则画了也是白画。正下方，否则画了也是白画。正下方，否则画了也是白画。正下方，否则画了也是白画。102