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1、第2讲 空间几何体的表面积与体积教材回顾-基础自测知识磕理1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式2.空间几何体的表面积与体积公式圆柱圆锥圆台侧面 展开图、J11:2- 图/侧面 积公式s圆柱侧=2 Ji rlS圆锥侧=五”S圆台侧=兀（-+/）/表面枳体积柱体（棱柱和圆柱）S表面枳=S侧+2S底V=Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面枳=S侧+S底底”3台体（棱台和圆台）S表面枳=S侧+ S 上+ S FV；（S 卜+S 下 +，S 上S 卜）/z球5=4兀穴24 V=6R33常用知识拓展1.正方体的棱长为m外接球的半径为R,内切球的半径为广若球为正方体的外接球，则2/?=5a （2）若球为正
2、方体的内切球，则2r=.若球与正方体的各棱相切，则2R=也以2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a, b, c,外接球的半径为R,则2R=yJa2+b2+c2. 诊断自测判断正误（正确的打“ J ”，错误的打“ x ”）（1）多面体的表面积等于各个面的面积之和.（）锥体的体积等于底面积与高之积.（）球的体积之比等于半径比的平方.（）（4）简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.（）（5）长方体既有外接球又有内切球.（）答案：（1）V （2）X （3）X （4）V （5）X以长为宽为b的矩形的一边所在的直线为轴旋转一周所得圆柱的侧面积为（）侧视图正视图A. 2B. 4 + 22C. 4
3、+4/D. 4+6也解析：选C.由三视图知，该几何体是直三棱柱A3C-A/1C1,其中AB=A4=2, BC= AC=y29 ZC=90 ,其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S=（2 + 272）X2=4+42,故选 C.3.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm,将一 个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm, 如果不计容器的厚度，则球的体积为（）人500兀 o- 866兀 aA. -cmB. -cnr-1 372兀？- 2 048兀 aC. cmD. cm解析：选A.设球的半径为R,则由题意知球被正方体上面截得的圆的半径
4、为4 cm,球 心到截面圆的距离为（R2）cm,则R2=（r2）2+42,解得R=5,所以球的体积为普工=半 cm3.4.（2019福建市第一学期高三期末考试）已知圆柱的高为2,底面半径为小，若该圆柱 的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）16-32C.-nA. 4兀B.于1D. 16兀解析：选D.如图，由题意知圆柱的中心。为这个球的球心，于是，球的半径厂=03= y/OA2+AB2=y/1? + （小）2=2.故这个球的表面积5=4兀，=16兀故选D.5.（2019武汉市武昌调研考试）中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图
5、如图所示（单位：寸），若n取3,其体 积为12.6（单位：立方寸），则图中的不为（）A. 1.2C. 1.8A. 1.2C. 1.85.4侧视图俯视图B. 1.6正视图D. 2.4解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为口的圆柱，右边是一个长、解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为口的圆柱，右边是一个长、解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为口的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4一%、3、1的长方体，所以组合体的体积V=V圆柱+ V长方体=兀 x%+(5.4x)x3xl = 12.6(其中 7t=3),解得 %= 1.6.故选 B.6.如图，正
6、方体A3CD-A18Goi的棱长为1, E,尸分别为线段5c上的点，则三棱锥Oi-EO尸的体积为.解析：三棱锥D-EDF的体积即为三棱锥F-DDE的体积.因为,厂分别为A4i,囱。上的点，所以在正方体43。-4囱。|中，EDDi的面积为定值;，产到平面的距离为定值1,所以尸叫七=95X1 =5X1 =5X1 =16,答案，7.（2017高考江苏卷）如图，在圆柱。1。2内有一个球。，该球与圆柱的 上、下底面及母线均相切.记圆柱。|。2的体积为S，球。的体积为丫2, 则行的值是.V2V1解析：设球。的半径为r,则圆柱的底面半径为乙高为2r,所以歹=V 2ru? 2 / 34=T3答案：28.如图，
7、在四边形 ABC。中，ZDAB=90 , ZADC=35 , 48=5, CD=2 AD =2,求四边形A3CO绕A。旋转一周所成几何体的表面积及体积.解：由已知得：CE=2, DE=29 CB=59 S表面积=S圜台侧+S圜台下底+S圆锥侧=兀（2 + 5）x5H-7ix25+7ix2x2g= (60+4加)兀,V=V圆台一V圆锥=+7ix2x2g= (60+4加)兀,V=V圆台一V圆锥=+7ix2x2g= (60+4加)兀,V=V圆台一V圆锥=兀 2)x41x22x271.综合题组练1. （2019蓉城名校第一次联考）已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视 图用斜二测画法所画出的
8、水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图2所示），则此几何体的体积为（）图1所示），则此几何体的体积为（）图1图1图1A. 1C. 2,12解析：选B.根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和明的直角三 角形（如图所示），根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3,所以体积VXI X2XXI X2XXI X2X6)*3=也.故选B.2.（2019福州市质量检测）已知正三棱柱A8C-A131GH 底面积为平，一个侧面的周 长为63,则正三棱柱45C-A15C1外接球的表面积为（）A. 4兀B. 871C. 16兀C. 16兀C. 16兀D. 32兀Bi解析
9、：选C.如图所示，设底面边长为出则底面面积为坐层=乎，所以。=小.又一个 侧面的周长为6小，所以A4i=25.设旦。分别为上、下底面的中心，连接。旦 设DE 的中点为O,则点。即为正三棱柱A8C-A1B1C的外接球的球心，连接。4, AiE,则OE= 小，Aif=，5x雪i=1x62X2= 24(m3);正四棱柱ABCD-A/iGDi的体积丫柱=432 O|C=62X8 = 288(m3),所以仓库的容积V=V推+V柱= 24+288 = 312(n?).故仓库的容积是312 m3.A. abB. nabD. lahC 2Tiah解析：选C.若以长边所在的直线为轴旋转, 则S侧=2兀若以短边所
10、在的直线为轴旋所以S圆柱侧=2兀故选C.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（12 cm3cm3A. 8 cm3-323C. cm解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体.下 面是棱长为2 cm的正方体，体积Vi = 2X2X2 = 8（cm3）;上面是底面边长为2 cm,高为2 cm 的正四棱锥，体积V2=g2 = 5,故选 B.【答案】B本题是数学文化与三视图结合，主要是根据几何体的三视图及三视图中的数据，求几何 体的体积或侧（表）面积.此类问题难点：一是根据三视图的形状特征确定几何体的结构特征; 二是将三视图中的数据转化为几何体的几
11、何度量.考查了直观想象这一核心素养.拓展练习（2019郑州市第二次质量预测）我国南北朝时期数学家、天文学家一一祖眶，提出了著名 的祖唯原理：“幕势既同，则积不容异”，“幕”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两 等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幕势同”，则该不规则几何体的体积为（）俯视图jiA. 4一7C. 8- HjiA. 4一7C. 8- HjiA. 4一7C. 8- H4 n8-D. 8-2n解析:选C.由祖唯原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等.根 据题设所给的三视图，可知题图中的几何体是从
12、一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为2，= 8,半圆柱的体积为X 12）X2= n ,因此该不规则几何体的体积为8n ,故选C.刷好题高效演练-分层突破基础题组练1. （2019安徽合肥质检）已知圆锥的高为3,底面半径为4,若一球的表面积与此圆锥侧B.小D. 3B.小D. 3B.小D. 3面积相等，则该球的半径为（）A. 5B. 9解析：选B.因为圆锥的底面半径厂=4,高。=3,所以圆锥的母线/=5,所以圆锥的侧 面积5=兀/7=20兀，设球的半径为R,则4兀/?2 = 20兀，所以r=小，故选B.2.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的 三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）