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1、2022-2023年上海市松江二中高三上第一次月考一.填空题.已知集合A = 1,3,0, B = 3,m2,若则实数2的值为.已知复数2 = ,，其中i是虚数单位，则lzl = 1 + i.已知a0, b0 ,且 + 2/? = 1,则的最大值为1 .二项式(x + )8的展开式中的常数项是2x.设集合 A = x| y = lg(l x),集合 B = y | y =9,则 Ap|3 =2 .将函数y = /(x)图象上的点保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍后得到函数丁 =工。)的图象，再将y =看(幻的图象向上平移1个单位后得到函数y = sinx的图象，则y = /(x)的函数表达
2、式是y =.函数/(x) = 2sin(2x-马在0,兀上的单调递减区间为.已知定义域为R的函数/(x)=,+ 一一则关于t的不等式/(/一2。+ /(2?-1) 12,用成立的的最小值为二.选择题. “尤=1 且 y = 2是 x+y = 3的()条件A.充分不必要及必要不充分 C,充要 D.既不充分也不必要.已知z且x+y + z = 0,则下列不等式恒成立的是()A. xyyzB. xz yzC. xy xzD. x y z y.已知a、/7是不同的平面，加、是不同的直线，则下列命题不正确的是()A,若相 J_a, ml In ,几u，则8.若 zn_La, ml In , 则 _LaC
3、.若 ml I a , ml In ,则aD 若m_Lcr, ml 0,则如图，已知A（%，x）I（X2，%）为抛物线： y 二 49的图像上异于顶点的意两个点，抛物线在点A、B处的切线相交于月（%,先）.写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程;求证：%、/、4成等差数列，X、%、%成等比数歹U；若A,尸,5三点共线，求出动点P的轨迹方程及AR4B面积的最小值.【解】（1）抛物线的标准方程为f =4y,于是焦点坐标为尸（0,1）,准线方程为 21 0 1（2）函数厂的导函数为y=3%,于是7_ 1/、12- y -X2(XX2)+ X2联立11 2二产二否11解得不y = -x2x-xl竽，而，乂
4、 =；4，于是4=等=必%，即 44416玉旦，=故X/。、成等差数列，外%、当成等比数歹U.乙10分（3）由于三点共线，设岫：丁 =心+1y - kx+11 2 nJ-4%工一4 = 0,于是否+=4左=-4 ,结合(2)得 y = x4x0 = 2ko =即动点P的轨迹方程为y = -L12分PAR 二L| A引/= Lj(l + A2)(i6左2+16)I 2k2 * + 21-1 _,4(1 + F)24,即面积的最小值为Jl + 224.16分21.（满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列%满足4=1，(1)若 =1,写出为所有可能的值;(2)(3)（2）因为
5、数列4是递增数列，所以巴+1-代% 一玛=P.而4=1,所以出=2+ 1,。3 = +2+ 1，又4,2%,3生成等差数列，所以4a2=%+3%,所以3/- = （）.解得 =:或=。，当=。时，。川=%,这与%是严格递增数列矛盾，所以P = - 10分 J(3)因为%.1是递增数列，所以。2+1-%1。，所以(+1 %)+ (%但1=22,22工22 22、所以，由，知，%用一，所以川”2=22， 因为%是递减数列，同理可得。2+2-。2向 13分%+2 -。2+1 = -2/4 22/z累力口得 CL2n = % + (4 2)+(6 一 4)-卜(42 - “2底-2 ) = % + (
6、22 2” 2 ) = 2 T4 户什1于是由得生+=?+2?”二%+一 +，nl.4 2H3 34 2n十 一 十 一，3 3为奇数, 2 3为偶数， 2 2ne N.n 21, n = 1所以 为 = 216分由 4 =1, &-4| = 2得 % =3或-1, 1, n n于是当。2 =3 时，% =23318分16.已知复数zZ2满足I4+1| + | 4-11 =2五，匕2i|=2,（其中i是虚数单位），则区-z2|的最大值为（B.5B.5B.5D. 272 + 2三.解答题TT.如图，在四棱锥OA5CD中，底面ABCD是边长为1的菱形，/ABC = , OA_L底面A8CD, 40
7、4 = 2, M为。4的中点，N为5c的中点.（1）证明：直线MN平面0CD；（2）求点3到平面0C3的距离.已知/（冗）=%3+公2+云+。在点月（,2）处的切线斜率为4,且在x = l处取得极值.（1）求函数的单调区间；（2）若函数g（x） =有三个零点，求加的取值范围.17 .新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，当产量不足60万箱时，p（x） = -x2+50x；当产量不小于60万箱时，p（x） = 101x + 2四-1860,若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生
8、产的口罩可以全部 x销售完.（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量工（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？20 .如图，已知4为乂)、8(/2)为抛物线： 丁 =1一的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线在点A、B 处的切线相交于PG。,%).(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：*、与、成等差数列，H、X)、当成等比数列;求出动点P的轨迹方程及雨B面积的最小值.求出动点P的轨迹方程及雨B面积的最小值.21 .已知数列满足巧=1, I一1= P，cN*.(1)若 =1,写出所有可能的值；(2)若数列是严格递增数列，且%、2%、3%成
9、等差数列，求的值；(3)若 =2,且生-是严格递增数列，%J是严格递减数列，求数列的通项公式.松江二中2022学年第一学期9月学情调研高三数学一、填空题(1-6每题4分，7T2每题5分，满分54分).已知集合4 = 1,3,0,3 = 3,根2,若则实数z的值为.【详解】因为B =所以加=1或4=0,所以机= 0,1,-1,经检验均符合要求，故答案为：0, 1, -1.1 .已知复数2 =一,其中i是虚数单位，则|z=.l + i【详解】由题意得，|2|=-=也，故答案为：旦.1 + 1 |1 + 1|22.已知a 0,0且。+ 2/? = 1,贝ij的最大值为.【详解】答案为：7- 8.二项
10、式( + -)8的展开式中的常数项是.2x13535【详解】利用二项展开式的通项公式得常数项为。；弓)4=丁，故答案为：. 288.设集合八=工1=怆(1一%),集合 B = yy = %2,则 Ap|B =.【详解】因为集合4 = (81)1 =。+8),所以4口3 =。1),故答案为：0,1).2 .将函数y = /(x)图象上的点保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍后得到函数 =工。)的图象，再将y =/(X)的图象向上平移1个单位后得到函数y = sin尤的图象，则y = /(x)的函数表达式是y =.YY【详解】由题意可知/(%) = /(一), sinx = /(x)+ l,即/
11、()= sinx 1,所以/(x) = sin2x 1,故答案为： sin 2 a: 1 o.函数/(x) = 2sin 2x-在0,兀上的单调递减区间为.3 7【详解】41 + 2 2%-1y + 2k7ik e Z),解得+ %( Z),令 = 0得餐x粤，所以函数/(x) = 2sid-2x + g在0,兀上的单调递增区间为 号,学,故答案为：5 71 1 tt .已知定义域为K的函数/(x) = -J + 4 则关于/的不等式/(/一2。+ /(2*1)。的解集为.【详解】 4 I 1111110r函数/(外二一耳+王口的定义域为R因为/(一%)=-5+尸寸=一+彳、，( i A i
12、i 、所以r) + x)= - + -7-7 + - = -M = O9 所以=即/是奇函数.、，L I 1 y I Z 2 I 1 y因为y = 2为增函数，所以y = Q 为减函数，所以力=；+ 小在R上为减函数. I JLI JL所以/(产一2。+/(2/一1)0 可化为/(/_2。12/，解得：11或，V1.故答案为：-8,-1u(l,+8).3I3/CACP接圆半径O作【另解】直接代入计算得23一211，解得/(一8,-；)U0,+8).3 .如图，尸为AABC外接圆O上一个动点，若CA = 1,CB = 6,NACB = 15O。，则 的最大值.【详解】由余弦定理得| A81= J
13、。? + -2 _2C4. CBcos 150；=后,由正弦定理得外R=? = S,所以。方=i函d其中d是所在至上的投影，过点2 sin 150OP/C4交圆于点P,如图所示，则4nxMICA|+R =: + S，所以瓦屈的最大值为故答案为：近+上 2222解法2：C4CP = G4(CO + OP) = C4CO + CAOP = - + V7cos,- V3 + V7 sin 6)20,公共10.若函数y =与y = 3腕G旬的图像有3个公共点，则实数上的取值范围是【详解】由y=3MA得y=由y = Mxl得x + l,x.0、-x 07 八，作出两函数的图象如下图：当x.0时，kl,在
14、 KX.X.0+8)上有一个交点，而函数y = % I XI与y = 3MM则的图象恰有两个点，所以当x0时两函数图象有且只有一个交点，即丁 =-丘与 产士相切，即必*2,即小+日+1 =。-必解得I或。(舍去)，于是当Q4时 有3个公共点, 故答案为：(4,+oo).11.若对圆5-3)2+(丁-2)2=1上任意一点P(x,y)3x-4y + a|+|9 - 3x + 4”的取值与x、y无关，则实数。的取值范围是.详解设 z = |3x_4y + d+|9_3x + 4y| =|-3x + 4y + 9|+ 卜3)2 ”2故|3x 4y +4+|9 3x+4y|可以看作点p到直线用：3x 4
15、y + a = 0与直线/： 3x + 4y + 9 = 0距离之和的5倍,|3x-4y + Q|+|9-3x + 4”的取值与x、V无关一,.这个距离之和与点P在圆上的位置无关,/的距/的距/的距如图所示，可知直线用平移时，P点与直线加、/的距离之和均为2、离，即此时圆在两直线的中间，当直线?与圆相切时，3x3 - 4x2 +。（7 4-11/ 9 z 4+（-4）?的取值范围是4,y）,故答案为：4,y）.12 .已知集合 A = x|x = 2一1, N,N1,5 = x|x = 2,N,N1 .将AU3的所有元素从小到大依次排列构成一个数列4.记S为数列的前项 和，则使得3 12,川成
16、立的的最小值为.【详解】设。=2。则 S=(2xl l)+(2x2 l)+(2x3 l)+ (2211) + 2 + 22+23T(l + 2x2i -1) 2(14)产.2,加, 21-2由 S 12a/J+l 得 22-+ 2K1 - 2 12(2* +1), (2i )2 - 20(21)-140,2k-l 259k6所以只需研究25 / 16.由根2+25+1212(2根+ 1),根224根+ 500,/.m22,H = m + 527,于是满足条件的最小值为27.二、选择题(每题5分，满分20分). “ = 1 且)，=2是x+y = 3”()条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要
17、 D.既非充分又非必要【详解】选：A.13 .已知XyZ且尤+y + z=0,则下列不等式恒成立的是（）A. 9yzB. xzyzc. xyxzD. x|y|z|y|【详）W因为 xyz 且 x+y + z =。，所以 3xx+y + z = 0, gp x 0.又因为3zx+y + z =。，即z0, z0, V无法判断.对选项A,当丁 =。时，个=,故A错误；对选项3,因为zz, %0,所以取xz,故。正确； 对选项。，当丁 二。0寸，x|y| = z|y|,故。错误. 故选：C.已知。、夕是不同的平面，机、是不同的直线，则下列命题不正确的是（）A.若加，a, ml In , nu （3
18、,则4 B.若/, plij n LaC.若 m/1 a , ml In ,则 aD.若m JLa, m1/3 ,则。万【详解】A项：因为根J_2, mH n,所以 _La,因为 u/?,所以。_L/7, A正确；5项：由加，。，机/，根据线面垂直的性质能推出，a, 8正确；。项：有可能在平面a内，C错误；。项：由垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，。正确，故选：C15 .已知复数满足归+1| +，一1| = 2匕一2，|=2,(其中i是虚数单位)，则|zZ21的最大值为()A. 3B. 5C. 275D. 2V2 + 2丫2【详解】复数4在复平面的对应点的轨迹为焦点分别在(-1,0), (
19、1,0)的椭圆，方程为+y2=i；复数z?在复平面的对应点的轨迹为圆心在(。，2),半径为2的圆，方程为/+(, 2尸=4,结合图形知zz211mx =归 -2，.+2 = 5,此时 4 =-必=2，故选 B.另解:设 4 = /2 cos cr 4- z sin a. z2 = 2cos/3 + i(2 + 2sin /3 a,/3，则Z-22区|/ + 2,其中=Jsina dsinor + G 1,3，于是z21szi+ 2区5.三、解答题(满分76分)17.(满分14分，第1小题6分，第2小题8分)如图，在四棱锥O-A5C。中，底面A3CO是边长为1的菱形,TTZABC = , Q4,
20、底面ABCD, 。4 = 2, M为04的中点，N为3C的中点. 4(1)证明：直线MN/面0C。；(2)求点3到平面0CQ的距离.【解1】过A作APJ_CD交。于点P.如图示，分别以丽，丽,70为x、y、z向建立坐标系，则 4(0,0,0), 5( 1,0,0), P。,-,0 , D -:三,00(0,0,2), M(0,0,1), N 1-冬冬。(1) MN= 1-乎，今一，0P = ,-24 42轴正方设平面0CD的法向量为 = (x,y,2)n-OP = y-2z = 0_ 7575I 0n - OD =x Hy-2z22不妨取z = 0,解得：n =(0,4,72). 4分.仅,4
21、,夜) = 0 +垃-四=0直线M/VZ面OCD,所以MN/面0CD 6分(2)设点3到平面OCO的距离为小则d为砺在向量3 = (),4,收)上的投影的绝对值，8分由砺= (1,0,-2),OB - n0 + 0 2a/2| ?nVo + 42+212分7所以点B到平面OCD的距离为.14分【解2】（1）如图所示，取。中点P,连接MP、PC,则M尸，ADNC, =2=2分故四边形MNCP是平行四边形，则MN/PC 4分而PCu平面OCO,于是直线MN/面。CD 6分利用等体积法有七一废。=%一以0，设点5到平面OCO的距离为d ,117 S,Q4则WS皿OA = 1Hosd，即d=一.8分由
22、于 AC = Jl +1 2x 1 x 1 x V2-5/2，OC =16-，OD V5,CD - 1, cosNODC -，则，。8彳1,后噜=212分1 1 . 37r。o c 人1 , 1 , sin2于是 d = S 2 CD OA = 2 4Saocd172414分18.（满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数/。） = /+/+云+ 在点尸（1,2）处的切线斜率为4,且在x = -1处取得极值.求函数“X）的单调区间；若函数g（x） = /（x） + m-l有三个零点，求力的取值范围.【解】（1）由题意，函数/（冗）=/+62+区+。，可得/，（） = 3/+2G； +
23、b,因为函数/。） = /+以2+以+ 在点f（1,2）处的切线斜率为4,且在x = -1处取得极值,/二2可得“=4 ,/(-1) = 0l + a + Z? + c = 2即 (3 +2 + /? = 4 ,解得q = 1/ = l,c = l3 2。+ b = 0所以/(x) = V+X2 X + 1 , 3分可得:(x) = 3f+2x1,令x) = 0,解得x = 1 或x = X(-00,-1)1(1113( ,+co(3)小）+00+/W/22227/当X变化时，/（X）, 力的变化情况如下:（ 1、所以函数“X）的单调递减区间是-t-;单调递增区间是（-8,7）,() ,+00
24、 、3)(2)依题意方程/(力+2-1 =。有3个不同实数根，8分即x) = l-机，函数y = /(x)与函数y = l-机的图像有3个不同的交点，10分结合(1)知 !) 1 /%/(1), 12分解得一12卷.14分2719.(满分14分，第1小题6分，第2小题8分)新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为 400万元，每生产1万箱，需另投入成本p(x)万元，当产量不足60万箱时，p(x) = Jf+50x；当产量不小于60 万箱时，p(x) = 101x +幽-1860,若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以
25、全部销售X完.(1)求口罩销售利润y (万元)关于产量工 (万箱)的函数关系式；(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？(11【解(1)当0X60时，y = 100x- -x2+50x -400 = -x2+50x-400 ； 2分12J2(6400、(6400、当工260时,y = 100x 101x4-1860 -400 = 1460- x + 4分1 9所以,所以,所以,-x +50x-400,0 x 60,46。j +空46。、 I )(2)当0x 取得最大值，最大值为850万元； 8分( 6400 AI6400当 160 时，y = 1460 x + 空兰 取得最大值，最大值为1300万元.12分x综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.14分20.(满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)若数列%是严格递增数列，且4,2g，3%成等差数列，求的值;若P = 2,且%t是严格递增数列，%是严格递减数列，求数列”“的通项公式.【解】（1） %有可能的值为-2,0,2,4；