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1、第二、三章第二、三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布习题课习题课 离散型随机变量离散型随机变量随机变量的分布函数随机变量的分布函数连续型随机变量连续型随机变量 一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布多维随机变量的边缘分布与独立性多维随机变量的边缘分布与独立性多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布内内 容容 关于随机变量关于随机变量(及向量及向量)的研究，是概率论的中心内的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，往往是与所
2、研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量量一、随机变量的概念一、随机变量的概念 定义定义
3、.设设S=eS=e是试验的样本空间，如是试验的样本空间，如果量果量X X是定义在是定义在S S上的一个单值实值函数上的一个单值实值函数即对于每一个即对于每一个e e S S，有一实数，有一实数X=X(e)X=X(e)与与之对应，则称之对应，则称X X为为随机变量随机变量。随机变量随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、等表等表示。示。随机变量的特点随机变量的特点:1.X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2.X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类随机变量的分类：随机变量随机变量n离散型随机变量离散型随机变量 定义定义 若随机变量
4、若随机变量X取值取值x1,x2,xn,且且取这些值的概率依次为取这些值的概率依次为p1,p2,pn,则称则称X为离散型随机变量，而称为离散型随机变量，而称PX=xk=pk,(k=1,2,)为为X的的分布律分布律或概率分布。可表为或概率分布。可表为 X PX=xk=pk,(k=1,2,)，或或 X Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pk kp1p2pk(1)pk 0,k1,2,;(2)2.分布律的性质分布律的性质几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布分布 若以若以X表示进行一次试验事件表示进行一次试验事件A发生的次数，
5、则称发生的次数，则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布)XPXkpk(1p)1k,(0p1)k0，1或或 若以若以X X表示表示n n重重贝努里试验事件贝努里试验事件A A发生的次数，发生的次数，则称则称X X服从参数为服从参数为n,pn,p的二项分布。的二项分布。记作记作XBXB（n,p)n,p)其分布律为：其分布律为：2.定义定义 设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行n n次，每次试验中，次，每次试验中，事件事件A A发生的概率均为发生的概率均为p p，则称这，则称这n n次试验为次试验为n n重贝重贝努里试验努里试验.泊松泊松定理表明，定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布
6、，泊松分布是二项分布的极限分布，当当n很大，很大，p很小时，很小时，二项分布就可近似地二项分布就可近似地看成是参数看成是参数=np的的泊松分布泊松分布（二（二.）泊松泊松(Poisson)分布分布P(）XPXk ,k0,1,2,(0)二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数 定义定义 设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，事件事件X x的概率的概率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为记为F(x)，即即 F(x)P X x.易知，对任意实数易知，对任意实数a,b(ab),P aX bPX bPX a F(b)F(a).1、单调不减性单调不减性：若：若x
7、1x2,则则F(x1)F(x2);2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且且 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为其分布函数为 例例1 设随机变量设随机变量X具分布律具分布律如右表如右表解解X012P0.1 0.6 0.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。例例2 向向0,1区间
8、随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐表示质点坐标标.假定假定质点落在质点落在0,1区间内任一子区间内的概率区间内任一子区间内的概率与区间长成正比与区间长成正比，求，求X的分布函数的分布函数解：解：F(x)=PXx 当x1时,F(x)=1当0 x1时,特别,F(1)=P0 x1=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？a ab bn连续型随机变量连续型随机变量 1.定义定义 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负函数若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意
9、实数使对任意实数x，都有都有则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)为为X的的概率概率密度函数密度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为常记为X f(x),(-x+)密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为2.密度函数的性质密度函数的性质(p34)(1)非负性非负性 f(x)0，(-x)；(2)归一性归一性性质性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；是密度函数的充要性质；设随机变量X的概率密度为（4 4）对任意实数对任意实数b b，若若X X f(x)f(x)，(-(-xx)，则则PX=PX=b b 0 0。于是于是(3)若若x是是f(x)的连续点，则的连续
10、点，则例例2.3.2.2.3.2.已知随机变量已知随机变量X X的概率密度为的概率密度为1)1)求求X X的分布函数的分布函数F(x),2)F(x),2)求求PXPX(0.5,1.5)(0.5,1.5)（二）几个常用的连续型分布（二）几个常用的连续型分布1.均匀分布均匀分布 2.若Xf(x)则称则称X在在(a,b)内服从内服从均匀分布。记作均匀分布。记作 XU(a,b)对任意实数对任意实数c,d(acd0的的指数分布。指数分布。其分布函数为其分布函数为 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要究最多的分布之
11、一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。的地位。3.正态分布正态分布其中其中 为实数，为实数，0，则称，则称X服从参数为服从参数为 ,2的的正态正态分布分布,记为记为N(,2)，可表为可表为XN(,2).若随机变量随机变量(1)单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称；f()maxf(x).正态分布有两个特性正态分布有两个特性：(2)的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻，。，。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布4.标准正态分布标准正态分布 参数参数 0，21的正态分布称
12、为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作XN(0,1)。分布函数表示为分布函数表示为其其密度函数密度函数表示为表示为 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅表供读者查阅(x)的值。的值。注注：(1)(x)1(x)；(2)若XN(,2)，则（一）、离散型随机变量函数的分布律（一）、离散型随机变量函数的分布律三、一维随机变量函数的分布三、一维随机变量函数的分布设设X一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为 XPXxkpk,k1,2,若若yg(x)是一元单值实函数，则是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随也是一个随机变量。求机变量。
13、求Y的分布律的分布律.或或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）有相同的，其对应概率合并。）一般地一般地XPkY=g(X)设设X X的概率密度为的概率密度为f fX X(x),y=g(x)(x),y=g(x)关于关于x x处处可导且是处处可导且是x x的严格单减函数，求的严格单减函数，求Y=g(X)Y=g(X)的概率密度。的概率密度。解：解：Y Y的分布函数为的分布函数为FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y)=1-FX(g-1(y)Y Y的概率密度为的概率密度为 fY(y)=F(g-1(y)=fX(g-1(y)g-1(y)（二）、
14、连续型随机变量函数的密度函数（二）、连续型随机变量函数的密度函数例例.设设X X U(-1,1),U(-1,1),求求Y=XY=X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。当y0时当0yY求：求：(1)(1)常数常数A A；(2)F(1,1)(2)F(1,1)；(3)(X,Y)(3)(X,Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0,y0,y 0,2X+3y0,2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。例例.设解(1)由归一性(3)(X,Y)(3)(X,Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0,y0,y 0,2X+3y0,2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。解求求：（
15、1 1）PXPX 0,(2)PX0,(2)PX 1,(3)PY 1,(3)PY y y0 0 EX:EX:随机变量（随机变量（X X，Y Y）的概率密度为）的概率密度为xyD答答:PXPX 0=00=0例例.已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为 求求FX(x)与与FY(y)。例例.设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为（1 1）求常数）求常数c;(2)c;(2)求关于求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一性由归一性设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域D D上上的均匀分布，的均匀分布，求关于求关于X X的和关于的和关于Y Y的边缘的边缘概率密度概率
16、密度x=yx=-y随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性定义：随机变量定义：随机变量X X与与Y Y独立的充分必要条件独立的充分必要条件是是F(x,y)=FX(x)FY(y)定理.设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi.Pj。由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X X与与Y Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，的独立性，只需求出它们各自的边缘分布
17、，再看是否对再看是否对(X,Y)(X,Y)的每一对可能取值点的每一对可能取值点,边缘分边缘分布的乘积都等于联合分布即可布的乘积都等于联合分布即可例例1.已知已知X,Y相互独立相互独立,其概率分布分别为其概率分布分别为X-2-10PY13P求求(X,Y)的联合分布律的联合分布律 关于关于(X,Y)的联合分布律的联合分布律13-2-101例例2.设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量(X,Y)的联合分布律如下的联合分布律如下,取何值取何值时时,X,Y相互独立相互独立?YX012011解解:若若X与与Y相互独立相互独立例例3.设两个随机变量设两个随机变量X与与Y相互独立且同分布相互独立且同分布例例
18、4.设设X和和Y为两个随机变量为两个随机变量,且且例例5.设离散型随机向量设离散型随机向量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为(X.Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2,)(2,3)v解解:将表重新排列将表重新排列YX123121例例6.设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为其中参数其中参数0,这个分布称为二维指数分布这个分布称为二维指数分布,试讨论试讨论X和和Y的独立性的独立性.解解:由已知可得边缘分布函数由已知可得边缘分布函数p93例例4.某码头能容纳一只船某码头能容纳一只船,现预知某日将独立地来到甲现预知某日将独立地来到甲,乙两船乙两船,
19、且在且在24小时小时内各时刻来的可能性都相等内各时刻来的可能性都相等,如果它们需要停靠的时间分别为如果它们需要停靠的时间分别为3小时及小时及4小小时时,试求有一船要在江中等待的概率试求有一船要在江中等待的概率解解:设设X表示甲船到达码头的时间表示甲船到达码头的时间.Y表示乙船到达码头的时间表示乙船到达码头的时间由题中条件由题中条件,X与与Y都服从都服从0,24上的均匀分布上的均匀分布关于关于X的边缘密度函数的边缘密度函数关于关于Y的边缘密度函数的边缘密度函数因为因为X与与Y相互独立相互独立,故故(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为事件事件有一只船在江中等待有一只船在江中等待=YXY+4+
20、XYX+3表示表示:甲船来时甲船来时,乙船已在码头乙船已在码头表示表示:乙船来时乙船来时,甲船已在码头甲船已在码头x2440324 y Y=X+3X=Y+4SP108 8.设设X,Y相互独立相互独立,且都服从且都服从0,1上的均匀分布上的均匀分布,试求使方程试求使方程 有实根的概率有实根的概率.o11yxY=x2P108 2.设二维随机向量的概率密度函数为设二维随机向量的概率密度函数为v求求(1)C (2)(X,Y)落在圆落在圆 内的概率内的概率P107 3.设平面区域设平面区域D由曲线由曲线所围成，二维随机向量所围成，二维随机向量(X,Y)在区域在区域D上服从均匀分布上服从均匀分布,则则(X,Y)关于关于X的边的边缘概率密度在缘概率密度在x=2处的值为处的值为:解解:xyo1e2P107 4.设随机变量设随机变量X,Y同分布同分布,X的密度函数的密度函数