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1、.二次函数二次函数基础回顾基础回顾 什么叫函数什么叫函数?在某变化过程中的两个变量在某变化过程中的两个变量x x、y y，当变量，当变量x x在在某个范围内取一个确定的值，另一个变量某个范围内取一个确定的值，另一个变量y y总总有唯一的值与它对应。有唯一的值与它对应。这样的两个变量之间的关系我们把它叫做这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。函数关系。对于上述变量对于上述变量x x、y y，我们把，我们把y y叫叫x x的函数。的函数。x x叫自变量，叫自变量，y y叫应变量。叫应变量。目前，我们已经学习了那几种类型的函数？二次函数二次函数变变量量之之间间的的关关系系函函数数一次函数一次
2、函数反比例函数反比例函数y=kx+b(k0)正比例函数正比例函数y=kx(k0)y=k/x(k0)节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？会与某种函数有联系吗？抛物线型桥拱抛物线型桥拱奥运赛场腾空的篮球奥运赛场腾空的篮球 正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形,设设正方形的棱长为正方形的棱长为x,表面积为表面积为y,显然对于显然对于x的每一个的每一个值值,y都有一个对应值都有一个对应值,即即y是是x的函数的函数,它们的具体它们的具体关系可以表示为关系可以表示为 问题问题1:1:y=6
3、x2 多边形的对角线数多边形的对角线数d与边数与边数n有什么关系？有什么关系？问题问题2:2:由图可以想出由图可以想出,如果多边形有如果多边形有n条边条边,那么它有那么它有 个顶点个顶点,从一个顶点出发从一个顶点出发,连接与这连接与这点不相邻的各顶点点不相邻的各顶点,可以作可以作 条条对角线对角线.n(n-3)因为像线段因为像线段MN与与NM那样那样,连连接相同两顶点的对角线是同一条接相同两顶点的对角线是同一条对角线对角线,所以多边形的对角线总数所以多边形的对角线总数MN即即 式表示了多边形的式表示了多边形的对角线数对角线数d与边数与边数n之之间的关系间的关系,对于对于n的每一的每一个值个值,
4、d都有唯一的对应都有唯一的对应值值,即即d是是n的函数。的函数。问题问题3：用总长为：用总长为60米的篱笆围成矩形场地，求矩形米的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积的面积y与其中的一边长与其中的一边长x之间的关系式。之间的关系式。解：解：其中的一边长为其中的一边长为x米，米，另一边长为另一边长为(0 x0）函数函数有什么共同点有什么共同点?观察：观察：y=6x2 在上面的问题中在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。函数都是用自变量的二次式表示的。定义：定义：一般地，形如一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)的函数叫做的函数叫做二次函数。二次函数。其中其中x是自变
5、量，是自变量，a为二次为二次项系数，项系数，ax2叫做二次项，叫做二次项，b为一次项系数，为一次项系数，bx叫做叫做一次项，一次项，c为常数项。为常数项。（1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变量，右边是关于自变量 x的的（3）等式的右边最高次数为）等式的右边最高次数为 ，可以没有，可以没有一次项和常数项，但一次项和常数项，但不能没有二次项不能没有二次项。注意注意：（2）a,b,c为常数，且为常数，且（4）x的取值范围是的取值范围是任意实数。任意实数。整式。整式。a0.2(5)函数的右边是一个函数的右边是一个 整整 式式二次函数的一般形式:yax2bxc (其中a、b、c是常数,
6、a0)二次函数的特殊形式：当当b0时，时，yax2c当当c0时，时，yax2bx当当b0，c0时，时，yax2 1、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项数、常数项（1）y=-x2+58x-112（2）y=x22、指出下列函数y=ax+bx+c中的中的a、b、c（1）y=-3x2-x-1（3）y=x(1+x)（2）y=5x2-6例例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数分别指出二次项系数,一次项系数一次项系数,常数项。常数项。(1)y=3(x1)+1 (2)y=x+(3)s=32t (4)y=(
7、x+3)x (5)y=x (6)v=8 r1x_x1_解解:(1)y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1即即y=3x2-6x+4是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:3-64(2)y=x+1x_不是二次函数不是二次函数.(3)s=3-2t是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:-203(4)y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2即即y=6x+9不是二次函数不是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:800 不是二次函数不是二次函数.(5)y=-xx1
8、_(6)v=8 r 是二次函数是二次函数.思考：思考：2.二次函数的一般式二次函数的一般式yax2bxc（a0）与一元二次方）与一元二次方程程axbxc0（a0）有什么）有什么联系和区别？联系和区别？驶向胜利的彼岸联系联系(1)等式一边都是等式一边都是ax2bxc且且 a 0(2)方程方程ax2bxc=0可以看成是可以看成是函数函数y=ax2bxc中中y=0时得到的时得到的.区别区别:前者是函数前者是函数.后者是方程后者是方程.等式另等式另一边前者是一边前者是y,后者是后者是0知识运用知识运用 例例1:下列函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1 ()(2)y=3
9、x2 （)(3)y=3x3+2x2 ()(4)y=2x2-2x+1()(5)y=x-2+x ()(6)y=x2-x(1+x)()不是是不是不是是不是驶向胜利的彼岸知识运用知识运用m22m-1=2 m+1 0 m=3例2:m取何值时，取何值时，函数函数y=(m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？是二次函数？解解:由题意得由题意得例：用例：用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为设连墙的一边为x米米,矩形的面积为矩形的面积为y平方米平方米,求：求：(1)写出写出y关于关于x的函数关系式。的函数关系式。.(2)当当x=8时时,矩形的面矩形的面积为
10、积为多少多少?解：解：和墙垂直的一边长为和墙垂直的一边长为x米，米，（0 x10）当当 x=8时时，y=32当当x=8时，矩形面积为时，矩形面积为32平方米。平方米。解：解：由题意得：由题意得：由题意得：由题意得：m3练习：练习：解：解：由题意得：由题意得：由题意得：由题意得：m1且且且且m4解：解：解：解：由题意得：由题意得：由题意得：由题意得：解：解：解：解：由题意得：由题意得：由题意得：由题意得：已知函数已知函数 (1)k(1)k为何值时，为何值时，y y是是x x的一次函数？的一次函数？(2)k(2)k为何值时，为何值时，y y是是x x的二次函数？的二次函数？解解（1 1）根据题意得
11、）根据题意得 k=1时时,y是是x的一次函数。的一次函数。y=（m+3）x （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？取什么值时，此函数是二次函数？m2-7（2）当）当m27=2且且m+30即即m=3时是二次函数。时是二次函数。解：（）当解：（）当m27=1且且m+30即即m=时是正比例函数。时是正比例函数。想一想想一想1.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径,写出它写出它的表面积的表面积 s 与半径与半径 r 之间的关系式之间的关系式.2.n支球队参加比赛支球队参加比赛,每两队之间进行每两队之间进行一场比赛一场比
12、赛,写出比赛的场次数写出比赛的场次数 m与球队与球队数数 n 之间的关系式之间的关系式.S=2r2+2r2 即即S=4r2 即即3、下列函数中，（、下列函数中，（x是自变量），是二次函数是自变量），是二次函数的有的有 。A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1C y=x2 D y=2+x2+14.函数函数 y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条件是()A m,n是常数是常数,且且m0 B m,n是常数是常数,且且n0C m,n是常数是常数,且且mn D m,n为任何实数为任何实数B CC 一农民用一农民用一农民用一农民用40m40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长
13、方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为XmXm，菜园的面积为，菜园的面积为，菜园的面积为，菜园的面积为YmYm2 2，求求求求y y与与与与x x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当当当当x=12mx=12m时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。x xmm y m
14、y m2 2 x xmm （40-2x 40-2x）mm解：解：解：解：由题意得：由题意得：由题意得：由题意得：Y=x(40-2x)即：即：Y=-2x2+40 x(0 x20)当当x12m时，菜园的面积为：时，菜园的面积为：Y=-2x2+40 x-2122+4012 192（m2）某果园有某果园有100棵橙子树棵橙子树,每一棵树平均结每一棵树平均结600个个橙子橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如但是如果多种树果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少的阳光就会减少.根据经验估计根据经验估计,每多种一棵树每多种
15、一棵树,平均每棵树就会少结平均每棵树就会少结5个橙子个橙子.（1）假设果园增种）假设果园增种x棵橙子树棵橙子树,果园橙子的总产量果园橙子的总产量 为为y(个个),那么请你写出那么请你写出y与与x之间的关系式之间的关系式.（2）种多少棵橙子树）种多少棵橙子树,可以使果园橙子可以使果园橙子 的总产量最多？的总产量最多？九马画山九马画山 在美丽的桂林在美丽的桂林有一处非常有有一处非常有名的景观叫名的景观叫“九马画山九马画山”，在一处石壁上在一处石壁上的一些天然图的一些天然图案酷似各种形案酷似各种形态的骏马。传态的骏马。传说凡人只能找说凡人只能找出两三匹马，出两三匹马，谁要是找出其谁要是找出其中的九匹
16、马就中的九匹马就能当能当“状元郎状元郎”。在实践中感悟在实践中感悟 横看成岭侧成峰，远近高低各不同横看成岭侧成峰，远近高低各不同 变换角度分析问题变换角度分析问题 若函数若函数y=x2m+n 2xm-n+3是以是以x为自变量的二次函为自变量的二次函数，求数，求m、n的值。的值。2m+n=2m-n=1 m=1 n=02m+n=1m-n=2m=1n=-12m+n=2 m-n=2m=4/3n=-2/32m+n=2m-n=0m=2/3n=-4/32m+n=0m-n=2m=2/3n=2/3小结小结：1.1.定义：一般地定义：一般地,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常
17、数是常数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数.y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示形式的几种不同表示形式:(1)y=ax(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0).2.2.定义的实质是：定义的实质是：axax+bx+c+bx+c是整式是整式,自变量自变量x x的最高次数的最高次数是二次是二次,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数.1、将进货单价为、将进货单价为40元的商品按元的商品按50元卖出时元卖出时,就就能卖出能卖出500个个,已知这种商品每涨已知这种商品每涨1元元,其销售量其销售量就会减少就会减少10个个,设售价定为设售价定为X元元(x50)时的利时的利润为润为Y元。试求出元。试求出Y与与X的函数关系式，并按的函数关系式，并按所求的函数关系式计算出售定价为所求的函数关系式计算出售定价为80元时所元时所得利润得利润、二次函数、二次函数 当当x=0时，时，y=-2；当当y=-2时，时，x=0，求，求y=2时，时，x的值。的值。课后巩固课后巩固