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1、 20 鸡兔同笼问题【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有 兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有 鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果
2、先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解 假设35只全为兔，则 鸡数（43594）（42）23（只）兔数352312（只）也可以先假设35只全为鸡，则 兔数（94235）（42）12（只）鸡数351223（只）答：有鸡23只，有兔12只。例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（12）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3
3、5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有白菜亩数（91216）（3512）10（亩）答：白菜地有10亩。例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有作业本数（690.7045）（3.200.70）15（本）日记本数451530（本）答：作业本有15本，日记本有30本。例4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？解 假
4、设100只全都是鸡，则有兔数（210080）（42）20（只）鸡数1002080（只）答：有鸡80只，有兔20只。例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？解 假设全为大和尚，则共吃馍（3100）个，比实际多吃（3100100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（31/3）个。因此，共有小和尚 （3100100）（31/3）75（人）共有大和尚 1007525（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。21 方阵问题【含义】 将若干人或物依一定条件排
5、成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数（每边人数1）4 每边人数四周人数41（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数每边人数空心方阵：总人数（外边人数）（内边人数） 内边人数外边人数层数2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数（每边人数层数）层数4【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解
6、 2222484（人） 答：参加体操表演的同学一共有484人。例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。解 10*10（1032）*（1032）84（人） 答：全方阵84人。例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？解 （1）中空方阵外层每边人数524114（人） （2）中空方阵内层每边人数28416（人） （3）中空方阵的总人数141466160（人）答：这队学生共160人。例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数49
7、13（只） （2）纵横增加一层后正方形每边棋子数（131）27（只） （3）原有棋子数77940（只）答：棋子有40只。例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？解 第一种方法： 1234515（棵）第二种方法： （51）5215（棵）答：这个三角形树林一共有15棵树。22 商品利润问题【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。【数量关系】 利润售价进货价 利润率（售价进货价）进货价100% 售价进货价（1利润率） 亏损进货价售价 亏损率（进货价售价）进货价100%【解
8、题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？解 设这种商品的原价为1，则一月份售价为（110%），二月份的售价为（110%）（110%），所以二月份售价比原价下降了1（110%）（110%）1%答：二月份比原价下降了1%。例2 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？解 要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是原价的80%
9、，所以原价为（5280%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为 5280%（130%）50（元）可以看出该店是盈利的，盈利率为 （5250）504%答：该店是盈利的，盈利率是4%。例3 成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是0.25（140%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的8
10、0%的盈利额之差，即0.25120040%86%0.25120040%80%7.20（元）剩下的作业本每册盈利 7.201200（180%）0.03（元）又可知 （0.250.03）0.25（140%）80%答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。例4 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。解 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为 110%0.9甲店定价为 0.9（130%）1.17乙店定价为 1（120%）1.20由此可得 乙店进货价为 6（1.201.17）200（元）乙店定价为 20
11、01.2240（元）答：乙店的定价是240元。23 存款利率问题【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。【数量关系】 年（月）利率利息本金存款年（月）数100% 利息本金存款年（月）数年（月）利率 本利和本金利息 本金1年（月）利率存款年（月）数【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。解 因为存款期内的总利息
12、是（14881200）元，所以总利率为 （14881200）1200 又因为已知月利率，所以存款月数为 （14881200）12000.8%30（月）答：李大强的存款期是30月即两年半。例2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？解 甲的总利息100007.92%210000（17.92%2）8.28%3 1584115848.28%34461.47（元）乙的总利息 100009%54500（元） 45004461.4738.
13、53（元）答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。24 溶液浓度问题【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。【数量关系】 溶液溶剂溶质 浓度溶质溶液100%【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例1 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？解 （1）需要加水多少克？ 5016%1
14、0%5030（克） （2）需要加糖多少克？ 50（116%）（130%）5010（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？解 假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出 600（30%25%）30（克）这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖 100（30%15%）15（克） 所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 100（3015）200（克）由此
15、可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液 600200400（克）答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。解 由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：甲容器乙容器原 有盐水500盐50012%60水500第一次把甲中一半倒入乙中后盐水5002250盐60230盐水
16、500250750盐30第而次把乙中一半倒入甲中后盐水250375625盐301545盐水7502375盐30215第三次使甲乙中盐水同样多盐水500盐45936盐水500盐45361524由以上推算可知，乙容器中最后盐水的百分比浓度为 245004.8%答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。25 构图布数问题【含义】 这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。【数量关系】 根据不同题目的要求而定。【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按
17、照题意来构图布数，符合题目所给的条件。例1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。解 符合题目要求的图形应是一个五角星。45210因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。例2 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。例3 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。解 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9棵。 4339例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和
18、都等于12。解 共有五种写法，即 12147 12156 1223712246 12345在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。26 幻方问题【含义】 把nn个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。 三级幻方的幻和45315 五级幻方的幻和325565【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定
19、其它方格中的数。例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。解 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为（123456789）345315九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。设“中心数”为，因为出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以 （123456789）（41）154即 45360 所以 5接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数
20、的位置，它们276951438分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。解 只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为（2345678910）3189274685103假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和：最大数是10：1810621053最大数是9： 18972963954最大数是8： 18873864最大数是7： 18765 刚好写成8个算式
21、。首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。最后确定其它方格中的数。如图。27 抽屉原则问题【含义】 把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。【
22、数量关系】 基本的抽屉原则是：如果把n1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有kmr（0rm）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k1）个或更多的元素。通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k1）个或更多的元素。【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素； （2）把元素放入（或取出）抽屉； （3）说明理由，得出结论。例1 育才小学有367个2000年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？解 由于2000年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个
23、1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。 这说明至少有2个学生的生日是同一天的。例2 据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？解 人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到3645201825 根据抽屉原则的推广规律，可知k1183答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。例3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个
24、，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？解 把四种颜色的球的总数（3332）11 看作11个“抽屉”，那么，至少要取（111）个球才能保证至少有4个球的颜色相同。答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。28 公约公倍问题【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。例1 一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它
25、剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。60和56的最大公约数是4。 答：正方形的边长是4厘米。例2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？解 要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。 36、30、48的最小公倍数是720。答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相
26、遇。例3 一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？解 相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。所以，至少应植树 （60729684）1226（棵）答：至少要植26棵树。例4 一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。解 如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60，
27、又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为6031181（个）答：棋子的总数是181个。29 最值问题【含义】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。【数量关系】 一般是求最大值或最小值。【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。例1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？解 先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，
28、又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。答：最少需要9分钟。例2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？解 我们采用尝试比较的方法来解答。集中到1号场总费用为 12001014004018000（元）集中到2号场总费用为 11001014003013000（元）集中到3号场总费用为 11002012001014001012000（元）集中到4号场总费用为 11003012
29、002014001011000（元）集中到5号场总费用为 11004012003010000（元）经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。答：集中到5号煤场费用最少。重庆武汉北京800400上海500300例3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？解 北京调运到重庆的运费最高，因此，北京往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为5004800440067600（元）答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重
30、庆4台，这样运费最少。30 列方程问题【含义】 把应用题中的未知数用字母代替，根据等量关系列出含有未知数的等式方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。【数量关系】 方程的等号两边数量相等。【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。（2）设：把应用题中的未知数设为。（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。（4）解；求出所列方程的解。（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。同学们在列方程
31、解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。例1 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？解 第一种方法：设乙班有人，则甲班有（90）人。找等量关系：甲班人数乙班人数230人。列方程： 90230解方程得 40 从而知 9050第二种方法：设乙班有人，则甲班有（230）人。列方程 （230）90解方程得 40 从而得知 23050答：甲班有50人，乙班有40人。例2 鸡兔35只，共有94只脚，问有多
32、少兔？多少鸡？解 第一种方法：设兔为只，则鸡为（35）只，兔的脚数为4个，鸡的脚数为2（35）个。根据等量关系“兔脚数鸡脚数94”可列出方程 42（35）94 解方程得 12 则3523第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，则有 兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42）所以 兔数（94235）（42）12（只） 鸡数351223（只）答：鸡是23只，兔是12只。例3 仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋？解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。 9404125110（袋）第二种方法：从总量里减
33、去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。 （9401254）4110（袋）第三种方法：设乙汽车每次运袋，可列出方程 9404125解方程得 110第四种方法：设乙汽车每次运袋，依题意得（125）4940 解方程得 110答：乙汽车每次运110袋。消去法在一些应用题中，有时会出现两个或两个以上并列的未知数，我们可以根据数据特点，设法消去一个或两个未知数，只保留其中的一个未知数，在求得这个未知数后，再求出其它的未知数。这种解题思路和方法就是消去法。例1学校买了4张办公桌和1把椅子，共用去510元，后又买来6张办公桌和1把椅子共用去750元。求每张办公桌和每把椅子各多少元？ 分析与解根据已知条件，列出关系式：4张桌子的价钱+1把椅子的价钱=510元-6张桌子的价钱+1把椅子的价钱=750元-观察比较两个等式，式比式多买了（6-4）张桌子，就多用了（750-510）元，从而可以求出每张办公桌为（750-510）（6-4）=120元，每把椅子为510-1204=30元16