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1、2023年人教版小学数学应用题精讲宝典应用题类型:1、归一问题11、行船问题21、方阵问题2、归总问题12、列车问题22、商品利润问题3、和差问题13、时钟问题23、存款利率问题4、和倍问题14、盈亏问题24、溶液浓度问题5、差倍问题15、工程问题25、构图布数问题6、倍比问题16、正反比例问题26、幻方问题7、相遇问题17、按比例分配27、抽屉原则问题8、追及问题18、百分数问题28、公约公倍问题9、植树问题19、“牛吃草”问题29、最值问题10、年龄问题20、鸡兔同笼问题30、列方程问题1 归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应
2、用题叫做归一问题。【数量关系】总量+份数=1 份数量1份数量X所占份数=所求几份的数量另一总量+（总量+份数）=所求份数 解题思路和方法先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例 1 买5 支铅笔要0.6 元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解（1）买 1支铅笔多少钱？0.6+5=0.12（元）（2）买 1 6 支铅笔需要多少钱？0.1 2 X 1 6=1.9 2 （元）列成综合算式 0.6 +5 X 1 6=0.1 2 X 1 6=1.9 2 （元）答:需 要 1.9 2 元。例 2 3台拖拉机3 天耕地9 0 公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？解（1）1 台拖拉机1
3、天耕地多少公顷？9 0 4-3 4-3=1 0 （公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？1 0 X 5 X 6 =3 0 0 （公顷）列成综合算式9 0 4-3 4-3 X 5 X 6=1 0 X 3 0 =3 0 0 （公顷）答：5台拖拉机6天耕地3 0 0 公顷。例 3 5 辆汽车4 次可以运送1 0 0 吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送1 0 5吨钢材，需要运几次？解（1）1 辆汽车1 次能运多少吨钢材？1 0 0 +5+4=5 （吨）（2）7 辆汽车1 次能运多少吨钢材？5 X 7 =3 5 （吨）（3）1 0 5 吨钢材7 辆汽车需要运几次？1 0 5 +3 5 =3 （次）列成综
4、合算式1 0 5+（1 0 0 4-5 4-4 X 7）=3 （次）答：需要运3 次。2归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓 总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1 份数量X份数=总量总量+1份数量=份数总量 另一份数=另一每份数量【解题思路和方法】先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。例 1服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8 米。原来做7 9 1 套衣服的布，现在可以做多少套？解（1）这批布总共有多少米？3.2 X 7 9 1=2
5、5 3 1.2 （米）（2）现在可以做多少套？2 5 3 1.2 4-2.8=9 0 4 （套）列成综合算式3.2 X 7 9 1 4-2.8=9 0 4 （套）答：现在可以做9 0 4 套。例 2小华每天读2 4 页书，1 2 天读完了 红岩 一书。小明每天读3 6 页书，几天可以读完 红岩？解（1）红岩这本书总共多少页？2 4 X 1 2=2 8 8 （页）（2）小明几天可以读完 红岩?2 8 8 +3 6=8 （天）列成综合算式2 4 X 1 2 +3 6=8 （天）答：小明8 天可以读完 红岩。例3食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃5 0 千克,3 0 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的
6、意见，每天比原计划多吃1 0 千克，这批蔬菜可以吃多少天？解（1）这批蔬菜共有多少千克？5 0 X 3 0=1 5 0 0 （千克）（2）这批蔬菜可以吃多少天？1 5 0 0 4-（5 0+1 0）=2 5 （天）列成综合算式 5 0 X 3 0 4-（5 0+1 0）=1 5 0 0 4-6 0 =2 5 （天）答：这批蔬菜可以吃2 5 天。3 和差问题【含义】已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。数量关系 大数=（和+差）+2小数=（和一差）者 2【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例 1甲乙两班共有学生9 8 人，甲班比乙班
7、多6人，求两班各有多少人？解 甲 班 人 数=（9 8+6）4-2 =5 2 （人）乙 班 人 数=（9 8-6）4-2=4 6 （人）答：甲班有5 2 人，乙班有4 6 人。例 2长方形的长和宽之和为1 8 厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。解 长=（1 8+2）4-2 =1 0 （厘米）宽=（1 8-2）4-2=8 （厘米）长方形的面积=1 0 X 8=8 0 （平方厘米）答：长方形的面积为8 0 平方厘米。例 3有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重3 2 千克，乙丙两袋共重3 0 千克，甲丙两袋共重2 2 千克，求三袋化肥各重多少千克。解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（3
8、 2 3 0）=2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知甲袋化肥重量=（2 2+2）4-2=1 2 （千克）丙袋化肥重量=（2 2-2）4-2 =1 0 （千克）乙袋化肥重量=3 2 1 2 =2 0 （千克）答：甲袋化肥重1 2 千克，乙袋化肥重2 0 千克，丙袋化肥重1 0 千克。例 4甲乙两车原来共装苹果9 7 筐，从甲车取下1 4 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3 筐，两车原来各装苹果多少筐？解“从甲车取下1 4 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3 筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（是X 2 +3）,甲与乙的和是9 7,因此甲 车 筐 数=（9 7+1 4 X 2+3）
9、4-2=6 4 （筐）乙车筐数=9 7 6 4=3 3 （筐）答：甲车原来装苹果6 4 筐，乙车原来装苹果3 3 筐。4和倍问题 含义已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）,要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。数量关系 总 和+（几倍+1）=较小的数总 和 一 较小的数=较大的数较小的数X几 倍=较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公O例 1果园里有杏树和桃树共2 4 8 棵，桃树的棵数是杏树的3 倍，求杏树、桃树各多少棵？解（1）杏树有多少棵？2 4 8+（3+1）=6 2 （棵）（2）桃树有多少棵？6 2 X 3 =1 8 6
10、 （棵）答：杏树有6 2 棵，桃树有1 8 6 棵。例 2东西两个仓库共存粮4 8 0 吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4 倍，求两库各存粮多少吨？解（1）西库存粮数=4 8 0+（1.4+1）=2 0 0 （吨）（2）东库存粮数=4 8 0 2 0 0=2 8 0 （吨）答:东库存粮2 8 0 吨，西库存粮2 0 0 吨。例 3甲站原有车5 2 辆，乙站原有车3 2 辆，若每天从甲站开往乙站2 8 辆,从乙站开往甲站2 4 辆，几天后乙站车辆数是甲站的2 倍?解 每天从甲站开往乙站2 8 辆，从乙站开往甲站2 4 辆，相当于每天从甲站开往乙站（2 8 2 4）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1
11、 倍量，这时乙站的车辆数就是2 倍量，两站的车辆总数（5 2 +3 2）就相当于（2+1）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为（5 2+3 2）4-（2+1）=2 8 （辆）所求天数为（5 2 2 8）4-（2 8-2 4）=6 （天）答：6 天以后乙站车辆数是甲站的2 倍。例 4甲乙丙三数之和是1 7 是 乙比甲的2 倍少倍 丙比甲的3 倍多倍 求三数各是多少?解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1 倍量。因为乙比甲的2 倍少倍 所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2 倍；又因为丙比甲的3 倍多倍 所以丙数减去6 就变为甲数的3 倍；这 时（1 7 0+4 6）就相当于（1 +2+3）
12、倍。那么，甲数=（1 7 0+4-6）4-（1 +2+3）=2 8乙数=2 8 X 2 4 =5 2丙数=2 8 X 3+6=9 0答：甲数是2 8,乙数是5 2,丙数是9 0。5差倍问题 含义己知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）,要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差（几倍1）=较小的数较小的数X几倍=较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1果园里桃树的棵数是杏树的3 倍，而且桃树比杏树多1 2 4 棵。求杏树、桃树各多少棵？解（1）杏树有多少棵？1 2 4+（3-1）=6 2 （棵）（2）桃树有多
13、少棵？6 2 X 3 =1 8 6 （棵）答：果园里杏树是6 2 棵，桃树是1 8 6 棵。例 2爸爸比儿子大2 7 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4 倍，求父子二人今年各是多少岁？解（1）儿子年龄=2 7+（4-1）=9 （岁）（2）爸爸年龄=9 X 4=3 6 （岁）答：父子二人今年的年龄分别是3 6 岁和9岁。例 3商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2 倍还多1 2 万元,又知本月盈利比上月盈利多3 0 万元，求这两个月盈利各是多少万元？解 如果把上月盈利作为1 倍量，则(3 0 1 2)万元就相当于上月盈利的(2T)倍,因此上 月 盈 利=(3 0-1 2)4-(2-1)=
14、1 8 (万元)本月盈利=1 8+3 0=4 8 (万元)答：上月盈利是1 8 万元，本月盈利是4 8 万元。例 4粮库有9 4 吨小麦和1 3 8 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨,问几天后剩下的玉米是小麦的3 倍？解由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差(1 3 8-9 4)o把几天后剩下的小麦看作1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，(1 3 8-9 4)就相当于(3-1)倍，因此剩下的小麦数量=(1 3 8-9 4)4-(3-1)=2 2 (吨)运出的小麦数量=9 4-2 2 =7 2 (吨)运粮的天数=7 2+9=8 (天)答：8天以后
15、剩下的玉米是小麦的3 倍。6倍比问题【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。数量关系 总量 一个数量=倍数另一个数量X倍数=另一总量【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。例 1 1 0 0 千克油菜籽可以榨油4 0 千克，现在有油菜籽3 7 0 0 千克，可以榨油多少?解（1）3700千克是100千克的多少倍？3700 100=37（倍）（2）可以榨油多少千克？40X37=1480（千克）列成综合算式40X（37004-100）=1480（千克）答:可以榨油1480千克。例 2 今年植
16、树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县 48000名师生共植树多少棵？解（1）48000名是300名的多少倍？48000+300=160（倍）（2）共植树多少棵？400X160=64000（棵）列成综合算式 400X（480004-300）=64000（棵）答：全县48000名师生共植树64000棵。例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4 亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？解（1）800亩是4 亩的几倍？8004-4=200（倍）（2）800 亩收入多少元?11111X200=2222200（元）（
17、3）16000 亩是 800 亩的几倍?160004-800=20（倍）（4）16000 亩收入多少元？2222200X20=44444000（元）答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。7 相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间=总路程+（甲速+乙速）总路程=（甲速+乙速）X相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1南京到上海的水路长3 9 2 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行2 8 千米，从上海开
18、出的船每小时行2 1 千米，经过几小时两船相遇？解 3 9 2+（2 8+2 1）=8 （小时）答：经过8小时两船相遇。例 2小李和小刘在周长为4 0 0 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5 米，小刘每秒钟跑3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为4 0 0 X 2相 遇 时 间=（4 0 0 X 2）4-（5 +3）=1 0 0 （秒）答：二人从出发到第二次相遇需1 0 0 秒时间。例 3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行1 5 千米，乙每小时行1 3 千米，两人在距中点3 千米处相遇，
19、求两地的距离。解“两人在距中点3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3 千米，乙距中点3 千米，就是说甲比乙多走的路程是（3 X 2）千米,因此，相遇时间=(3 X 2)4-(1 5-1 3)=3 (小时)两地距离=（1 5+1 3）X 3 =8 4 （千米）答：两地距离是8 4千米。8追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。数量关系 追及时间=追及路程+（
20、快速一慢速）追 及 路 程=（快速一慢速）又追及时间【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公工I o例1好马每天走1 2 0千米，劣马每天走7 5千米，劣马先走1 2天，好马几天能追上劣马？解（1）劣马先走1 2天能走多少千米？7 5 X 1 2=9 0 0 （千米）（2）好马几天追上劣马？9 0 0 4-（1 2 0-7 5）=2 0 （天）列成综合算式 7 5 X 1 2 4-（1 2 0-7 5）=9 0 0 4-4 5=2 0 （天）答：好 马2 0天能追上劣马。例2小明和小亮在2 0 0米环形跑道上跑步，小明跑一圈用4 0秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。
21、小明第一次追上小亮时跑了 5 0 0米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即2 0 0米，此时小亮跑了（5 0 0-2 0 0）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑5 0 0米所用的时间。又知小明跑2 0 0 米用4 0 秒，则跑5 0 0 米 用 4 0 X （5 0 0+2 0 0）1秒,所以小亮的速度是（5 0 0-2 0 0）4-4 0 X （5 0 0 4-2 0 0）=3 0 0 4-1 0 0 =3 （米）答：小亮的速度是每秒3 米。例 3我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午1 6 点开始从甲地以每小时1 0 千米的速度逃跑，解放军在晚
22、上2 2 点接到命令，以每小时3 0 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距6 0 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（2 2 1 6）小时，这段时间敌人逃跑的路程是 1 0 X （2 2-1 6）千米，甲乙两地相距6 0 千米。由此推知追 及 时 间=1 0 X （2 2-1 6）+6 0 1 4-（3 0-1 0）=1 2 0 4-2 0=6 （小时）答：解放军在6小时后可以追上敌人。例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行4 8 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行4 0 千米，两车在距两站中点1 6 千米处相遇，求甲乙两站的距离。解这道
23、题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货 车（1 6 X 2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为1 6 X 2 4-（4 8-4 0）=4 （小时）所以两站间的距离为（4 8 +4 0）X 4 =3 5 2 （千米）列成综合算式（4 8 +4 0）X 1 6 X 2+（4 8-4 0）=8 8 X 4 =3 5 2 （千米）答：甲乙两站的距离是3 5 2 千米。例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解 要求距离，速度已
24、知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时 间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180X2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90-60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为180X24-（90-60）=12（分钟）家离学校的距离为90X12-180=900（米）答：家离学校有900米远。例 6 孙亮打算上课前5 分钟到学校，他以每小时4 千米的速度从家步行去学校，当他走了 1千米时，发现手表慢了 10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解手表慢了 10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走
25、下去，就要迟到（10 5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10一5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9 分钟，由此可知，行 1千米，跑步比步行少用 9-（10-5）分钟。所 以 步 行 1千米所用时间为19 9-（10-5）=0.25（小时）=15（分钟）跑步1千米所用时间为15-9一 （10-5）=11（分钟）跑步速度为每小时1 11/60=5.5（千米）答：孙亮跑步速度为每小时5.5 千米。9 植树问题【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。数量关系 线形植树棵数=距离 棵距+1环形植
26、树 棵数=距离+棵距方形植树棵数=距离 棵距一4三角形植树棵数=距离+棵距-3面积植树 棵数=面积+（棵距X行距）【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例 1 一条河堤136米，每隔2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 136+2+1=68+1=69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。例 2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？解 4004-4=100（棵）答：一共能栽100棵白杨树。例 3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8 米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？解 220X 4-8-4=1104=106
27、（个）答：一共可以安装106个照明灯。例4给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？解 964-（0.6X 0.4）=964-0.24=400（块）答：至少需要400块地板石专。例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？解（1）桥的一边有多少个电杆？5004-50+1=11（个）（2）桥的两边有多少个电杆？11X2=22（个）（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22X2=44（盏）答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。1 0年龄问题【含义】这类问题是根据
28、题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。解题思路和方法 可以 利 用“差倍问题”的解题思路和方法。两个数的差的（几 倍 一 倍=较 小 的 数例1爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解 354-5=7（倍）（35+1）4-（5+1）=6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍,明年爸爸的年龄是亮亮的6 倍。例 2母亲今年3 7 岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4 倍？解
29、（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？3 7-7 =3 0 （岁）（2）几年后母亲的年龄是女儿的4 倍？3 0 4-（4-1）-7 =3 （年）列成综合算式（3 7 7）4-（4-1）-7 =3 （年）答：3 年后母亲的年龄是女儿的4 倍。例 3 3 年前父子的年龄和是49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4 倍，父子今年各多少岁？解今年父子的年龄和应该比3 年前增加（3 X 2）岁，今年二人的年龄和为49+3 X 2 =5 5 （岁）把今年儿子年龄作为1 倍量，则今年父子年龄和相当于（4+1）倍，因此,今年儿子年龄为5 5 4-（4+1）=1 1 （岁）今年父亲年龄为0 X 4=4 4 （岁）答：今
30、年父亲年龄是44岁，儿子年龄是1 1 岁。例 4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4 岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将6 1 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少?（可用方程解）解这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：过去某一年今 年将来某一年甲口岁岁6 1 岁乙4 岁口岁岁表中两个“口”表示同一个数，两个表示同一个数。因为两个人的年龄差总相等：口一4=4一 口=6 1 4,也就是4,6 1成等差数列，所以，6 1应该比4大3个年龄差，因 此 二 人 年 龄 差 为（6 1 4）4-3=1 9 （岁）甲今年的岁数为=6 1 1 9=42 （
31、岁）乙今年的岁数为口=42 -1 9=2 3 （岁）答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是2 3岁。1 1行船问题【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。数量关系（顺水速度+逆水速度）+2 =船速（顺水速度一逆水速度）4-2 =水速顺水速=船速X 2一 逆水速=逆水速+水速X 2逆水速=船速X 2一 顺水速=顺水速一水速X 2【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1 一只船顺水行3 2 0千米需用8
32、小时，水流速度为每小时1 5千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解 由 条 件 知，顺水速=船 速+水 速=3 2 0+8,而水速为每小时1 5千米，所以，船速为每小时3 2 0+8 1 5=2 5 （千米）船的逆水速为2 5-1 5=1 0 （千米）船逆水行这段路程的时间为3 2 0+1 0 =3 2 （小时）答：这只船逆水行这段路程需用3 2小时。例2甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？解 由 题 意 得 甲船速+水速=360+10=36甲船速一水速=360+18=20可 见（3620）相当于水速的2倍，所以，水速为每
33、小时（36 20）4-2=8（千米）又因为，乙船速一水速=36015,所以，乙船速为360+15+8=32（千米）乙船顺水速为32+8=40（千米）所以，乙船顺水航行360千米需要36040=9（小时）答：乙船返回原地需要9小时。例3 架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？解这道题可以按照流水问题来解答。（1）两城相距多少千米？（5 7 6-2 4）X3=1656（千米）（2）顺风飞回需要多少小时?16564-（576+24）=2.76（小时）列成综合算式（5 7 6-2 4）X 3 4-（576+24）=2.
34、76（小时）答：飞机顺风飞回需要2.76小时。1 2列车问题【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。数量关系 火车过桥：过 桥 时 间=（车长+桥长）车速火车追及：追 及 时 间=（甲车长+乙车长+距离）1 （甲车速一乙车速）火车相遇：相 遇 时 间=（甲车长+乙车长+距离）1 （甲车速+乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一座大桥长2 40 0 米，一列火车以每分钟9 0 0 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3 分钟。这列火车长多少米？解 火车3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车3 分钟行多少
35、米？9 0 0 X 3 =2 7 0 0 （米）（2）这列火车长多少米？2 7 0 0-2 40 0 =3 0 0 （米）列成综合算式9 0 0 X 3-2 40 0=3 0 0 （米）答：这列火车长3 0 0 米。例 2 列长2 0 0 米的火车以每秒8 米的速度通过一座大桥，用了 2分 5 秒钟时间，求大桥的长度是多少米？解 火车过桥所用的时间是2 分 5 秒=1 2 5 秒，所走的路程是（8 X 1 2 5）米，这段路程就是（2 0 0 米+桥长），所以，桥长为8 X 1 2 5-2 0 0=8 0 0 （米）答：大桥的长度是8 0 0 米。例 3 列长2 2 5 米的慢车以每秒1 7
36、米的速度行驶，一列长1 40 米的快车以每秒2 2 米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解从追上到追过，快车比慢车要多行（2 2 5+1 40）米，而快车比慢车每秒多 行（2 2 1 7）米，因此，所求的时间为(2 2 5+1 40)4-(2 2-1 7)=7 3 (秒)答：需 要7 3秒。例4 一列长1 5 0米的列车以每秒2 2米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？解如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。1 5 0 4-（2 2+3）=6 （秒）答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。例5 一列火车穿越
37、一条长2 0 0 0米的隧道用了 8 8秒，以同样的速度通过一条 长1 2 5 0米的大桥用了 5 8秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？解车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（8 8 5 8）秒的时间内行驶了（2 0 0 0 1 2 5 0）米的路程,因此，火车的车速为每秒（2 0 0 0-1 2 5 0）4-（8 8-5 8）=2 5 （米）进而可知，车长和桥长的和为（2 5 X 5 8）米，因此，车 长 为2 5 X 5 8-1 2 5 0=2 0 0 （米）答：这列火车的车速是每秒2 5米，车身长2 0 0米。1 3时钟问题【含义】就是
38、研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为6 0度等。时钟问题可与追及问题相类比。数量关系 分针的速度是时针的1 2倍，二者的速度差为1 1/1 2。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】变 通 为“追及问题”后可以直接利用公式。例 1从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？解钟面的一周分为6 0 格，分针每分钟走一格，每小时走6 0 格；时针每小时走5 格，每分钟走5/6 0=1/1 2 格。每 分 钟 分 针 比 时 针 多 走=1 1/1 2格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距2 0 格。所以分针追上时针的时间
39、为2 0 4-（1-1/1 2）-2 2 （分）答：再经过2 2 分钟时针正好与分针重合。例 2四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解 钟面上有6 0 格，它的1/4 是 1 5 格，因而两针成直角的时候相差1 5 格（包括分针在时针的前或后1 5 格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5 X 4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5 X 4 1 5）格,如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5 X 4+1 5）格。再根据 1 分钟分针比时针多走（1 1/1 2）格就可以求出二针成直角的时间。（5 X 4-1 5）4-（1-1/1 2）%6 （分
40、）（5 X 4 +1 5）4-（1-1/1 2）弋 38 （分）答：4点0 6 分及4点38 分时两针成直角。例 3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解六点整的时候，分针在时针后（5 X 6）格,分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。（5 X 6）4-（1-1/1 2）%33（分）答：6点33分的时候分针与时针重合。1 4 盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一 次 不 足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参 加 分 配 总
41、人 数=（盈+亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参 加 分 配 总 人 数=（大盈一小盈）分配差参 加 分 配 总 人 数=（大亏一小亏）分配差【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个 就 余1 1个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解 按 照“参加分配的总人数=（盈+亏）分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（1 1 +1）+（4-3）=1 2 （人）（2）有多少个苹果？3X 1 2 +1 1=4 7 （个）答：有小朋友1 2人，有4 7个苹果。例2修一条公路，如果每天修2 6 0米，修完全长就得延长8天；如果每
42、天修30 0米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？解题中原定完成任务的天数，就 相 当 于“参加分配的总人数”，按 照“参加 分 配 的 总 人 数=（大亏一小亏）分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为（2 6 0 X 8-30 0 X 4）4-（30 0-2 6 0）=2 2 （天）这条路全长为30 0义（2 2+4）=7 8 0 0 （米）答：这条路全长7 8 0 0米。例3学校组织春游，如果每辆车坐4 0人，就余下30人；如果每辆车坐4 5人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？解本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有（1）有多少车？（30 0）4-（4 5-4
43、 0）=6 （辆）（2）有多少人？4 0 X 6+30=2 7 0 （人）答：有6辆车，有2 7 0人。1 5工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只 提 出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量=工作效率X工作时间工作时间=工作量 工作效率工作时间=总
44、工作量+（甲工作效率+乙工作效率）【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。例1 一项工程，甲队单独做需要1 0天完成，乙队单独做需要1 5天完成，现在两队合作，需要几天完成?解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需1 0 天完成，那么每天完成这项工程的1/1 0；乙队单独做需1 5 天完成,每天完成这项工程的1/1 5；两队合做，每天可以完成这项工程的(1/1 0+1/1 5)。由此可以列出算式：1+(1/1 0+1/1 5)=1 4-1/6=6 (天)答：两队合做需要6 天完成。例 2 批零件，甲独做6 小时
45、完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24 个，求这批零件共有多少个？解设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6 1/8),二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要 1+(1/6+1/8)小时,这个时间内，甲比乙多做24 个零件,所以(1)每小时甲比乙多做多少零件？24 4-1 4-(1/6+1/8)=7(个)(2)这批零件共有多少个？7-(1/6-1/8)=1 68 (个)答：这批零件共有1 68 个。解 二 上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6：1/8=4 ：3由此可知
46、，甲比乙多完成总工作量的4-3 /4+3 =1/7所以，这批零件共有24 4-1/7=1 68 (个)例 3 一件工作，甲独做1 2小时完成，乙独做1 0小时完成，丙独做1 5 小时完成。现在甲先做2 小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为1 2、1 0、和 1 5 的某一公倍数，例如最小公倍数60,则甲乙丙三人的工作效率分别是604-1 2=5 604-1 0=6 604-1 5=4因此余下的工作量由乙丙合做还需要(60-5 X2)4-(6+4)=5 (小时)答:还需要5 小时才能
47、完成。也可以用(1-1/1 2*2)/(1/1 0+1/1 5)例 4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4 个进水管时，需要5 小时才能注满水池；当打开2 个进水管时，需要1 5 小时才能注满水池；现在要用2 小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？解 注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要 2 小时内将水池注满，即要使2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件
48、推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为1,则4个进水管5小时注水量为(1 X4 X5),2 个进水管1 5 小时注水量为(1 X2X1 5),从而可知每小时的排水量为(1 X2X1 5-1 X4 X5)+(1 5 5)=1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为1 X4 X5 1 X5=1 5又因为在2 小时内，每个进水管的注水量为1 X2,所以，2小时内注满一池水至少需要多少个进水管？(15+1X2)+(1X2)=8.5心9(个)答：至少需要9个进水管。1 6正反比例问题【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比
49、值一定(即商一定)，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把 分 率(倍数)转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例1修一条公路，已修
50、的是未修的1/3,再 修300米后，已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?解 由 条 件 知，公路总长不变。原已修长度：总长度=1：(1+3)=1：4=3：12现已修长度：总长度=1：(1+2)=1：3=4：12比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米 相 当 于(4-3)份,从而知公路总长为3 004-(4-3)X 1 2=3 600(米)答：这条公路总长3 600米。例 2 张哈做4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，9 1 分钟可以做几道应用题？解做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设 9 1 分钟可以做X 应用题则有28 ：4=9 1 ：X28 X=9 1