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1、2021 年全国初中数学联合竞赛（四川初赛）试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分 42 分，每小题 7 分)1、B2、C3、D4、A5、B6、C二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）7、38、409、1910、4三、（本大题满分 20 分）11、已知关于 x 的一元二次方程 x2kx50 与 x25xk0 只有一个公共的实根
2、，求关于 x 的方程|x2kx|k|所有的实根之和。解：设 x2kx50 与 x25xk0 的公共实根为，则2k50，25k0，（5 分）两式相减，得(k5)(k5)0（10 分）因为当 k5 时两方程相同，有两个公共的实根，不合题意所以 k5因此1从而求得 k6（15 分）所以方程|x2kx|k|即为|x26x|6，x26x6 或 x26x6显然两方程都有实根，因此方程所有实根之和是12（20 分）四、（本大题满分 25 分）12、如图，已知圆 O 的直径 AB 与 CD 互相垂直，E 为 OB 中点，CE 的延长线交圆 O 于 G，AG 交 CD 于 F，求DFFC的值。解：设 OEa，则
3、 OAOBOCOD2a，CE5a，因为COECGD，所以COCGOEGDCECD，所以 CGCO CDCE245aaa8 55a，所以 EGCGCE3 55a。（10 分）过 G 作 GHAB 于点 H，则COEGHE，所以COGHOEHECEGE53，所以 GH65a，HE35a，于是 AH185a。由AOFAHG，得OFHGAOAH59，所以 OF23a。（20 分）从而 DF43a，FC83a。所以DFFC12。（25 分）法法 2：连结 BG、AC。设 OEBEa，则 OAOBOCOD2a，CE5a，因为ACEGBE，所以ACGBAEGECEBE，又 AC22a，所以 BG85a。（1
4、0 分）在 RtABG 中，由勾股定理可得AG22ABBG228165aa725a。又因为AOFAGB，所以AOAGOFBG，所以 OFAO BGAG825725aaa23a。（20 分）从而 DF43a，FC83a。所以DFFC12。（25 分）法法 3：设 OEa，则 OAOBOCOD2a，CE5a，因为COECGD，所以COCGOEGDCECD，所以 DGOE CDCE45aaa4 55a，CGCO CDCE245aaa8 55a，（10 分）过 G 作 GHCD 于点 H，则DGHDCG，所以DGDCDHDGGHCG，可得 DH2DGDC21654aa45a，GHDG CGDC2325
5、4aa85a，由AOFGHF，得AOGHOFFH，所以OFFH54，又 OFFH2a45a65a，所以 OF23a。（20 分）从而 DF43a，FC83a。所以DFFC12。（25 分）五、（本大题满分 25 分）13、已知 a、b、c、d、x、y、z、w 是互不相等的非零实数，且222222a ba yb x222222b cb zc y222222c dc wd zabcdxyzw求22ax22by22cz22dw的值解：将每个已知分式分子分母交换，得222222a yb xa b222222b zc yb c222222c wd zc dxyzwabcd（）（5 分）即22xa22yb22yb22zc22zc22wd，易得xazc，ybwd（10 分）设zcu，wdv，当xau，ybv 或xau，ybv 时，则由22zc22wdxyzwabcd得，u2v2u2v2显然不可能成立，舍去。（15 分）当xau，ybv 或xau，ybv 时，则由22zc22wdxyzwabcd得，u2v2u2v2（20 分）而22ax22by22cz22dw2(21u21v)22222uvu v2 （25 分）