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1、20212021 中考数学压轴题精选一中考数学压轴题精选一1、2021 北京在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=41mx245mxm23m2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。1求点B的坐标；2 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD当P点运动时，C点、D点也随之运动 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；假设P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒 2
2、个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。假设P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。2、2021 北京问题：ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究DBC与ABC度数的比值。请你完成以下探究过程：先将图形特殊化，得出猜测，再对一般情况进行分析并加以证明。(1)当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为；
3、当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为；可得到DBC与ABC度数的比值为；(2)当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜测并加以证明。3、2021 郴州如图1，抛物线42yxx与y轴交于点A，E0，b为y轴上一动点，过点E的直线yxb与抛物线交于点B、C.1求点A的坐标；2)当b=0 时如图2，ABE与ACE的面积大小关系如何？当4b 时，上述关系还成立吗，为什么？3是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形，假设存在，求出b；假设不存在，说明理由.4、2021 滨州如图，四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是0，
4、3，以点 C 为顶点的抛物线cbxaxy2恰好经过x轴上 A、B 两xyO11ACB点1求 A、B、C 三点的坐标；2求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；3假设将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过 D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?5、2021 长沙：二次函数22yaxbx的图象经过点1，0，一次函数图象经过原点和点1，b，其中0ab且a、b为实数1求一次函数的表达式用含b的式子表示；2试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；3设2中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求|x1x2|的范围6、2021 长沙如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴
5、上，8 2OAcm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动设运动时间为t秒1用t的式子表示OPQ的面积S；2求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；3当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线214yxbxc经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两局部的面积之比7、2021 常德如图 9，抛物线212yxbxcx 与轴交于点 A-4，0和 B1，0两点，与 y 轴交于 C 点.1求
6、此抛物线的解析式；2设 E 是线段 AB 上的动点，作 EFAC 交 BC 于 F，连接 CE，当CEF的面积是BEF面积的 2 倍时，求 E 点的坐标；3假设 P 为抛物线上 A、C 两点间的一个动点，过 P 作 y 轴的平行线，交 AC 于 Q，当 P点运动到什么位置时，线段 PQ 的值最大，并求此时 P 点的坐标.8、2021 常德如图 10，假设四边形 ABCD、四边形 CFED 都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE.BAPxCQOy第 26 题图ABOCyx1当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 11 的位置时，AG=CE 是否成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理
7、由.2当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 12 的位置时，延长 CE 交 AG 于 H，交 AD 于 M.求证：AGCH;当 AD=4，DG=2时，求 CH 的长。9、2021 丹东如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形点M的位置改变时，DMN也随之整体移动 1如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；2如图，当点M在BC上时，其它条件不变，1的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?假设成立，请利用图证明；假设不成立，请说明理由；3假设点
8、M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断1的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?假设成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由图图图第 25 题图ABCDEFABCDEF图 10GAD图 11FEBCGADBCEFHM图 1210、2021 丹东如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为8，0，点N的坐标为6，41 画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标 点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C；2求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；3截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BE
9、FG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?假设存在，请求出这个最小值；假设不存在，请说明理由；4在3的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，假设存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；假设不存在，说明理由参考答案参考答案1、2021 北京在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=41mx245mxm23m2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。1求点B的坐标；2 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD当P点运
10、动时，C点、D点也随之运动 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；假设P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒 2 个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。假设P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，第 26 题图求此刻t的值。解：1拋物线y=41mx245mxm23m2 经过原点，m23
11、m2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m1，m=2，拋物线的解析式为y=41x225x，点B(2，n)在拋物线y=41x225x上，n=4，B点的坐标为(2，4)。2 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，那么E点的坐标为a，2a，根据题意作等腰直角三角形PCD，如图 1。可求得点C的坐标为3a，2a，由C点在拋物线上，得 2a=41(3a)2253a，即49a2211a=0，解得a1=922，a2=0舍去，OP=922。依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k
12、2xb，由点A(10，0)，点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y=21x5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图 2 所示。可证DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。PQ=DP=4t，t4t2t=10，t=710。第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图 3 所示。可证PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。OQ=102t，F点在直线AB上，FQ=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t，t2t2t=10，t=2。第三种情况
13、：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图 4 所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。t2t=10，t=310。综上，符合题意的t值分别为710，2，310。2、2021 北京问题：ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究DBC与ABC度数的比值。请你完成以下探究过程：先将图形特殊化，得出猜测，再对一般情况进行分析并加以证明。(1)当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为；可得到DBC与ABC度数的比值为；xyO11OABCDEPyx图 1ExOABC
14、yPMQNFD图 2xyOAM(C)B(E)DPQFN图 3图 4yxBOQ(P)NCDMEF(2)当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜测并加以证明。解：(1)相等；15；1：3。(2)猜测：DBC与ABC度数的比值与(1)中结论相同。证明：如图 2，作KCA=BAC，过B点作BK/AC交CK于点K，连结DK。BAC90，四边形ABKC是等腰梯形，CK=AB，DC=DA，DCA=DAC，KCA=BAC，KCD=3，KCDBAD，2=4，KD=BD，KD=BD=BA=KC。BK/AC，ACB=6，KCA=2ACB，5=ACB，5=6，KC
15、=KB，KD=BD=KB，KBD=60，ACB=6=601，BAC=2ACB=12021，1(601)(12021)2=180，2=21，DBC与ABC度数的比值为 1：3。3、2021 郴州如图1，抛物线42yxx与y轴交于点A，E0，b为y轴上一动点，过点E的直线yxb与抛物线交于点B、C.1求点A的坐标；2)当b=0 时如图2，ABE与ACE的面积大小关系如何？当4b 时，上述关系还成立吗，为什么？3是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形，假设存在，求出b；假设不存在，说明理由.解：1将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为0，42当b0 时，直线为yx，由24yxyx
16、x解得1122xy，2222xy 所以B、C的坐标分别为2，2，2，214 242ABES，14 242ACES 所以ABEACESS利用同底等高说明面积相等亦可当4b 时，仍有ABEACESS成立.理由如下由24yxbyxx，解得1144xbybb，2244xbybb 所以B、C的坐标分别为4b，4b+b，4b，4b+b，ACBBACDK123456图 2第 26 题图1图2作BFy轴，CGy轴，垂足分别为F、G，那么4BFCGb，而ABE和ACE是同底的两个三角形，所以ABEACESS.3存在这样的b.因为90BFCG,BEFCEG,BFECGE 所以BEFCEGVV，所以BECE，即E为
17、BC的中点所以当OE=CE时，OBC为直角三角形，因为44GEbbbbGC所以24CEb，而OEb所以24bb，解得124,2bb，所以当b4 或2 时，OBC为直角三角形.4、2021 滨州如图，四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是0，3，以点 C 为顶点的抛物线cbxaxy2恰好经过x轴上 A、B 两点1求 A、B、C 三点的坐标；2求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；3假设将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过 D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?解：解：由抛物线的对称性可知 AM=BM在 RtAOD 和 RtBMC 中，OD=MC，AD=BC，AODBMC
18、OA=MB=MA设菱形的边长为 2m，在 RtAOD 中，222)2()3(mm，解得 m=1DC=2，OA=1，OB=3A、B、C 三点的坐标分别为1，0、3，0、2，3设抛物线的解析式为 y=ax22+3代入 A 点坐标可得a=3抛物线的解析式为 y=3x22+3设抛物线的解析式为 y=3x一 22+k，代入 D0，3可得 k=53所以平移后的抛物线的解析式为 y=3x一 22+53，平移了 53一3=43个单位5、2021 长沙：二次函数22yaxbx的图象经过点1，0，一次函数图象经过原点和点1，b，其中0ab且a、b为实数1求一次函数的表达式用含b的式子表示；2试说明：这两个函数的图
19、象交于不同的两点；3设2中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求|x1x2|的范围解：1一次函数过原点设一次函数的解析式为y=kx一次函数过1，by=bx2y=ax2+bx2 过1，0即a+b=2由2(2)2ybxyb xbx 得22(2)20axa x224(2)84(1)120aaa方程有两个不相等的实数根方程组有两组不同的解两函数有两个不同的交点3两交点的横坐标x1、x2分别是方程的解122(2)24aaxxaa122x xa2121212()4xxxxx x22248164(1)3aaaa或由求根公式得出。ab0，a+b=22a1令函数24(1)3ya在 1a2 时y随a增大而减小24
20、4(1)312a242(1)32 3a1222 3xx6、2021 长沙如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，8 2OAcm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动设运动时间为t秒1用t的式子表示OPQ的面积S；2求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；3当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线214yxbxc经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两局部
21、的面积之比解：1CQt，OP=2t，CO=8OQ=8tSOPQ212(8)24 222tttt 0t82S四边形OPBQS矩形ABCDSPABSCBQ118 8 28 28(8 22)22tt 322四边形 OPBQ的面积为一个定值，且等于 3223当OPQ与PAB和QPB相似时,QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是QPB90又BQ与AO不平行QPO不可能等于PQB，APB不可能等于PBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQPBQABP，8288 22ttt解得：t4经检验：t4 是方程的解且符合题意从边长关系和速度此时P4 2，0B8 2，8且抛物线214yxbxc经过B、P两点，抛物线
22、是212 284yxx，直线BP是：28yx设Mm,28m、N(m，212 284mm)M在BP上运动4 28 2m2112 284yxx与228yx交于P、B两点且抛物线的顶点是P当4 28 2m时，12yyBAPxCQOy第 26 题图12MNyy21(6 2)24m当6 2m 时，MN有最大值是 2设MN与BQ交于H点那么(6 2,4)M、(6 2,7)HSBHM13 2 22 3 2SBHM：S五边形QOPMH3 2:(32 23 2)3:29当MN取最大值时两局部面积之比是 3：297、2021 常德如图 9，抛物线212yxbxcx 与轴交于点 A-4，0和 B1，0两点，与 y
23、轴交于 C 点.1求此抛物线的解析式；2设 E 是线段 AB 上的动点，作 EFAC 交 BC 于 F，连接 CE，当CEF的面积是BEF面积的 2 倍时，求 E 点的坐标；3假设 P 为抛物线上 A、C 两点间的一个动点，过 P 作 y 轴的平行线，交 AC 于 Q，当 P点运动到什么位置时，线段 PQ 的值最大，并求此时 P 点的坐标.解：1由二次函数212yxbxc与x轴交于(4,0)A、(1,0)B两点可得：221(4)4021102bcbc，解得：322bc，故所求二次函数的解析式为213222yxx2SCEF=2SBEF,1,2BFCF1.3BFBC，EF/AC，B,EFBACBF
24、EBCA ，BEFBAC，1,3BEBFBABC得5,3BE 故E点的坐标为(23,0).3解法一：由抛物线与y轴的交点为C，那么C点的坐标为0，2假设设直线AC的解析式为ykxb，那么有20,04bkb 解得：1,22kb 故直线AC的解析式为122yx假设设P点的坐标为213,222aaa，ABOC图 9yx又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点，那么Q点的坐标为1,2)2aa那么有：2131(2)(2)222PQaaa 2122aa21222a即当2a 时，线段PQ取大值，此时P点的坐标为2，3解法二：延长PQ交x轴于D点，那么PDAB 要使线段PQ最长，那么只须APC的面积取大
25、值时即可.设P点坐标为),00yx，那么有：ACODPCOSAPCADPSSS梯形111()222AD PDPDOCODOA OC 000001112242222x yyyx 0024yx20001322422xxx2004xx22024x即02x 时，APC的面积取大值，此时线段PQ最长，那么P点坐标为2，38、2021 常德如图 10，假设四边形 ABCD、四边形 CFED 都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE.1当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 11 的位置时，AG=CE 是否成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由.2当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 12
26、的位置时，延长 CE 交 AG 于 H，交 AD 于 M.求证：AGCH;当 AD=4，DG=2时，求 CH 的长。解：1AGCE成立四 边 形ABCD、四 边 形DEFG是 正 方 形，,GDDE ADDCGDE 90ADC.GDA 90-ADE EDC.AGD CED.AGCE.2类似1可得AGD CED，12又HMADMC.AHM ADC90.即.AGCHABCDEF图 110GAD图 11FEBCGADBCEFHM图 12BACDEFG12图 12HPM 解法一:过G作GPAD于P,由题意有2sin451GPPD，3AP，那么tan113GPAP.而12，tan2DMDCtan113.
27、43DM，即83AMADDM.在 RtDMC中，22CMCDDM224434 103,而AMHCMD,AHAMDCCM,即8344 103AH,4 105AH.再连接AC，显然有4 2AC，22224 108 104 255CHACAH.所求CH的长为5108.解法二：研究四边形研究四边形 ACDGACDG 的面积的面积，过G作GPAD于P,由题意有2sin451OGPPD，3AP,10AG.而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1，AGDACDACGCGDACDGSSSSS四边形,41+44=10CH+4 1.CH=5108.9、2021 丹东如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边
28、AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形点M的位置改变时，DMN也随之整体移动 1如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；2如图，当点M在BC上时，其它条件不变，1的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?假设成立，请利用图证明；假设不成立，请说明理由；3假设点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断1的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?假设成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由BACDEFG12图 12HPM图图图第 25 题图ABCDEF解：1判断：EN与MF相等 或E
29、N=MF，点F在直线NE上，2成立证明证明：法一法一：连结DE，DFABC是等边三角形，AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点，DE，DF，EF为三角形的中位线DE=DF=EF，FDE=60又MDF+FDN=60，NDE+FDN=60，MDF=NDE在DMF和DNE中，DF=DE，DM=DN，MDF=NDE，DMFDNE MF=NE法二：法二：延长EN，那么EN过点F ABC是等边三角形，AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点，EF=DF=BFBDM+MDF=60，FDN+MDF=60，BDM=FDN又DM=DN，ABM=DFN=60，DBMDFNBM=FNBF=EF，MF=ENNCABF
30、MDENCABFMDE法三法三：连结DF，NF ABC是等边三角形，AC=BC=AC又D，E，F是三边的中点，DF为三角形的中位线，DF=21AC=21AB=DB又BDM+MDF=60，NDF+MDF=60，BDM=FDN 在DBM和DFN中，DF=DB，DM=DN，BDM=NDF，DBMDFNB=DFN=60又DEF是ABC各边中点所构成的三角形，DFE=60可得点N在EF上，MF=EN3画出图形连出线段NE，MF与EN相等的结论仍然成立或MF=NE成立10、2021 丹东如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为8，0，点N的坐标为6，41 画出直角梯形OMNH绕点O旋转 1
31、80的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标 点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C；2求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；3截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?假设存在，请求出这个最小值；假设不存在，请说明理由；4在3的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，假设存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；假设不存在，说明理由解：1 利用中心对称性质，画出梯形OABCA，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A0，4，B6，4，C8，02设过A，B，C三点的抛物线关系式为2yaxbxc，抛物线过点A0，4，4c 那么抛物线关系式为24yaxbx将B6，4，C8，0两点坐标代入关系式，得3664464840abab，解得1432ab，所求抛物线关系式为：213442yxx 第 26 题图OMNHACEFDB8(6，4)xy3OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8mAGFEOFBECEFGBABCOSSSSS四边形梯形21OAAB+OC12AFAG12OEOF12CEOA2882mm 0m42(4)12Sm 当4m 时，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值4当22 6m 时，GB=GF，当2m 时，BE=BG