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1、-1-20142014 高考理科数学必考点解题方法秘籍：求异思维高考理科数学必考点解题方法秘籍：求异思维所谓求异思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面探索答案的思维形式求异思维又叫发散思维，它具有不落俗套、标新立异、不拘一格的特点因此，用求异思维解题有利于培养思维的多向性、灵活性和独特性在平面解析几何中，培养学生的求异思维能力，要注意以下几个方面(一)变换思维方向解证解析几何习题，常常会出现“思路自然、运算麻烦”的局面，甚至会到“山穷水尽疑无路”的地步这时，若能变换思维角度，多方位思考，多渠道辟径，就会超过思维障碍，呈现“柳暗花明又一村”的美景例 1已知点 A(1，-1)、B(7，2)，以 A
2、 为圆心、8 为半径作A，以 B 为圆心，6 为半径作B，求这两个圆外公切线交点 P 的坐标【分析】如图 14解本题的自然思路是，先求出两条外公切线的方程，再解方程求出交点坐标但这种解法是入手容易出手难，由于运算量过大，使思维陷入困境如果能换一个角度思考，联想到公切径之比)，那么便可用线段定比分点公式，使问题获得巧解【解】如图 14，设 M、N 是一条外公切线与两个圆的切点，连结 AB、BP，则 A、B、P 三点共线，再连结 AM、BN，则 AMMP、BNMPBNAM设点 P 的坐标为(x，y)，则由线段定比分点公式，得-2-故点 P 的坐标为(25，11)例 2如图 15，直线 y=kxb
3、与圆 x2+y2=1 交于 B、C 两点，与双曲线 x2-y2=1 交于 A、D两点，若 B、C 恰好是线段 AD 的三等分点，求 k 与 b 的值【分析】如图 15，解本题的自然思路是，由|AB|=|BC|=|CD|入手，先计算出|AB|、|BC|、|CD|(即用 k、b 表示)，然后解方程组求得 k、b 的值但由于线段 AB、CD 的端点不在同一曲线上，从而上述解法运算相当麻烦如果变换思考角度，由|AB|=|CD|出发，可得线段 BC 与AD 的中点重合，进而可用韦达定理，列出 k、b 的一个关系式，再【解】如图 15，把 y=kx+b 代入 x2-y2=1 中，整理，得(1+k2)x2+
4、2bkx+b2-1=0从而由韦达定理，得把 y=kx+b 代入 x2-y2=1 中，整理，得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0|AB|=|CD|，AD 与 BC 的中点重点解之，得 k=0 或 b=0当 k=0 时，方程化为 x2=1-b2，-3-(二)一题多解在解析几何中，进行一题多解训练是培养求异思维能力的一种极好形式例 3已知直线 l 过坐标原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上，若点 A(-1，0)和点 B(0，8)关于 l 的对称点都在 C 上，求直线 l 和抛物线 C 的方程(1994 年全国高考理科试题)【分析 1】设直线 l 的方程为 y=kx，抛物线
5、 C 的方程为 y2=2px(p0)，先求出 A、B 关于l 对称的点 A、B的坐标(用 k 表示)，再代入抛物线 C 的方程中，可得 k、p 的方程组，最后解方程组即可【解法 1】如图 16由已知可设抛物线 C 的方程为y2=2px(p0)由于直线 l 不与两坐标轴重合，故可设 l 的方程为ykx(k0)设 A、B分别是 A、B 关于 l 的对称点，则由 AAl 可得 直线 AA的方程为将、联立，解得线段 AA的中点 M 的坐标为分别把 A、B的坐标代入抛物线 C 的方程中，得-4-由，消去 p，整理，得k2-k-1=0又由知k0【分析 2】如图 17，设直线 l 的倾斜角为，则 l 的斜率
6、为用的三角函数表示点 A、B的坐标，再把这些坐标用 k 表示，以下同解法 1l 的斜率为 k|OA|=|OA|=1，-5-|OB|=|OB|=8，xOA=-(-2)，由三角函数的定义，得 A的坐标为xA=|OA|cosxOA=-cos2，yA=|OA|sinxOA=-sin2以下同解法 1，从略又|OB|=8，|OA|=1，从而此题可设极坐标方程去解【解法 3】如图 17，以 O 为极点，Ox 为极轴建立极坐标系，把 x=cos代入方程 y2=2px(p0)中，得抛物线的坐标方程为由已知可设点 B的极坐标为(8，)、A的极坐标为(1，-6-直线 l 平分BOB，=8，OAOB列出 p、t1、t
7、2 的方程组，进而去求解|OA|=|OA|=1，|OB|=|OB|=8，又由 OAOB，得 kOAkOB=-1，-7-【分析 5】如图 17，由于|OA|=1，|OB|=8，A【解 法 5】如 图 1 7 把 直 角 坐 标 系 视 为 复 平 面，设 点 A 得点 B对应的复数为(x1y1i)8i=-8y1+8x1i点 A、B的坐标为(x1，y1)、(-8y1，8x1)把它们分别代入抛物线 C 的方程 y2=2px(p0)中，得即 kOA=-2，又|OA|=1，-8-以下同解法 4，从略【分析 6】本题也可以把抛物线的参数方程与复数法结合起来去解数乘法的几何意义，得由复数相等的条件，得消去
8、p，解得 t2=2从而 B的坐标为(8p，4p)线段 BB的中点 C 的坐标为(4p，2p4)，【分析 7】在解法 5 中，利用复数乘法的几何意义，发现了 A、B坐标之间的关系式，从而获得简解如图 18，点 B与点 A的坐标关系也可用平面几何法得到【解法 7】如图 18，作 ACOx 于 C，BDOx 于 D设 A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)BODAOC=90，RtACORtODB-9-又|OA|1，|OB|=8，|OD|8|AC|，|BD|8|OC|于是 x2=-8y1，y2=8x1以下同解法 5，从略【解说】本例给出了七种解法解法 1 是本题的一般解法，它的关键是求点 A
9、、B 关于 l的对称点的坐标解法 2 是三角法，它法 3 是极坐标法，巧妙利用了 A、B的特殊位置 解法 4 是利用抛物线的参数方程去解的 解法 5 和解法 7 是从寻找 A、B的坐标关系式入手的，分别用复数法和相似形法获解解法6 把参数法与复数法结合起来，体现了思维的灵活性 总之，本例运用了解析几何的多种方法，是对学生进行求异思维训练的极好例题(三)逆向思维在人们的思维活动中，如果把 AB 的思维过程看作正向思维的话，那么就把与之相反的思维过程 BA 叫做逆向思维在平常的学习中，人们习惯于正向思维，而不善长逆向思维因此，为了培养思维的多向性和灵活性，就必须加强逆向思维训练在解题遇到困难时，若
10、能灵活地进行逆向思维，往往出奇制胜，获得巧解在解析几何中，培养学生逆向思维能力，要注意逆用解析式的几何意义、逆用曲线与方程的概念和逆用圆锥曲线的定义例 4设 a、b 是两个实数，A=(x，y)|x=n，y=nab，nZ，B=(x，y)|x=m，y=3(m25)，mZ，C=(x，y)|x2y2144是平面 xOy 内的点焦，讨论是否存在 a 和 b，使得：(1)AB；(2)(a，b)C(1985 年全国高考理科试题)【解】由已知可得，a、b 是否存在等价于混合组以上二式的几何意义是：如图 19，在平面 aOb 中，nab=3(n25)是直线，a2b2144是圆面(即圆 x2y2=144 的边界及
11、其内部)因此，这个混合组有解的充要条件是直线 nab=3(n2+5)与圆 a2b2=144 有公共点，即圆心 O(0，0)到这条直线的距离 d12即(n25)216(n2+1)，n4-6n2+90，即(n2-3)20又(n2-3)20，n2=3这与 n 是整数矛盾-10-故满足题中两个条件的实数 a、b 不存在【解说】这种解法中，把混合组翻译成几何语言(直线和圆面是否有公共点)就是解析法的逆向思维教学实践表明，学生普遍认为这种解法难想，其实，“难就难在逆向思维”，普遍认为这种解法巧妙，其实，“巧就巧在逆向思维”习题 121已知圆 C1：(x1)2(y-2)2=4 与圆 C2：(x-3)2+(y
12、-4)2=25，求它们外公切线交点 P 的坐标2已知直线 l 过点 P(1，4)，求它在两坐标轴正向截距之和最小时的方程(要求至少 5 种解法)(要求至少 4 种证法)(1992 年全国高考理科试题)4长度为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线 y2=x 上移动，记线段 AB 的中点为 M，求点 M 到 y 轴的最短距离，并求此时点 M 的坐标(要求至少 4 种解法)(1987 年全国高考理科试题)5已知 2a3b=5，求证：直线 ax+by-5=0 必过一个定点7已知三个集合 M=(x，y)|y2=x1，S=(x，y)|4x22x-2y5=0，P=(x，y)|y=axm，问是否存在正整数 a、m 使得(MS)P=？(其中表示空集)习题 12 答案或提示-11-3证法 1：设 A、B 的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，|PA|=r，则圆 P 的方程为(x-x0)2y2=r2，与椭圆方程联立，消去 y，得把 A、B 的坐标代入椭圆方程中，后把所-12-)、(2，2)，点 P 的坐标为(t，0)，则 t=x0c由|PA|=|PB|，可得-13-5逆用点在直线的概念，得定点为(2，3)6在直角坐标系中，由已知两个等式可知，直线 axby=c 过点重合的条件，可证得结论也无实数解故 a=1，m=2