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1、2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：递推数列1 一阶递推数列我们首先回顾递推数列的定义，参见文献1。定义1 对于任意，由递推关系确定的数列成为递推数列（或递归数列），为阶数。若是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列。本节通过分析几种一阶递推数列类型，给出其的求通项公式方法，并分析两种常见方法的区别和联系。1.1 一阶线性递推数列本节主要讨论下面两种一阶线性递推数列。等差数列、等比数列2作为最基本的一阶线性递推数列由于篇幅所限，在这里不再赘述。1.1.1 类 这类递推数列的解题方法与等差数列求通项公式的方法一样，都是叠加法，下面就以高考题为例来说明其解题方法和过程。 例（
2、2007北京高考理第15题） 数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式.解（I）由题知：，因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于，所以 又，故当时，上式也成立，所以1.1.2 类 此类递推数列是高考最常见的一种，可以用两种方法进行解答，下面我们先来解出他的通项公式，然后通过典型例题运用两种方法来解析。 定理1.1 已知递推数列， 则通项公式为 .证明：由 得 从而故而数列是首项为、公比为的等比数列，由等比数列通项公式可证。1.1.2.1 构造法 构造法是利用初等代数的思想，通过待定系数法构造一个新的等比数列并求出系数，从而
3、利用等比数列的性质求出原来递推数列的通项公式。 例 （2007全国高考理第22题） 已知数列中，求的通项公式解：由题知： 即所以数列是首项为，公比为的等比数列故，即的通项公式为1.1.2.2 特征方程法（不动点法） 特征方程法是构造法的简化，省去了繁琐的推导计算过程，在节约宝贵的考试时间的同时，也有效避免了在繁琐计算中出现错误的可能性。 定理1.23 已知其中，称方程为数列的特征方程，设特征方程的根为（称为不动点），则（1）当时，数列为常数列，；（2）当时，数列是公比为的等比数列， 通项公式为： 证明：由构造法知：存在等比数列，又比较系数得，即是方程的根解得，代入可证：（1）当时，数列为常数列
4、，；（2）当时，数列是公比为的等比数列.故得通项公式为： .1.2 一阶非线性递推数列 一阶非线性递推数列主要有三种类型，下面我们通过典型题例对这三种类型进行解法说明。1.2.1 类例 已知，求的通项公式.解：由于故.1.2.2 且类有大概三种形式：。例 已知,求的通项公式.解： 构造等比数列，使得 .对应系数相等可解得：.故.例4 已知,求的通项公式.解： 构造等比数列，使得 对应系数相等可解得：.故.例 已知,求的通项公式.解： 两边同除得 令可得 由构造法可得 代入得.1.2.3 类例 已知，求的通项公式.解：显然，两边同去对数得令，则转化为一阶线性递推数列.解得.2 二阶递推数列 著名
5、的斐波那契数列5就是二阶递推数列，常见的二阶递推数列往往也是线性递推数列，非线性的可以参照一阶递推数列转化思想转化为二阶线性递推数列，从而求出通项公式。本节分别用构造法和特征方程法求解斐波那契数列，分析两种方法的区别和联系。 斐波那契数列。2.1 构造法 二阶线性递推数列的构造法往往是构造等比数列，通过等比数列的性质来解答。解 由可构造等比数列，满足对比系数可得.解得或.故约去从而可得 2.2 特征方程法 特征方程法在构造法的基础上省去了待定系数求解的过程，避免了繁琐的计算过程，节约了考生宝贵的考试时间，解答更迅速、更准确。定理2.16 二阶线性递推数列，的特征方程为。证明 见构造法解题过程。
6、 解 的特征方程为，解得.设，又带入可得，解得.故 .2.3 区别和联系 构造法是高考考纲内解答递推数列基本方法，特征方程法是竞赛数学常见方法，通过以上题例我们可以看出，特征方程法的特征方程正是构造法求对应系数计算简化后的结果，与构造法相比，特征方程法更简便、直接，大量减少了计算过程，提高做题效率和准确率。3 分式线性递推数列本节通过分析基本的分式线性递推数列，初步探讨分式递推数列求通项公式的方法，而分式非线性递推数列常出现在全国数学联赛中，方法灵活多变，受篇幅和能力所限，在这里就不再赘述。分式线性递推数列主要分两种类型，对应方法也不一样。3.1 类 这类分式线性递推数列分式的分子不含有常数项
7、，最体方法比较简单，下面就以高考题为例来进行说明。 例（08年陕西卷22题）已知数列的首项， 求其通项公式. 解 显然，两边同去倒数可得.令得是一阶线性递推数列，从而解得.故当时，可利用两边同取倒数的方法化为一阶线性递推数列，进而求出通项公式。3.2 类本节通过两种方法解决Serge lang的Complex Anglysis7一书中的习题来探讨这类分式线性递推数列通项公式求法，分析两种方法区别和联系。已知，求3.2.1 构造法 这类分式线性递推数列的构造法有两种构造方式，下面我们选用一种最常见的方法来进行构造。解：借鉴上一节解题方法，转化为的形式。对比系数得，解得或当时，两边去倒数得从而解得，其中当时，易得结果同上。3.2.2 特征方程法 分式线性递推数列的特征方程法简化了构造法求对应系数过程，并巧妙运用，大大简化了计算过程。 定理2.28 分式线性递推数列的特征方程为。证明 见构造法解题过程。解9 由解得或故， 两式相除得 即数列为首项和公比都是的等比数列.解得，其中从而.4 小结 通过对三大类递推数列详细分析和解题示例，在今后做题中可以快速准确将递推数列归类，从而按照前面介绍过的方法解出其通项公式；通过对构造法和特征方程法的比较，我们可以知道二者都是由待定系数方法得出的结论，针对不同类型我们可以选取最优的方法进行解答，同时也可以用另一种方法对结果进行检查正误。- 8 -