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1、1/15八年级下册八年级下册期末复习三角形的证明期末复习三角形的证明01各个击破各个击破命题点命题点 1全等三角形的性质和判定全等三角形的性质和判定【例 1】(中考)已知ABN 和ACM 位置如图所示，ABAC，ADAE，12.(1)求证：BDCE；(2)求证：MN.【思路点拨】(1)要证 BDCE，可通过转化证ABDACE，根据题意由“SAS”得证；(2)要证MN，可通过转化证ACMABN，由(1)可知CB.因为21，所以CAMBAN.再结合 ABAC，即可根据“ASA”得证【解答】证明：(1)在ABD 和ACE 中，ABAC，12，ADAE，ABDACE(SAS)BDCE.(2)12，1D
2、AE2DAE，即BANCAM.由(1)，得ABDACE，BC.在ACM 和ABN 中，CB，ACAB，CAMBAN，ACMABN(ASA)MN.2/15【方法归纳】证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的三角形全等 当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形1已知ABCDEF，BCEF6 cm，ABC 的面积为 18 cm2，则 EF 边上的高的长是6cm.2(中考)如图，在ABC 中，ABAC，BDCD，DEAB，DFAC，垂足分别为点 E，F.求证：BEDCFD.证明：DEAB，DFAC，BEDCFD90.ABAC
3、，BC.在BED 和CFD 中，BC，BEDCFD，BDCD，BEDCFD(AAS)命题点命题点 2等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定【例 2】(中考)如图，在ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的中线，BEAC 于点 E.求证：CBEBAD.【思路点拨】由 ABAC 想到ABCC，由 AD 是 BC 边上的中线想到等腰三角形“三线合一”的性质，进而得到 ADBC，AD 平分BAC，再结合 BEAC，就可以建立角与角之间的数量关系，使问题得解3/15【解答】证明：方法 1：ABAC，ABC 是等腰三角形AD 是 BC 边上的中线，ADBC，BADCAD.CADC90.BEAC，
4、CBEC90.CBECAD.CBEBAD.方法 2：ABAC，ABCC.又AD 是 BC 边上的中线，ADBC.BADABC90.BEAC，CBEC90.CBEBAD.【方法归纳】本题是一道利用等腰三角形三线合一的性质的证明题，解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”灵活推导各角之间的数量关系3(滨州中考)如图，ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一点，且 ACCDBDBE，A50，则CDE 的度数为(D)A50B51C51.5D52.54已知：如图，在ABC 中，ABC，BCA 的平分线交于点 O，过点 O 作 EFBC 交AB 于点 E，交 AC 于点 F.写出图中相等的线段，
5、并说明理由4/15解：BEOE，CFOF.理由：BO 平分ABC，CO 平分ACB，EBOOBC，FCOOCB.EFBC，EOBOBC，FOCOCB.EBOEOB，FOCFCO.BEOE，CFOF.命题点命题点 3勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理的应用【例 3】如图，在 RtABC 中，C90，ACD 沿 AD 折叠，使得点 C 落在斜边 AB上的点 E 处，已知 AC6，BC8，求线段 AD 的长度【思路点拨】由折叠的性质知 CDDE，ACAE.在 RtBDE 中运用勾股定理求出 CD，进而得出 AD 即可【解答】在 RtABC 中，由勾股定理，得 AB10.由折叠的性质知，AEA
6、C6，DECD，AEDC90，BEABAE1064.在 RtBDE 中，由勾股定理，得DE2BE2BD2，即 CD242(8CD)2，解得 CD3.在 RtACD 中，由勾股定理，得AC2CD2AD2，5/15即 6232AD2，解得 AD3 5.【方法归纳】折叠的问题，一定存在相等的线段或角的等量关系，要充分挖掘由折叠所隐含的数量关系利用勾股定理建立等量关系列方程是一种常用的方法5下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(B)A3，4，4B1，2，3C.3，3，6D3，4，76在寻找马航 MH370 航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标 A，B.接到消息后，一艘舰艇以 16
7、 海里/时的速度离开港口 O(如图所示)向北偏东 40方向航行，另一艘舰艇同时以 12 海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距 30 海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？解：由题意，得OB121.518(海里)，OA161.524(海里)又AB30 海里，182242302，即 OB2OA2AB2，AOB90.DOA40，BOD50.另一艘舰艇的航行方向是北偏西 50.命题点命题点 4线段的垂直平分线的性质与判定线段的垂直平分线的性质与判定【例 4】如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC 的中点为 O，过点 O 作 AC 的垂线分别与 A
8、D，BC 相交于点 E，F，连接 AF.求证：AEAF.6/15【思路点拨】由 ADBC 及 EF 垂直平分 AC，由 AAS 证明AOECOF，得 AEFC.再由 EF 是 AC 的垂直平分线，可以证明 AFFC，即可得 AEAF.【解答】证明：ADBC，EAOFCO，AEOCFO.EFAC，且 O 是 AC 的中点，AOCO，AFCF.在AOE 和COF 中，EAOFCO，AEOCFO，AOCO，AOECOF(AAS)AECF.AEAF.【方法归纳】线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，可以得到等腰三角形，进一步得到角相等数学知识间有很多联系与递进关系很多时候，解决数学题目，只是将
9、条件往前推一步，结论再往深处推一步7(中考)如图，等腰三角形 ABC 的底角为 72，腰 AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于点 E，垂足为 D，连接 BE，则EBC 的度数为 368如图，在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 F.(1)求证：FADFDA；(2)若B50，求CAF 的度数7/15解：(1)证明：EF 是 AD 的垂直平分线，AFDF.FADFDA.(2)AD 平分BAC，BADDAC.FDABADB，FADDACCAF，由(1)知FADFDA，BCAF.B50，CAF50.命题点命题点 5角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定【例
10、 5】(黄冈中考)已知，如图，ABAC，BDCD，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，求证：DEDF.【思路点拨】连接 AD，利用 SSS 得到ABD 与ACD 全等，利用全等三角形对应角相等得到EADFAD，即 AD 为角平分线，再由 DEAB，DFAC，利用角平分线的性质定理即可得证【解答】证明：连接 AD.在ACD 和ABD 中，ACAB，CDBD，ADAD，ACDABD(SSS)8/15EADFAD，即 AD 平分EAF.DEAE，DFAF，DEDF.【方法归纳】本题考查全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的基本性质，构造出基本图形，
11、运用角平分线的性质是解题的关键9(1)填空：如图 1，在 RtABC 中，C90，B45，AD 是ABC 的角平分线，过点 D 作辅助线 DEAB 于点 E，则可以得到 AC，CD，AB 三条线段之间的数量关系为ABACCD；图 1图 2(2)如图 2，若将(1)中条件“在 RtABC 中，C90，B45”改为“在ABC 中，C2B”请问(1)中的结论是否仍然成立？证明你的猜想解：(1)中的结论仍然成立理由：AD 是CAB 的平分线，将CAB 沿 AD 折叠，点 C 落在 AB 边上的 C处ACDACD.ACAC，CDCD，CACD2B.又ACDCDBB，CDBB.CDCB.ABACCBACC
12、D.02整合集训整合集训一、选择题一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)1(中考)如图，在ABC 中，ABADDC，B70，则C 的度数为(A)A35B40C45D509/152如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 CD 上的一点已知PAB 的周长为 14，PA4，则线段 AB 的长度为(A)A6 B5C4D33用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOCBOC 的依据是(A)ASSSBASACAASD角平分线上的点到角两边距离相等4已知直角三角形中，30角所对的直角边长是 2 厘米，则斜边的长是(B)A2 厘米 B4 厘米 C6 厘米 D8 厘米5如图
13、，在ABC 中，B60，ABAC，BC3，则ABC 的周长为(B)A12B9C8D66(中考)如图，在方格纸中，以 AB 为一边作ABP，使之与ABC 全等，从 P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点 P，则点 P 有(C)10/15A1 个 B2 个C3 个 D4 个7如图，在ABC 中，C90，12，CD1.5，BD2.5，则 AC 的长为(C)A5B4C3D28如图，在ABC 中，ABC 和ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EFBC 交 AB于点 E，交 AC 于点 F，过点 O 作 ODAC 于点 D，下列四个结论：EFBECF；BOC9012A；点 O 到ABC 各
14、边的距离相等；设 ODm，AEAFn，则 SAEFmn.其中正确的结论是(A)ABCD二、填空题二、填空题(每小题 4 分，共 24 分)9(中考)写出命题“如果 ab，那么 3a3b”的逆命题如果 3a3b，那么 ab10在ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 的中点，若B50，则DAC 的度数是 4011/1511如果三角形三边长分别为 6 cm，8 cm，10 cm，那么它最短边上的高为 8cm.12如图，在锐角三角形 ABC 中，直线 PL 为 BC 的垂直平分线，射线 BM 为ABC 的平分线，PL 与 BM 相交于 P 点若PBC30，ACP20，则A 的度数为 7013如图，正
15、方体的棱长为 a，沿着共一个顶点的三个正方形的对角线裁截掉一个几何体之后，截面ABC 的面积为32a214已知 RtABC 中，C90，ACBC，直线 m 经过点 C，分别过点 A，B 作直线 m的垂线，垂足分别为点 E，F，若 AE3，AC5，则线段 EF 的长为 1 或 7三、解答题三、解答题(共 52 分)15(8 分)已知：如图，在ABC 中，ABAC，D 为 CA 延长线上一点，DEBC，交线段AB 于点 F.请找出一组相等的线段(ABAC 除外)并加以证明解：ADAF.证明如下：ABAC，BC.DEBC，BEFDEC90.BFED.BFEDFA，DFAD.AFAD.12/1516(
16、8 分)如图：已知等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上的一点，且CECD，DMBC，垂足为点 M，求证：M 是 BE 的中点证明：连接 BD.三角形 ABC 为等边三角形，且 D 是 AC 的中点，DBC12ABC126030，ACB60.CECD，CDEE.ACBCDEE，E30.DBCE30.BDED，BDE 为等腰三角形又DMBC，M 是 BE 的中点17(10 分)如图所示，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90，D为 AB 边上一点(1)求证：ACEBCD；(2)若 AD5，BD12，求 DE 的长解：(1)证明：ACB 和ECD 都是
17、等腰直角三角形，ACBECD90，13/15ECDC，ACBC，ACBACDECDACD.ACEBCD.ACEBCD(SAS)(2)ACEBCD，EACB45，AEBD12.EADEACBAC90.在 RtEAD 中，DE2AE2AD212252169.DE13.18(12 分)如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，交 AB 于点 E.(1)求证：ABD 是等腰三角形；(2)若A40，求DBC 的度数；(3)若 AE6，CBD 的周长为 20，求ABC 的周长解：(1)证明：AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，DBDA.ABD 是等腰三角形(2)
18、ABD 是等腰三角形，A40，ABDA40，ABCC(18040)270.DBCABCABD704030.(3)AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，AE6，AB2AE12，BDAD.CBD 的周长为 20，BDCDBC20.ACBC20.ABC 的周长为 ABACBC122032.14/1519(14 分)已知点 O 到ABC 的两边 AB，AC 所在直线的距离相等，且 OBOC.(1)如图 1，若点 O 在 BC 上，求证：ABAC.(2)如图 2，若点 O 在ABC 部，求证：ABAC.(3)猜想，若点 O 在ABC 的外部，ABAC 成立吗？请说明理由解：(1)证明：过点 O
19、作 ODAB 于点 D，OEAC 于点 E，则 ODOE，ODBOEC90.又OBOC，RtBODRtCOE(HL)BC.ABAC.(2)证明：过点 O 作 ODAB 于点 D，OEAC 于点 E，则 ODOE，ODBOEC90.易证 RtBODRtCOE(HL)DBOECO.OBOC，OBCOCB.ABCACB.ABAC.(3)不一定成立理由：如图 3，过点 O 作 ODAB 于点 D，OEAC 于点 E，则 ODOE，ODBOEC90.易证 RtBODRtCOE(HL)DBOECO.OBOC，OBCOCB.DBCECB.ABCACB.ABAC.如图 4，可知 ABAC.若点 O 在ABC 的外部时，ABAC 不一定成立15/15