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1、等腰三角形等腰三角形一、选择题一、选择题1.（2014广东，第 9 题 3 分）一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，则它的周长为（）A17B15C13D13 或 17考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为 3；（2）当等腰三角形的腰为 7；两种情况讨论，从而得到其周长解答：解：当等腰三角形的腰为 3，底为 7 时，3+37 不能构成三角形；当等腰三角形的腰为 7，底为 3 时，周长为 3+7+7=17故这个等腰三角形的周长是 17故选 A点评：本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论2.（2014广
2、西玉林市、防城港市，第 10 题 3 分）在等腰ABC 中，AB=AC，其周长为 20cm，则 AB 边的取值范围是（）A1cmAB4cmB5cmAB10cmC4cmAB8cmD4cmAB10cm考点：等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系分析：设 AB=AC=x，则 BC=202x，根据三角形的三边关系即可得出结论解答：解：在等腰ABC 中，AB=AC，其周长为 20cm，设 AB=AC=xcm，则 BC=（202x）cm，解得 5cmx10cm故选 B点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键新*课*标*第*一*网3（2014浙江金华，第 8
3、 题 4 分）如图，将 RtABC 绕直角顶点顺时针旋转 90，得到ABC，连结 AA，若1=20，则B 的度数是【】A70B65C60D55【答案】B【解析】4.（2014扬州，第 7 题，3 分）如图，已知AOB=60，点 P 在边 OA 上，OP=12，点 M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则 OM=（）（第 1 题图）A3B4C5D6考点：含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质分析：过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D，在直角三角形 POD 中，利用锐角三角函数定义求出 OD 的长，再由 PM=PN，利用三线合一得到 D 为 MN 中点，根据 MN 求出 MD
4、 的长，由 ODMD 即可求出 OM 的长解答：解：过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D，在 RtOPD 中，cos60=，OP=12，OD=6，PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND=MN=1，OM=ODMD=61=5故选 C点评：此题考查了含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键新*课*标*第*一*网二二.填空题填空题1.（2014广东，第 16 题 4 分）如图，ABC 绕点 A 顺时针旋转 45得到ABC，若BAC=90，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于1考点：旋转的性质分析：根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出
5、 AD=BC=1，AF=FC=AC=1，进而求出阴影部分的面积解答：解：ABC 绕点 A 顺时针旋转 45得到ABC，BAC=90，AB=AC=，BC=2，C=B=CAC=C=45，ADBC，BCAB，AD=BC=1，AF=FC=AC=1，图中阴影部分的面积等于：SAFCSDEC=11（1）2=1故答案为：1点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出 AD，AF，DC的长是解题关键2.（2014珠海，第 10 题 4 分）如图，在等腰 RtOAA1中，OAA1=90，OA=1，以 OA1为直角边作等腰 RtOA1A2，以 OA2为直角边作等腰 RtOA2A3，则 OA4
6、的长度为8考点：等腰直角三角形专题：规律型分析：利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案解答：解：OAA1为等腰直角三角形，OA=1，AA1=OA=1，OA1=OA=；OA1A2为等腰直角三角形，A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；OA2A3为等腰直角三角形，A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；OA3A4为等腰直角三角形，A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8故答案为：8点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键3.（2014广西贺州，第 17 题 3 分）如图，等腰ABC 中，AB=AC，DBC=15，AB 的垂直
7、平分线 MN 交 AC 于点 D，则A 的度数是50考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 AD=BD，根据等边对等角可得A=ABD，然后表示出ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得C=ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可解答：解：MN 是 AB 的垂直平分线，AD=BD，A=ABD，DBC=15，ABC=A+15，xk|b|1AB=AC，C=ABC=A+15，A+A+15+A+15=180，解得A=50故答案为：50点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用A 表示出AB
8、C 的另两个角，然后列出方程是解题的关键4(2014 年天津市，第 17 题 3 分)如图，在 RtABC 中，D，E 为斜边 AB 上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则DCE 的大小为45（度）考点：等腰三角形的性质分析：设DCE=x，ACD=y，则ACE=x+y，BCE=90ACE=90 xy，根据等边对等角得出ACE=AEC=x+y，BDC=BCD=BCE+DCE=90y然后在DCE中，利用三角形内角和定理列出方程 x+（90y）+（x+y）=180，解方程即可求出DCE的大小解答：解：设DCE=x，ACD=y，则ACE=x+y，BCE=90ACE=90 xyAE=AC，ACE=AE
9、C=x+y，BD=BC，BDC=BCD=BCE+DCE=90 xy+x=90y在DCE 中，DCE+CDE+DEC=180，x+（90y）+（x+y）=180，解得 x=45，DCE=45故答案为 45点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键5（2014新疆，第 12 题 5 分）如图，在ABC 中，AB=AC，A=40，点 D 在 AC 上，BD=BC，则ABD 的度数是考点：等腰三角形的性质分析：根据等腰三角形两底角相等求出ABC=C，再求出CBD，然后根据ABD=ABCCBD 代入数据计算即可得解解答：解：AB=AC，A=40，ABC=C=
10、（18040）=70，BD=BC，CBD=180702=40，ABD=ABCCBD=7040=30故答案为：30点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键6（2014 年云南省，第 13 题 3 分）如图，在等腰ABC 中，AB=AC，A=36，BDAC于点 D，则CBD=18考点：等腰三角形的性质分析：根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得DBC 的度数解答：解：AB=AC，A=36，ABC=ACB=72BDAC 于点 D，CBD=9072=18故答案为：18点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用
11、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般7.（2014益阳，第 13 题，4 分）如图，将等边ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB与 AC 重合得ACD，BC 的中点 E 的对应点为 F，则EAF 的度数是60（第 1 题图）考点：旋转的性质；等边三角形的性质分析：根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出EAF 的度数解答：解：将等边ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重合得ACD，BC的中点 E 的对应点为 F，旋转角为 60，E，F 是对应点，则EAF 的度数为：60故答案为：60点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的
12、性质，得出旋转角的度数是解题关键8.（2014泰州，第 15 题，3 分）如图，A、B、C、D 依次为一直线上 4 个点，BC=2，BCE为等边三角形，O 过 A、D、E3 点，且AOD=120设 AB=x，CD=y，则 y 与 x 的函数关系式为y=（x0）（第 2 题图）考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理分析：连接 AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得AED=120，然后求得ABEECD根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出 x 与 y 的关系，从而不难求解解答：解：连接 AE，DE，AOD=120，为 240，AED=120，BCE 为等边三
13、角形，BEC=60；AEB+CED=60；又EAB+AEB=60，EAB=CED，ABE=ECD=120；=，即=，y=（x0）点评：此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际运用能力9.（2014扬州，第 10 题，3 分）若等腰三角形的两条边长分别为 7cm 和 14cm，则它的周长为35cm考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系分析：题目给出等腰三角形有两条边长为 7cm 和 14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形解答：解：14cm 为腰，7cm 为底，此时周长为 14+14+7=35cm；14cm
14、为底，7cm 为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去故其周长是 35cm故答案为 35点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键10.（2014呼和浩特，第 13 题 3 分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36，则该等腰三角形的底角的度数为63或 27考点：等腰三角形的性质专题：分类讨论分析：分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数解答：解：在三角形 ABC 中，设 AB
15、=AC，BDAC 于 D若是锐角三角形，A=9036=54，底角=（18054）2=63；若三角形是钝角三角形，BAC=36+90=126，此时底角=（180126）2=27所以等腰三角形底角的度数是 63或 27点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理三三.解答题解答题1.（2014湘潭，第 25 题）ABC 为等边三角形，边长为 a，DFAB，EFAC，（1）求证：BDFCEF；（2）若 a=4，设 BF=m，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究当 m为何值时 S 取最大值；（3）已知 A
16、、D、F、E 四点共圆，已知 tanEDF=，求此圆直径（第 1 题图）考点：相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）只需找到两组对应角相等即可（2）四边形 ADFE 面积 S 可以看成ADF 与AEF 的面积之和，借助三角函数用 m 表示出 AD、DF、AE、EF 的长，进而可以用含 m 的代数式表示 S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题（3）易知 AF 就是圆的直径，利用圆周角定理将EDF 转化为EAF在AFC 中，知道 tanEAF、C、AC，通过解直角三角形就可求出 AF 长解答：解：（1）DFAB，EFAC，BDF=C
17、EF=90ABC 为等边三角形，B=C=60BDF=CEF，B=C，BDFCEF（2）BDF=90，B=60，sin60=，cos60=BF=m，DF=m，BD=AB=4，AD=4SADF=ADDF=（4）m=m2+m同理：SAEF=AEEF=（4）（4m）=m2+2S=SADF+SAEF=m2+m+2=（m24m8）=（m2）2+3其中 0m40，024，当 m=2 时，S 取最大值，最大值为 3S 与 m 之间的函数关系为：S（m2）2+3（其中 0m4）当 m=2 时，S 取到最大值，最大值为 3（3）如图 2，A、D、F、E 四点共圆，EDF=EAFADF=AEF=90，AF 是此圆的
18、直径tanEDF=，tanEAF=C=60，=tan60=设 EC=x，则 EF=x，EA=2xAC=a，2x+x=Ax=EF=，AE=AEF=90，AF=此圆直径长为点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键2.（2014益阳，第 20 题，10 分）如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 y=a（x2）2+k 经过点 A、B，并与 X 轴交于另一点 C，其顶点为 P（1）求 a，k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点
19、 Q，使ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求 Q 点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M、N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长（第 2 题图）考点：二次函数综合题分析：（1）先求出直线 y=3x+3 与 x 轴交点 A，与 y 轴交点 B 的坐标，再将 A、B 两点坐标代入 y=a（x2）2+k，得到关于 a，k 的二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设 Q 点的坐标为（2，m），对称轴 x=2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线x=2 于点 E 在 RtAQF 与 RtBQE 中，用勾股定理分别表示出 AQ2=AF2+QF2=
20、1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，由 AQ=BQ，得到方程 1+m2=4+（3m）2，解方程求出m=2，即可求得 Q 点的坐标；（3）当点 N 在对称轴上时，由 NC 与 AC 不垂直，得出 AC 为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到 M 点与顶点 P（2，1）重合，N 点为点 P 关于 x 轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且 ACMN，则四边形 AMCN 为正方形，在 RtAFN 中根据勾股定理即可求出正方形的边长解答：解：（1）直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，A（1，0），B（0，3）又抛物线抛物线 y=a（x2）
21、2+k 经过点 A（1，0），B（0，3），解得，故 a，k 的值分别为 1，1；（2）设 Q 点的坐标为（2，m），对称轴 x=2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线x=2 于点 E在 RtAQF 中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在 RtBQE 中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，AQ=BQ，1+m2=4+（3m）2，m=2，Q 点的坐标为（2，2）；（3）当点 N 在对称轴上时，NC 与 AC 不垂直，所以 AC 应为正方形的对角线又对称轴 x=2 是 AC 的中垂线，M 点与顶点 P（2，1）重合，N 点为点 P 关于 x 轴的对称点，其坐标为（2，1）此时
22、，MF=NF=AF=CF=1，且 ACMN，四边形 AMCN 为正方形在 RtAFN 中，AN=，即正方形的边长为点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中3.（2014株洲，第 23 题，8 分）如图，PQ 为圆 O 的直径，点 B 在线段 PQ 的延长线上，OQ=QB=1，动点 A 在圆 O 的上半圆运动（含 P、Q 两点），以线段 AB 为边向上作等边三角形 ABC（1）当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，求ABC 的面积（图 1）；（2）设AOB=，当线段 AB、与
23、圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时，求的范围（图 2，直接写出答案）；（3）当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、M 时，如果 AOPM 于点 N，求 CM 的长度（图3）（第 3 题图）考点：圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值分析：（1）连接 OA，如下图 1，根据条件可求出 AB，然后 AC 的高 BH，求出 BH 就可以求出ABC 的面积（2）如下图 2，首先考虑临界位置：当点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时=0；当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，线段 AB 与圆 O 只有一个公
24、共点，此时=60从而定出的范围（3）设 AO 与 PM 的交点为 D，连接 MQ，如下图 3，易证 AOMQ，从而得到PDOPMQ，BMQBAO，又 PO=OQ=BQ，从而可以求出 MQ、OD，进而求出 PD、DM、AM、CM 的值解答：解：（1）连接 OA，过点 B 作 BHAC，垂足为 H，如图 1 所示AB 与O 相切于点 A，OAABOAB=90OQ=QB=1，OA=1AB=ABC 是等边三角形，AC=AB=，CAB=60sinHAB=，HB=ABsinHAB=SABC=ACBH=ABC 的面积为（2）当点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时=0；来源:学
25、.科.网 Z.X.X.K当线段 A1B 所在的直线与圆 O 相切时，如图 2 所示，线段 A1B 与圆 O 只有一个公共点，此时 OA1BA1，OA1=1，OB=2，cosA1OB=A1OB=60当线段 AB 与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时，的范围为：060（3）连接 MQ，如图 3 所示PQ 是O 的直径，PMQ=90OAPM，PDO=90PDO=PMQPDOPMQ=PO=OQ=PQPD=PM，OD=MQ同理：MQ=AO，BM=ABAO=1，MQ=OD=PDO=90，PO=1，OD=，PD=PM=DM=ADM=90，AD=A0OD=，AM=ABC 是等边三角形，AC=AB=BC，C
26、AB=60BM=AB，AM=BMCMABAM=，BM=，AB=AC=CM=CM 的长度为点评：本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强4.（2014泰州，第 23 题，10 分）如图，BD 是ABC 的角平分线，点 E，F 分别在 BC、AB 上，且 DEAB，EFAC（1）求证：BE=AF；（2）若ABC=60，BD=6，求四边形 ADEF 的面积（第 4 题图）考点：平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形分析：（1）由 DEAB，EFAC，
27、可证得四边形 ADEF 是平行四边形，ABD=BDE，又由 BD 是ABC 的角平分线，易得BDE 是等腰三角形，即可证得结论；（2）首先过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H，易求得 DG 与 DE的长，继而求得答案解答：（1）证明：DEAB，EFAC，四边形 ADEF 是平行四边形，ABD=BDE，AF=DE，BD 是ABC 的角平分线，ABD=DBE，DBE=BDE，BE=DE，BE=AF；（2）解：过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H，ABC=60，BD 是ABC 的平分线，ABD=EBD=30，DG=BD=6=3，BE=DE，
28、BH=DH=BD=3，BE=2，DE=BE=2，四边形 ADEF 的面积为：DEDG=6点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用5.（2014泰州，第 26 题，14 分）平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 分别在函数 y1=（x0）与 y2=（x0）的图象上，A、B 的横坐标分别为a、B（第 5 题图）（1）若 ABx 轴，求OAB 的面积；（2）若OAB 是以 AB 为底边的等腰三角形，且 a+b0，求 ab 的值；（3）作边长为 3 的正方形 ACDE，使 ACx 轴，点 D 在点
29、A 的左上方，那么，对大于或等于 4 的任意实数 a，CD 边与函数 y1=（x0）的图象都有交点，请说明理由考点：反比例函数综合题新_课_标第_一_网分析：（1）如图 1，AB 交 y 轴于 P，由于 ABx 轴，根据 k 的几何意义得到 SOAC=2，SOBC=2，所以 SOAB=SOAC+SOBC=4；（2）根据分别函数图象上点的坐标特征得 A、B 的纵坐标分别为、，根据两点间的距离公式得到 OA2=a2+（）2，OB2=b2+（）2，则利用等腰三角形的性质得到 a2+（）2=b2+（）2，变形得到（a+b）（ab）（1）=0，由于 a+b0，a0，b0，所以 1=0，易得 ab=4；（
30、3）由于 a4，AC=3，则可判断直线 CD 在 y 轴的右侧，直线 CD 与函数 y1=（x0）的图象一定有交点，设直线 CD 与函数 y1=（x0）的图象交点为 F，由于 A点坐标为（a，），正方形 ACDE 的边长为 3，则得到 C 点坐标为（a3，），F 点的坐标为（a3，），所以 FC=，然后比较 FC 与 3 的大小，由于 3FC=3（）=，而 a4，所以 3FC0，于是可判断点F 在线段 DC 上解答：解：（1）如图 1，AB 交 y 轴于 P，ABx 轴，SOAC=|4|=2，SOBC=|4|=2，SOAB=SOAC+SOBC=4；（2）A、B 的横坐标分别为 a、b，A、B
31、的纵坐标分别为、，OA2=a2+（）2，OB2=b2+（）2，OAB 是以 AB 为底边的等腰三角形，OA=OB，a2+（）2=b2+（）2，a2b2+（）2（）2=0，a2b2+=0，（a+b）（ab）（1）=0，a+b0，a0，b0，1=0，ab=4；（3）a4，而 AC=3，直线 CD 在 y 轴的右侧，直线 CD 与函数 y1=（x0）的图象一定有交点，设直线 CD 与函数 y1=（x0）的图象交点为 F，如图 2，A 点坐标为（a，），正方形 ACDE 的边长为 3，C 点坐标为（a3，），F 点的坐标为（a3，），FC=，3FC=3（）=，而 a4，3FC0，即 FC3，CD=3，
32、点 F 在线段 DC 上，即对大于或等于 4 的任意实数 a，CD 边与函数 y1=（x0）的图象都有交点点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数比例系数的几何意义、图形与坐标和正方形的性质；会利用求差法对代数式比较大小6.（2014扬州，第 28 题，12 分）已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处（第 6 题图）（1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA求证：OCPPDA；若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长；（2）若图 1 中的点 P
33、 恰好是 CD 边的中点，求OAB 的度数；（3）如图 2，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP动点 M 在线段AP 上（点 M 与点 P、A 不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN 交PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF 的长度考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值专题：综合题；动点型；探究型分析：（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出
34、PC 长以及 AP 与 OP 的关系，然后在 RtPCO 中运用勾股定理求出 OP长，从而求出 AB 长（2）由 DP=DC=AB=AP 及D=90，利用三角函数即可求出DAP 的度数，进而求出OAB 的度数（3）由边相等常常联想到全等，但 BN 与 PM 所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出 EF 是 PB 的一半，只需求出 PB 长就可以求出 EF 长解答：解：（1）如图 1，四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAOAPO=B
35、APO=90APD=90CPO=POCD=C，APD=POCOCPPDAOCP 与PDA 的面积比为 1：4，=PD=2OC，PA=2OP，DA=2CPAD=8，CP=4，BC=8设 OP=x，则 OB=x，CO=8x在 RtPCO 中，C=90，CP=4，OP=x，CO=8x，x2=（8x）2+42解得：x=5AB=AP=2OP=10边 AB 的长为 10（2）如图 1，P 是 CD 边的中点，DP=DCDC=AB，AB=AP，DP=APD=90，sinDAP=DAP=30DAB=90，PAO=BAO，DAP=30，OAB=30OAB 的度数为 30（3）作 MQAN，交 PB 于点 Q，如
36、图 2AP=AB，MQAN，APB=ABP，ABP=MQPAPB=MQPMP=MQMP=MQ，MEPQ，PE=EQ=PQBN=PM，MP=MQ，BN=QMMQAN，QMF=BNF在MFQ 和NFB 中，MFQNFBQF=BFQF=QBEF=EQ+QF=PQ+QB=PB由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90PB=4EF=PB=2在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，长度为 2点评：本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加
37、适当的辅助线是解决最后一个问题的关键7（2014温州，第 20 题 10 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC上，DEAB，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F（1）求F 的度数；（2）若 CD=2，求 DF 的长考点：等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形分析：（1）根据平行线的性质可得EDC=B=60，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解解答：解：（1）ABC 是等边三角形，B=60，DEAB，EDC=B=60，EFDE，DEF=90，F=90EDC=30；（2）ACB=60，
38、EDC=60，EDC 是等边三角形ED=DC=2，DEF=90，F=30，DF=2DE=4点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30 度的锐角所对的直角边等于斜边的一半8.（2014 年广东汕尾，第 19 题 7 分）如图，在 RtABC 中，B=90，分别以点 A、C 为圆心，大于 AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，连接 MN，与 AC、BC 分别交于点 D、E，连接 AE（1）求ADE；（直接写出结果）（2）当 AB=3，AC=5 时，求ABE 的周长分析：（1）根据题意可知 MN 是线段 AC 的垂直平分线，由此可得出结论；（2）先根据勾股定理求出 BC
39、的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论解：（1）由题意可知 MN 是线段 AC 的垂直平分线，ADE=90；（2）在 RtABC 中，B=90，AB=3，AC=5，BC=4，MN 是线段 AC 的垂直平分线，AE=CE，ABE 的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7点评：本题考查的是作图基本作图，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键9.（2014襄阳，第 21 题 6 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与CE 交于点 O，给出下列三个条件：EBO=DCO；BE=CD；OB=OC（1）上述三个条件中，由哪两个条件可
40、以判定ABC 是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定专题：开放型分析：（1）由；两个条件可以判定ABC 是等腰三角形，（2）先求出ABC=ACB，即可证明ABC 是等腰三角形解答：解：（1）；（2）选证明如下，OB=OC，OBC=OCB，EBO=DCO，又ABC=EBO+OBC，ACB=DCO+OCB，ABC=ACB，ABC 是等腰三角形点评：本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求ABC=ACB10.（2014滨州，第 24 题 10 分）如图，已知正方形 ABCD，把边 DC 绕
41、 D 点顺时针旋转 30到 DC处，连接 AC，BC，CC，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程考点：正方形的性质；等腰三角形的判定；旋转的性质分析：利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定与性质判断得出解答：解；图中的等腰三角形有：DCC，DCA，CAB，CBC，理由：四边形 ABCD 是正方形，AB=AD=DC，BAD=ADC=90，DC=DC=DA，DCC，DCA 为等腰三角形，CDC=30，ADC=90，ADC=60，ACD 为等边三角形，CAB=9060=30，CDC=CAB，在DCC和ACB 中，DCCACB（SAS），CC=CB，BCC为等腰三
42、角形点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出ACD 为等边三角形是解题关键11.（2014菏泽，第 16 题 6 分）（1）在ABC 中，AD 平分BAC，BDAD，垂足为 D，过 D 作 DEAC，交 AB 于 E，若 AB=5，求线段 DE 的长考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质分析：（1）求出CAD=BAD=EDA，推出 AE=DE，求出ABD=EDB，推出 BE=DE，求出 AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可解答：解：（1）AD 平分BAC，BAD=CAD，DEAC，CAD=ADE，BAD=ADE，AE=DE，ADDB，ADB=90，EAD+ABD=90，ADE+BDE=ADB=90，ABD=BDE，DE=BE，AB=5，DE=BE=AE=点评：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出 DE=BE=AE