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1、第13章轴对称单元综合测试卷一.选择题（共10小题）.北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布.以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）A.二二一二B.A.二二一二B.1 .已知正五边形的对称轴是过任意一个顶点与该顶点对边中点的直线，如图所示的正五边形的一条对称轴与其边所夹锐角a的度数为（）A. 72B. 54C. 108D. 75.如图，4/3C中，AB+AC=6cm,直线MN为8c的中垂线交4c于点。，连结4。，则.已知A、B两点的坐标分别是（-1, 3）和（1, 3）,则下面四个结论：4、B关于x 轴对称；A、8关于），轴对称：A、8之间的距离为2：A、8之间的距离为6
2、.其 中正确的是（）A.B.C. D. .已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5,则这个等腰三角形的周长为（）A. 15B. 16C. 17D. 18解：6+5+5=16,故选：B.6 .下面是四位同学作ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（）解：作AABC关于直线MN的轴对称图形正确的是B选项，故选：B.7 .3c是等边三角形，D, E,b为各边中点，则图中共有正三角形（）FA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个因为ABC为等边三角形，所以48=8C=4C,又因为。，E,尸为各边中点，所以AE= EB=BF= FC= CD=DA；乂因为。E, DF, EF分别为中位线，所以EF=A
3、C, DF=AB, 222即 DE=EF=DF.所以 AE= EB=BF= FC= CD=DA = DE= EF= FD.所以此图中所有的三角形均为等边三角形.因此应选择5个，故选：D.8 .已知，如图，A8C中，AB=AC,乙4=120 , BC=San, A8的垂直平分线交于点M,交AB于点E, AC的垂直平分线交BC于点N,交AB于点F,则MN的长为（）c解：连接AM、AN、过A作AQ_L8C于。,c：,ZB=ZC=30 , A4的垂直平分线；NMAB=NB=30 , NAMN=NB+NBAM=60 ,同理NANM=60 , AN=CN, AMN是等边三角形，:AM=AN=MN, .BM
4、=MN= CN=BC=6cnh3故选：C.10.如图，在ABC中，AB=AC=2-/3, N8AC=120 ,。为线段BC边上的动点，以8D为边向上作等边BED,连接CE、AD,则AD+CE的最小值为()C. V3+3C. V3+3C. V3+3D. 63图1 BOE是等边三角形,:BD=BE, ZEBD=60 ,:BD=BE, ZEBD=60 ,:BD=BE, ZEBD=60 ,当。在线段3。边上运动时，点在射线BE上运动，且NE3Q=60 ,*：AB=AC, ZBAC=2(r ,N4BO=30 ,/. ZABE= ZABD=30 ,JAB是OE的垂直平分线,AE=A。,：,AD+CE=AE
5、+CE,当E, A, C共线时，4Q+CE的值最小，最小值是CE+AE,如图2,图2图2图2V ZACB=30 , NCBE=60 ,/.ZCEB=90 ,R58E 中，AB=23,2RlZXCBE 中，ZC= 30 ,：,CE=j3BE=3f3,：.AD+CE 的最小值=AE+CE=+3=4j.故选：A.二.填空题(共7小题).停在湖边的一辆小轿车，如图为车牌号在湖面中的倒影，则这辆小轿车的车牌号码是 9458Id寸28解：根据题意，这辆小轿车的车牌号码是叼9458.故答案为：叼9458.11 .如图，。正是ABC的边AC的垂直平分线，垂足为E, DE交BC于点D,连接40, 若 4B=4,
6、 A8O的周长为10,则8。的长为 6 .解：OE是AC的垂直平分线，：.AD=DC,：AB=4, 48/5的周长为 10,4D+BO=10-4=6,：,AD+CD=6,:,BC=6,故答案为：6.12 .已知点P (5,。-1)和点P2 (1,2)关于y轴对称，则的值为 7解：尸(5, a- 1)和点P2 (b- 1, 2)关于)，轴对称一：.a- 1=2, b- 1= -5,解得：4=3, b= - 4,则 a+b=3 - 4= - 1.故答案为：1.13 .如图，ABC中，BO平分NABC, CO平分NACB,过点。且与BC平行的直线MN与AB、AC两边分别交于M、N,若AB=3, AC
7、=4,则4MN的周长为 7 .:.NABO= /OBC, NACO=NOCB,: MN/BC,； NMOB= 4OBC, NNOC= N0C8, ZABO= /MOB, NNOC= ZNCO, :.MB=MO, NO=NC, ：AB=3, AC=4,:.AAMN 的周长=AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=7,故答案为：7.15.如图，用圆规以直角顶点。为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于4 5两点，若 再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧A4交于点C,则AOC的形状为 等边三角解：以直角顶点。为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，8两点,：.O
8、A = OC,以人为圆心，以0A为半径画弧，与弧人8交于点C,*AC=AOr：.OC=AC=OA,AOC的形状是等边三角形，故答案为：等边三角形.16 .如图，已知N4OB=6（），点P在边0A上，OP=16,点、M、N在边（用 上，PM=PN,；NPOO=90 , NAO8=60 , /。尸。=90 - ZAOB=30 , 。尸=16,.。=工。=8, 2 : PM=PN, PDtMN,:.dm=Lmn=2, 2：OM=OD- DM=6,故答案为：6.17 .如图，边长为a的等边ARC中，B尸是4c上中线且B产=4点。在B产上，连接A。,在人。的右侧作等边AOE,连接EE则AAE尸周长的最小
9、值是 工/+方（用含小b的式子表示）.解：如图，A3C, AQE都是等边三角形,：,AB=AC=a, AD=AE, ZBAC= ZDAE= ZAC=60 ,：.ZBAD=ZCAE,8AOgCAE (SAS),； ZABD= ZACE,*：AF=CF=i, BF=b, 2A ZABD= ZCI3D= ZACE=30 , BFAC,:.点E在射线CE上运动(ZACE= 30 ),作点A关于直线。石的对称点M,连接/M交CE于E,此时4E +FE1的值最小,VCA = GW, Z4CA/= 60 ,:.ZVICM是等边三角形，：.AM=AC,VBF1AC,:.FM=BF=b,；?!；” 周长的最小值
10、=A”+P +AE =AF+FM=1a+b.2故答案为：-a+b.2三.解答题（共7小题）18 .如图，4。平分N8AC, E/垂直平分A。交8C的延长线于F,交AZ）于E,连接AF,试判断/B、NCA尸的大小关系，并说明理由.即垂直平分A。,:,FA = FD,：.ZFAD=ZFDA,9：ZFDA=ZB+ZBAD, ZFAD= ZCAF+ZDAC,又.A。平分/BAC,：,ZBAD=ZDAC,：.ZCAF=ZB.19 . (1)在第一象限内，画A3C,使 A4=5, AC=V10, BC=V17： (2)画出A3C关于)，轴对称的图形A181C1.(2)如图,AiBiCi即为所求.如图，在等
11、腰ABC中，4B=AC,点。，E在边8c上，满足BO=AO=AE=CE,且ZDAE=ZADE.求NB4C 的度数. 2解：AB=AC,N8=NC,设 N3=NC=x, : AD=BD,：.ZBAD=ZB=x, ZADE=2x, ：AE=CE,：,ZCAE=ZC=x,； ZAED=2x, ND4E=180 -4x,/ ZDAE=ZADEt 2.*.1800 - 4x=x,解得x=36 , NB=/C=36 , NB4c=1800 - ZB - ZC=108 ,即NB4c的度数为108 .21.如图，RtZA8C 中，ZBAC=90 , ZC= 30 , AO_L8C 于 O, 8万平分NA8C,
12、交 A。于E,交AC于E（1）求证：是等边三角形；（2）求证:BE=EF.证明：（1） VZBAC=90 , ZC=30 ,/. ZABC= 60 ，8/平分/ABC,A ZABF=ZCBF=30 ，*ADA.BC,A Z4DB=90 ,A ZAEF=ZBED=90 - NCB尸=60 ,V ZAFB=90 - NAB/=30 ,/. ZAFE= ZAEF=60 ,.AE/是等边三角形；(2) V ZADB=9(r , NA3C=60 ,：.ZBAE= ZABF=30 ,；AE=BE,由(1)知AAE尸是等边三角形，：,AE=EF,:BE=EF.22.探究与发现：在ABC中，NB=NC,点、D
13、在BC边上(点从C除外)点E在AC 边上，且乙4。石=/人7).（1）如图，若N8=NC=45 ,当/84。=60时，求NCOE的度数；试猜想N/MQ与NCQE的数量关系.（2）深入探究：如图，若NB=NC,但NC#45 ,其他条件不变，试探究N84O与NCOE的数量关系.要求有简单的推理过程.解：（1）NAOC是4B。的外角，.如图，边长均为1个单位的正方形组成的方格纸内有一张笑脸图案，已知左眼的坐标是（-1, 0）,那么右眼关于鼻子所在的水平线对称的点的坐标是（）5 .已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5,则这个等腰三角形的周长为（）A. 15B. 16C. 17D. 18.下面是四位同
14、学作ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（）C. 4个D. 5个C. 4个D. 5个.己知，如图，A8C中，AB=AC, ZA=120 , BC=Scnh A3的垂直平分线交4c于点M,交AB于点E, AC的垂直平分线交BC于点N,交AB于点、F,则MN的长为（） ZADC= ZBAD+ZB= 105ZDAE=ZBAC- ZBAD=30 ,A ZADE= ZAED=15C ，A ZCDE= 105 - 75 =30 ；ZADC是/IB。的外角，NAZ)C=N84D+45 ，,/ ZDAE=90 - /BAD,：.ADE= AED=- (180 -90 +ZBAD) =45 +2NBAD
15、, 22 NCDE= ZAED - ZC=45- 45 ,2即 NBAO=2NCQF；(2)设N84O=x, ZADC= ZBAD+ZB= /B+x,ZDAE=ZBAC- ZBAD=S0a - 2ZC-x, NADE= ZAED= ZC+lx, 2：.ZCDE=ZB+x- (ZC+Aa) =L, 22：.ZBAD=2ZCDE.23.如图，在ABC中，ZABC=ZC, 8。是/A8C的平分线，8E是AC边上的高，垂足为 E,设NA4C=a.(1)探究与发现如图1,若a = 30 ,则NC的度数为 75。，NQBE的度数为 22.5。；如图2,若a = 80 ,则/QBE的度数为 15；试探究N8
16、OC与a的数量关系，并说明理由.(2)拓展与思考如图3, N3OC的平分线。尸交8c于点立 当。/A8时，求NO8E的度数.A(iA图3解：(1)N8AC=3()0 ,A ZA?C=ZC=Ax (1800 -30 ) =75 2.4。是N/WC的平分线，NA8Q=2N43C=37.5 ，2：.NBDE= NA+NA4Q=67.5 ，.BEA-AC,:NBED=90 ,：/DBE=90 - ZBDE=2.5 , NC的度数为75 , ND5E的度数为12.5故答案为:75 , 22.5 ；/44。=80 ,A ZAfiC=ZC=Ax (1800 -80。) =50 2,3。是N/WC的平分线，A
17、 ZCBD=ZABC=25 , 2: /ADB= /C+ NCBD= ， ： BE A. AC,：.ZBED=90 ,；/DBE=900 - ZADB=50 , NDBE的度数为15 ,故答案为：15 ；N8QC与a的数量关系为：ZBDC=45a理由：VZBAC=a ,.*.ZABC=ZC=-1 (180 -a) =90 - Lx, 22BD是NABC的平分线，N4BD=2/ABC=45 -工， 24； ZBDC= NA+/4B/)=45 +3a,4N8OC与a的数量关系为：N8DC=45。+邑； 4(2)由(1)可得：NA3D=45 -2a, NBDC=450 +3a, 44。尸平分NBQC
18、, ZBD/=Azz?DC=22.5 +2, 28V AB DF, NABD=NBDF,A 45 -工= 22.50 +2, 48.*.a=36 ,AZBDC=45 +2=72 , 4,：BELAC,:/BED=90 ,；NDBE=900 - ZBDC= 18 , ND8E的度数为18 .24.如图，ABC中，/B、NC的平分线交于。点，过。点作/8c交A8、AC于E、F.(1)如图，若人8KA C,图中有哪几个等腰三角形？猜想：EF与BE、C尸之间有怎样 的关系，并说明理由.(2)如图，若ABC中NB的平分线BO与三角形外角平分线CO交于。，过。点作 OE8c交A8于E,交AC于F.这时图中
19、还有等腰三角形吗？有哪几个？七户与8E、 CF关系又如何？说明你的理由.A 解：（1） EOB、F。为等腰三角形，EF=理由：VOB. 0C平分NA8C、ZACB,：.ZABO= NOBC, ZACO= ZOCB,EFBC,：,NEOB= ZOBC= /EBO, NFOC= ZOCB即 EO=EB, FO=FC,：.EF=EO+OF=BE+CF,（2） ZSEOB和/。C是等腰三角形，EF=Bi同（1）可证得EOB是等腰三角形：EO/BC, ZFOC= NOCG；0C平分NACG, ZACO= ZFOC= NOCG,：.FO=FC,故FOC是等腰三角形；BE+CF,ZFCO,-FC.理由如下:
20、：.EF=EO- F0=BE - FC.cC. 6cmD. 3cm10 .如图，在ABC中，A8=AC=2近，ZBAC= 120 ,。为线段5C边上的动点，以BO为边向上作等边8EQ,连接CE、AD,则AQ+C石的最小值为（）C. V3+3C. V3+3C. V3+3D. 63二.填空题（共7小题）.停在湖边的一辆小轿车，如图为车牌号在湖面中的倒影，则这辆小轿车的车牌号码.如图，DE是AABC的边AC的垂直平分线，垂足为E, DE交BC于点、D,连接AD,若48=4, A3。的周长为10,则8C的长为 .11 .已知点P （5, 67- 1）和点P2 （b- 1, 2）关于），轴对称，则。+力
21、的值为 .12 .如图，A8C中，平分NABC, CO平分NACB,过点。且与8c平行的直线MN与AB、4C两边分别交于M、N,若AB=3, AC=4,则的周长为.如图，用圆规以直角顶点。为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A, 8两点，若再以A为圆心，以04为半径画弧，与弧A8交于点C,则AOC的形状为.OA.如图，已知NAO8=60，点P在边OA上，OP= 16,点、M、N在边08上，PM=PN,.如图，边长为“的等边ABC中，是AC上中线且8尸=4点。在8尸上，连接AD, 在AD的右侧作等边AOE,连接EF,则aAE/周长的最小值是 (用含a, b 的式子表示).如图，4。平分/84C
22、, E/垂直平分AD交8c的延长线于F,交AO于E,连接AF,试判断N8、NCA”的大小关系，并说明理由. (1)在第一象限内，画A8C,使 A8=5, AC=V10，BC=V17;(2)画出4A8c关于,，轴对称的图形人山Ci.如图，在等腰ABC中，AB=AC,点。，E在边BC上,满足BD=AD=AE=CE,且ZDAE=ZADE.求NB4C 的度数.2.如图，RlABC 中，NB4C=90 , ZC= 30 , A/)_LBC 于 O, BF 平分NABC,交4D于E,交AC于广.(1)求证：尸是等边三角形；(2)求证：BE=EF.22.探究与发现：在ABC中，NB=NC,点、D在BC边上(
23、点8、C除外)点E在AC边上，且 NAOE=NAED.A/ EBD C图2(1)如图，若NB=NC=45 ,当/E47)=60时，求NC。石的度数；试猜想/加。与NCOE的数量关系.(2)深入探究：如图，若N8=NC,但NCW450 ,其他条件不变，试探究NBA。与 NCQE的数量关系.要求有简单的推理过程.23 .如图，在ABC中，ZABC=ZC, 8D是/A8C的平分线，8E是AC边上的高，垂足 为 E,设NZMC=a.(1)探究与发现如图I,若a=30 ,则NC的度数为 , NDNE的度数为 ；如图2,若a = 80 ,则NOBE的度数为；试探究NBOC与a的数量关系，并说明理由.(2)
24、拓展与思考如图3, NBQC的平分线。“交8c于点足 当。?A8时，求NQ8E的度数.24 .如图，ABC中，NB、NC的平分线交于。点，过。点作E广8c交AB、4c于E、 F.(1)如图，若A8WAC,图中有哪几个等腰三角形？猜想：EF与BE、C尸之间有怎样 的关系，并说明理由.(2)如图，若4BC中的平分线3。与三角形外角平分线CO交于。，过。点作OEBC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗？有哪几个？ 与8E、 。产关系又如何？说明你的理由.参考答案一.选择题（共10小题）1.北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布.以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中解.： A.不是轴对
25、称图形，故此选项不合题意;B.是轴对称图形，故此选项符合题意；C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；D.不是轴对称图形，故此选项不合题意.故选：B.2 .已知正五边形的对称轴是过任意一个顶点与该顶点对边中点的直线，如图所示的正五边形的一条对称轴与其边所夹锐角a的度数为（）A. 72B. 54C. 108D. 75解：五边形的内角为，（5-2）X180。nog。, 5A_lxi08 =54 , 2故选：B.3 .如图，A4C中，AB+AC=6cmf直线MN为BC的中垂线交4c于点）,连结B。,则)cm.解：直线MN垂直平分BC,：.DB=DC,/.A3。=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB
26、+AC=6cm.故选：C.4 .已知4、B两点的坐标分别是（-1, 3）和（I, 3）,则下面四个结论：4、8关于x 轴对称；4、B关于），轴对称；4、B之间的距离为2；4、8之间的距离为6.其 中正确的是（）A.B. C. D. 解：YA, 8两点的坐标分别是（1, 3）和（1, 3）,纵坐标不变，横坐标互为相反数， 工4、4两点关于），轴对称，故错误，正确；A、B之间的距离为1 - （ - 1） =2,故正确，错误，故选：D.5 .如图，边长均为1个单位的正方形组成的方格纸内有一张笑脸图案，已知左眼的坐标是 （-1，0）,那么右眼关于鼻子所在的水平线对称的点的坐标是（）解：如图所示：右眼关于鼻子所在的水平线对称的点是夕，夕 的坐标是（I, -2）, 故选：A.