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1、22a b 2ab的变式及应用的变式及应用基本不等式基本不等式不等式a b 2ab是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种常见的变式及应用1、十种变式22a2b2a b2ab；ab ()；22a b2a2b222)(；a b 2(a b)22a2114 2a b；a,b R,则若b 0，则baba b1124111 112若ab 0，则22()abab2 abab上述不等式中等号成立的充要条件均为：a b若a,bR,(a2b2(a b)2若m,n R,a,b R，则（当且仅当an bm时等号成立）mn
2、m n(a b c)3(a b c)（当且仅当a b c时等号成立）2、应用例 1、若a,b,c R，且a bc 2，求证：a 1 b 1 c 1 422221 a 1a即a 1 122bc同理：b 1 1，c 1 122abc因此a 1b 1c 1 111 4222证法一：由变式得1a 1 由于三个不等式中的等号不能同时成立，故a 1 b 1 c 1 4a2b2评论：评论：本解法应用“ab”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是2一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幂与降幂功能，本解法应用的是升幂功1/4能。证法二：由变式得a 1b1 同理：c112(a1b1)2(c11)2(a
3、 b2)2(c2)2(a bc4)a 1 b 1 c 1 112 5故结论成立评论：评论：本解法应用“a b，这个变式的功能是将“根式合并”，将“离2(a2b2)”散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。证法三：由变式得(a 1 b 1 c 1)2 3(a 1b 1 c 1)15故a 1 b 1 c 1 4即得结论评论：评论：由基本不等式a b 2ab易产生2a 2b 2c 2ab2bc2ca，两边222同时加上a b c即得3(a b c)(abc)，于是便有了变式，本变式的功222222222能可以将平方进行“分拆”与“合并”。本解法是将平方进行分拆，即由整体平
4、方转化为个整平方，从而有效的去掉了根号。例 2、设a,b,c R，求证：abbcbccaa b cca证明：由变式得ab 2 a b，bcca 2 b c，2 c a三式相加即得：aba b ca2 2a b”评论：评论：本解法来至于“若b 0，则，这个变式将基本不等式转化成更为b灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。(a 4)2(b 3)2 2，求a b的最大值与最小值例 3、实数a,b满足432/4(a 4)2(b 3)2(a b 7)2解析：结合变式得2 4343因此 14 a b 7 14即7 14 a b 7 143 143 14a 3a 37
5、7当且仅当3(a 4)4(b 3)、再结合条件得及时，分b 44 14b 44 1477别获得最小值与最大值；评评 论论：由a m b n 2mnab n(mn)a m(mn)b mn(ab)再 结 合2222222m,nR即得变式，这可是一个很特别的公式，它沟通了两分式和与由两分式产生的一个特殊分式的关系，它的灵活应用不仅可以为我们解决基本不等式的最值问题，也为我们处理圆锥曲线问题中的最值问题开辟了新的途径。例 4、已知x,y(2,2)，且xy 1，求u 49的最小值4 x29 y2解析：由变式u 49224 x9 y1142222xyxy11(1)(1)49494x2y22()494213
6、12566x x|x|y|22上述两不等式当且仅当、再结合xy 1得或时，23y 6y 633取得最小值；评评 论论：由a b 2ab b(a b)a(a b)4ab结 合a,b R,两 边 同除 以22ab(ab)即得变式，本题两次使用基本不等式，第一次应用变式，第二次应用基本不等式。值得注意的是两次等号成立的条件必须一致，否则，最值是取不到的。3/4例 5、当0 x a时，不等式解：由变式、得11 2恒成立，求a的最大值；22x(a x)111 11214148()222x a x2 xa x2x(a x)2x(a x)a()22上述三个不等式中等号均在同一时刻x a x时成立8由2 2 0 a 2a故a的最大值为2；22评评 论论：由(ab)4ab再 结 合a,bR即 得 变 式 ；又 由a b 2ab得212(a2b2)(ab)2b2a2(ab)2结合ab 0，两边同除a2b2即得变式。本2题的求解，虽然“廖廖几步”，但来之实在不易。首先这两个变式不一定大家都熟悉，其次，三次使用变式进行转化，必须保证等号在同一时刻取得，可谓步履维艰。可以看出：不等式a b 2ab的各种变式及其灵活运用给予我们带来了不仅仅是一个又一个的难题被“攻克”了，而是一次又一次的体验数学的真谛，一次又一次地充分享受数学解题的乐趣。224/4