《高中数学 第3章 不等式 3.1 基本不等式教案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学教案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第3章 不等式 3.1 基本不等式教案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学教案.pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、word3.13.1基本不等式基本不等式学 习 目 标1.了解基本不等式的证明过程及其几何解释(难点)2了解算术平均数，几何平均数的定义(重点)3会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式(重点)1.通过基本不等式的推导，培养逻辑数学素养2通过基本不等式的应用，提升数学运算素养.核 心 素 养1基本不等式阅读教材 P88P89阅读材料以上部分，完成下列问题(1)基本不等式如果a，b都是非负数，那么基本不等式，其中ab2ab，当且仅当ab时，等号成立，称上述不等式为ab2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式(2)基本不等式的文字叙述两个非负数的算术平
2、均数不小于它们的几何平均数(3)意义几何意义：半径不小于半弦数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项思考：(1)不等式ab2ab(a，bR R)成立吗？如何证明？提示成立，证明如下：由ab2ab(ab)0，知ab2ab112(2)设x0，y0，比较 和的大小2222222xyxy11112提示在不等式ab2ab中令a，b 可得 .xyxyxy2基本不等式的证明一般地，对于任意实数a，b，我们有ab2ab，当且仅当ab时，等号成立特别地，如果a0，b0，我们用a，b分别代替a，b可得ab2ab，22-1-/7word通常我们把上式写作ab下面我们来证明一下：要证ab2(a0，b0)ab2
3、ab，只要证ab2ab，要证只要证ab2ab0，要证只要证(ab)0，显然成立，当且仅当ab时中的等号成立1给出下列条件：ab0；ab0；a0，b0；a0，b0，其中能使 2成立的条件有()A1 个C3 个B2 个D4 个2baabC当，均为正数时，2，故只须a、b同号即可，均可以2不等式x44x(x0)中等号成立的条件是_baabbaabx4由ab2ab(a0，b0)中等号成立的条件是ab知x4.3比较大小：在不等式x2322_ 3x.ab中令ax，b 3，可得a2b2x232 3x，当x 3时等号成立a24设常数a0，若 9x a1 对一切正实数x成立，则a的取值 X 围是_x1，由题意知
4、，当x0 时，(x)9xa25x2a219x 6aa1a.x522,利用基本不等式比较大小【例 1】已知 0a1,0b0，b0，所以ab2ab，ab2ab，所以四个数中最大数应为ab或ab.又因为 0a1,0b1，所以ab(ab)aabba(a1)b(b1)0，-2-/722222222word所以ab0，b0，试比较ab2，ab，a2b222，的大小，并说明理由11ab112解因为a0，b0，所以 ；abab即ab21(当且仅当ab时取等号)，1222222abab2a2abbabab又442a2b22，所以ab2a2b222(当且仅当ab时等号成立)，ab(当且仅当ab时等号成立)11用基
5、本不等式2而abab2，故a2b2ab2ab【例 2】已知x，y都是正数求证：(1)2；(2)(xy)(xy)(xy)8x y.证明(1)x，y都是正数，0，0，2223333证明不等式yxxyxyyxyxxyyxyx 2，即 2，xyxy-3-/7word当且仅当xy时，等号成立(2)x，y都是正数，xy2xy0，x2y22x2y20，x3y32x3y30.(xy)(xy)(xy)2xy2x y2x y8x y，即(xy)(xy)(xy)8x y，当且仅当xy时，等号成立利用基本不等式证明不等式的注意点(1)在利用基本不等式证明时，要注意查看基本不等式成立的条件是否满足，若所证明的不等式中含
6、有等号，还要注意等号是否能成立(2)在证明过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项，或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便利用基本不等式2已知a，b，c为正数，且abc1，证明：(1a)(1b)(1c)8abc证明(1a)(1b)(1c)(bc)(ac)(ab)2bc2ac2ab8abc1当且仅当bca 时，等号成立3基本不等式2233332233223333ab2ab探究问题1如何用a，b表示PQ、OP的长度？1ab提示由射影定理可知PQab，而OPAB.222通过OP与PQ的大小关系，你能得出怎样的不等式？提示半径OP圆心O重合的几何解释ab2，显然，它大于或等于PQ，即ab2ab，其中当
7、且仅当点Q与如图所示，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直AB于Q，连结AP，PB你能利用这个图形得出基本不等式ab2ab的几何解释吗？-4-/7word【例 3】已知a，b，c0，求证：abcabbcca.思路探究：利用基本不等式及不等式的性质证明证明a0，b0，c0，ab2ab，bc2bc，ac2ac，2(abc)2(abbcac)，即abcabbcac，当且仅当abc时等号成立1(变结论)例 3 的条件不变，求证：(ab)(bc)(ca)8abc证明因为a0，b0，c0，所以ab2ab0，bc2bc0，ac2ac0，所以(ab)(bc)(ca)2ab2b
8、c2ac8abc，即(ab)(bc)(ca)8abc，当且仅当abc时等号成立1112(变条件)例 3 的条件中添加“1”，试比较abc与 9 的大小关系abc111bcacab111解因为 1，所以abc(abc)3 3abcabcaabbccbacacb32abacbc即abc9.ba 2abca 2accb 32229.bc当且仅当abc3 时等号成立，利用基本不等式证明不等式的技巧(1)证明不等式时要对其进行合理的拆分，如例3 中把abc拆分为ab，bc和ca，以便应用基本不等式得出不等关系(2)证明不等式时要注意应用不等式的性质，如不等式的可加性、可乘性等1在利用基本不等式时要注意等
9、号成立的条件，特别是连续应用基本不等式时要注意各-5-/7word不等式等号成立的条件是否一致2在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理拆分或适当恒等变形，以便于利用基本不等式3由基本不等式变形得到的常见的结论ab2ab(a，bR R)；(1)ab22(2)ab22ab2a2b22(a，bR R)；(3)2(a，b同号)；baab11(4)(ab)4(a，bR R)；ab2(5)abcabbcca(a，b，cR R)221判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，bR R，则22ab2ab.()(2)不等式ab2ab中等号成立的条件是ab()(3)ab2ab成立的条件是a0，b
10、0.()2答案(1)(2)(3)提示(1)错误，当a0，b0 时，不等式才能成立；ab2abab2abab(2)正确；(3)错误，由4222a2b22ab14ab2ab对任意的a，bR R 都成立2(ab)0 可知，42Bxy6Dxy32222222若xy3，则()Axy6Cxy3A A由xy2xy得xy6.3若aR R 时，下列不等式成立的是_111122a a；a(1a)；a2；a22.44aa由基本不等式知，正确，显然正确，只有当a0 时才成立4设a0，b0，c0，且abbcac1，求证abc1.222222222-6-/7word证明ab2ab，bc2bc，ac2ac，相加可得(ab)(bc)(ac)2ab2bc2ac即abcabbcac1.当且仅当abc时等号成立222222222222222-7-/7