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1、学习基本不等式注意三事项基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形灵活，形式多姿多样，基本不等式“abab(a 0,b 0)”沟通了两个正数的“和”2与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题.因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面.【一个技巧】【一个技巧】运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b2 2ab逆用a2b2abab2就是ab，ab(a 0,b 0)逆
2、用就是ab ()等还要注意“添、222拆项”技巧和公式等号成立的条件等【两个变形】【两个变形】22aba b(1)(a,bR),即调和平均数几何平均数算术ab 1122ab2平均数平方平均数；（当且仅当a b时取等号）ab2a2b2(2)ab (a,bR)（当且仅当a b时取等号)22这两个不等式链用处很大，注意掌握它们【三个注意】【三个注意】(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取
3、等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致下面举例析之.一、注意运用不等式链一、注意运用不等式链从某种意义上来讲要学好基本不等式的变形关键是掌握上述两个不等式链.不等式中的常见变形主要围绕这两个基本不等式链进行.例 1已知a 0，b 0，ab 1，求解析：由a 0，b 0，又11的最大值.ab211abab，因为ab 1，所以21，所以1122ab111 4，当且仅当a b 时，等号成立.ab2评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然.二、注意结论成立的条件二、注意结论成立的条件22aba b对来讲，一是要求a,bR，二是和或积或平方和为定ab 1122a
4、b2值，三是 等号 要成 立即a b.即所 谓的 一 正、二定、三相 等；但是 对不 等 式ab2a2b2来讲a,bR均可.ab ()22例 2求函数y x 4x 9的最值.x3636x 4x 9x213x 3613 x 13 2 x 25，当错解：y xxxx且仅当x 值.错因分析：上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式求最值时的条件两个数都应大于零，因而导致错误.因为函数y 36即x 6时取等号.所以当x 6时，y 的最小值为 25，此函数没有最大xx 4x 9的定义域为x(,0)(0,)，所以必须对x的正负加以分类讨论.正解：（1）当x 0时，y 13 x 当且仅当x 3
5、63613 2 x 25，xx36即x 6时取等号.所以当x 6时，ymin 25.x363636 2x 12，0，xxxx（2）当x 0时，x 0，y 13(x)(3636)1312 1.当且仅当x ，即x 6时取等号，所以xx当x 6时，ymax1312 1.评注：在利用基本不等式链时，一定要注意使用范围.例 3已知x 0,y 0，且191，求x y的最小值.xy91，x y 19x y 292 xy 12.yxyxy错解：x 0,y 0，且1x故x ymin12.错因分析：解法中两次连用基本不等式，在x y 2 xy等号成立条件是x y，在199等号成立条件是1 2xxyxy9即y 9x
6、,取等号的条件的不一致，产生错误.y正解：19 y9x19x 0,y 0,1，x y x y10 61016xyxyxy当且仅当19y9x时，上式等号成立，又1，可得x 4,y 12时，x ymin16.xyxy评注：在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.三、要掌握三种拼凑方法三、要掌握三种拼凑方法由基本不等式链可以看出在运用基本不等式解决问题时主要是凑定和、定积或平方和为常数.例 4当0 x 4时，求y x(82x)的最大值.解析：由0 x 4知，82x 0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和
7、不是定值.注意到2x(82x)8为定值，故只需将11 2x82x2)8.y x(82x)凑上一个系数即可.y x(82x)2x(82x)(222当2x 82x，即x 2时取等号，所以当x 2时，y x(82x)的最大值为 8.评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.已知x 15，求函数y 4x2的最大值.4x54解析：因4x5 0，所以首先要“调整”符号，又(4x2)对4x2要进行拆、凑项，1不是常数，所以4x55x,54x 0，4y 4x211 54x3 2314x554x当且仅当54x 1，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，yma
8、x1.54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.y21，求x 1 y2的最大值.例 6、已知x，y为正实数，且x 22a2b2解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab.同时还应化简1 y2211 y21y21y22中前面的系数为，x 1 y x 2.下面将x，分别看2x2222221y2x 1y22223 2，成两个因式：则x 1 y 2x2422222y231y221，即x 当且仅当x 且x，y 时，等号成立.22222所以x 1 y2的最大值为3 2.4评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【链接练习
9、】1、已知0 x 1，求函数y 41的最小值.x1 x解：因为0 x 1，所以1 x 0.所以y 4114(1 x)x 4x(1 x)5 9.x1 xx1 xx1 x当且仅当4(1 x)x2时，即x，上式取“=”，故ymin 9.x1 x32、已知a 0,b 0，3a2b 8，求函数3a 2b的最大值.(3x)2(2y)2aba2b2解：利用不等关系，3a 2b 2 4，222当且仅当3a 2b且3a2b 8，即a 4，b 2时，等号成立.3综上可见，许多貌似繁难的不等式问题，运用基本不等式链，恰当拼凑，可创造性地使用基本不等式，轻松获解.这样既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力.