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1、基本不等式题型大全基本不等式题型大全知识点：知识点：1.几个重要不等式a2b2.a b 2aba，bR,（当且仅当a b时取号）.变形公式：ab 222（基本不等式）（基本不等式）ababa，bR,（当且仅当（当且仅当a b时取到等号）时取到等号）.22 ab变形公式：a b 2 abab.2用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二“一正、二定、三相等”定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）（三个正数的算术几何平均不等式）abc3abc(a、b、cR)（当且仅当3a b c时取到等号）.a2b2c2 abbccaa，bR（当且仅当a b c时取到等号
2、）.a3b3c3 3abc(a 0,b 0,c 0)（当且仅当a b c时取到等号）.baba若ab 0,则2（当仅当 a=b 时取等号）若ab 0,则 2（当仅当 a=b 时abab取等号）bb ma na1，其中(a b 0，m 0，n 0)aa mb nb规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.22当a 0时，x a x2 a2 x a或x a;x a x a a x a.绝对值三角不等式a b ab a b.2.几个著名不等式12aba2b2平均不等式：11ab a，bR,（当且仅当a b时取ab22号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.22(ab)2 aba b22
3、.变形公式：ab;a b 2222幂平均不等式：a12a22.an21(a1a2.an)2.n二维形式的三角不等式：x12 y12x22 y22(x1 x2)2(y1 y2)2(x1,y1,x2,y2R).二维形式的柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(ac bd)2(a,b,c,d R).当且仅当ad bc时，等号成立.三维形式的柯西不等式：(a12 a22 a32)(b12b22b32)(a1b1 a2b2 a3b3)2.一般形式的柯西不等式：(a12a22.an2)(b12b22.bn2)(a1b1 a2b2.anbn)2.向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存
4、在实数k，使 k时，等号成立.排序不等式（排序原理）：设a1 a2.an,b1 b2.bn为两组实数.c1,c2,.,cn是b1,b2,.,bn的任一排列，则a1bna2bn1.anb1 a1c1a2c2.ancn a1b1a2b2.anbn.（反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和），当且仅当a1 a2.an或b1 b2.bn时，反序和等于顺序和.琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1 x2),有f(x1 x2f(x1)f(x2)或22f(x1 x2f(x1)f(x2)则称).222f(x)为凸（或凹）函数.板块一板块一 基本不
5、等式及其变换基本不等式及其变换一、一、“配、凑、拆配、凑、拆”的技巧的技巧基本不等式及变形基本不等式及变形111.1.函数 f(x)xx(x0)值域为_；函数 f(x)xx(xR R)值域为_；12.函数 f(x)x2的值域为_x122.2.若 x1，则 x4的最小值为_x144解：解：xx11415.x1x1当且仅当 x143.3.已知 x0，则 f(x)2xx 的最大值为_解：x0，x0，44f(x)2xx2xx.4，即 x3 时等号成立答案：答案：5x144x(x)2 44，当且仅当x，即 x2 时等号成立x4f(x)2xx242，f(x)的最大值为2.31.已知x 51,求函数y 4x
6、 2的最大值.44x 5答案：12.求f(x)123x(x 0)的最值,并求取最值时x的值.x答案：略3.（三星）a,b为实常数,求y (xa)2(xb)2的最小值.解：（1）方法一：方法二：4(1)函数 f(x)x(1x)(0 x1)的值域为_；1(2)函数 f(x)x(12x)0 x2的值域为_x1x21，解：(1)0 x0,x(1x)241f(x)值域为0，4.1(2)0 x0.112xx(12x)22x(12x)21f(x)值域为0，8.8.8.已知 0 x0，则函数 y的最小值为_t答案2t24t11解：解：t0，yttt4242，且在 t1 时取等号13.13.当 x0 时，则 f
7、(x)2x的最大值为_2x1212，则的最小值为_ 42a2017a20196解：解：x0，f(x)2xx2121 21，xx21当且仅当 xx，即 x1 时取等号14.14.(1)求函数 f(x)1x(x3)的最小值；x3(x3)的最小值；(2)求函数 f(x)x23x1x3解：解：(1)x3，x30.f(x)1(x3)32x31x3x335.当且仅当1x3，即 x4 时取等号，x3f(x)的最小值是 5.(2)令 x3t，则 xt3，且 t0.f(x)t323tt311tt321tt35.1当且仅当 tt，即 t1 时取等号，此时 x4，当 x4 时，f(x)有最小值为 5.15.15.设
8、 x1，求函数 yx解：解：x1，x10.yx446x152x1x1x1459，x146 的最小值；x1当且仅当 x14，即 x1 时，取等号x17当 x1 时，函数 y 的最小值是 9.4.4.当 x0 时，则 f(x)2x的最大值为_2x12x22 1，x21x1 2x解：(1)x0，f(x)1当且仅当 xx，即 x1 时取等号5.5.函数 yx22x1(x1)的最小值是_解：x1，x10.yx22x1x22x2x2x1x1x22x12x1x12332x1x13x12x12x1322 32.x13x1，即 x1 3时，取等号当且仅当 x1答案：2 328平方平均数的应用平方平均数的应用8.
9、（一星）已知x,yR且x2 y21,求x y的最大值.aba2b2解：使用不等式变形即可，最大值2.2211.(二星)设a 0,b 0,a b 1,求 2a 12b1的最大值.答案：2 27（三星）设a,b 0,ab 5,则a 1b3的最大值为 _.解：因为a,b 0,a b 5,所以a1b39x y由不等式2x2 y2可知，2a1b3a1b33 2，222所以a 1b3的最大值为3 2.13.（四星）已知实数a，b c满足a b c 0，a2 b2 c21，则a的最大值是 _解：b c 2bc，即2b cb c 2bc b c，b c222222222b c，由a b c 0，得22bc a
10、，由a b c 1，得1 a b c 222222b c2266a22，a2，a，2333故a的最大值为639.（三星）已知k R，点Pa,b是直线x y 2k与圆x2 y2 k22k 3的公共点，则ab的最大值为（）BA15B9C1D9531.（二星）若x 0,y 0，则x yx y的最小值为_.2215.求函数y x2(15x)(0 x)的最值.54答案：6756.设为锐角,求y sincos2的最大值.答案：2 39二、附条件求最值：二、附条件求最值：“1”“1”的代换的代换115 5：已知正数 a，b 满足 a2b1，则ab的最小值是_11a2ba2b2ba解：解：abab3ab321
11、236.36.已知 x0，y0，且 2xy1，则xy的最小值是_1212解解因为xy(2xy)xyy4xy 4x114xy42xy8，等号当且仅当 y2，x4时成立1137.37.已知 x0，y0，且 2xy1，则xy的最小值为_；解解x0，y0，且 2xy1，112xy2xyxyxyy2x3xy32 2.y2x当且仅当xy时，取等号9138.38.已知 x0，y0，且xy1，求 xy 的最小值91解：解：xy1，102b aab32 2.9yx91xy(xy)xy10 xy1029y xxy16.9yx91当且仅当xy且xy1，即 x12，y4 时取等号当 x12，y4 时，xy 有最小值为
12、 16.11639.39.已知 x，y 为正实数，且xy1，求 xy 的最小值116解：解：xy1，16xy116xy(xy)xy17yx17216x yyx25.16xy116当且仅当yx且xy1 时，等号成立x5，y20 时，xy 有最小值 25.141.1.已知 a0，b0，ab2，则 yab的最小值是_ab解：解：ab2，21.1414ababab252ab2b2a5222a bb2a2ab9当且仅当，即b2a时，等号成立.2b2a149故 yab的最小值为2.1140.40.若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是()2428A.5B.5C5D6113解解x0，y
13、0，由 x3y5xy 得5yx1.1133x4y5(3x4y)yx12y13x5y49x1313x12y1313x 12y55 yx 552yx5(当且仅当 x2y 时取等号)，3x4y 的最小值为 5.1941.41.正数 x，y 满足xy1.(1)求 xy 的最小值；(2)求 x2y 的最小值19解：解：(1)由 1xy2小值为 36.2y9x19(2)由题意可得 x2y(x2y)xy19xy1922y9x当xy，即 9x22y2时取等号，故 x2y 的最小值为 196 2.9.（二星）已知x,yR,且2x8y xy 0,求x y的最小值.1 919 得 xy36，当且仅当x yxy，即
14、y9x18 时取等号，故 xy 的最2y 9xxy196 2，当且仅答案：18a2b27.(三星)设0 x 1,a,b为常数,求f(x)的最小值.x1 x答案：(ab)2xy2.（二星）若直线1a 0,b 0过点(1,1),则ab的最小值等于()abA.2B.3C.412D.5解：因为直线过点(1,1),所以1111baba1，所以a b (a b)()11 2,abababab因为a 0,b 0，所以2baba 2 2 4,当且仅当“a=b=2”时等号成立.abab14.（二星）若log43a 4b log2ab，则a b的最小值是（）DA6 2 31 12511.（三星）设a 0,b 0,
15、ab 1,求证:ab.ab4B7 2 3C6 4 3D7 4 3x1810，求实数x的最大值.1.（四星）已知x 2y 0，且满足2yx2y答案：2,181.已知x,y都是正数，且x y 1，则x2y211.（三星）设x,y是正实数，且x y 1，则的最小值是_.x2y 14419的最小值为_.x2y 14131121.（三星）已知ab,a,b(0,1)，则的最小值是_.41a1b20（四星）函数fx的最小值为_。11（x y）（）4，x，yR的应用。的应用。备注：不等式备注：不等式xylog2x1，若fx1 f2x21（其中x1、x2均大于 2），则fx1x2log2x114三、双勾函数与基
16、本不等式三、双勾函数与基本不等式12.已知函数f(x)x,求：21 x(1)f(x)在0,)上的最大值；(2)f(x)在2,)上的最大值.12答案：（1）0，；（2）0，2513.求函数y 5答案：2x25x 42的最小值.x2a12.已知a 0,求函数y 的最小值.2x a答案：15a1a9.（二星）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F 76000vv218v 20l如果不限定车型，l 6.05，则最大车流量为辆/小时；如果限定车型
17、，l 5，则最大车流量比中的最大车流量增加辆/小时解：1900；100.1.（二星）若正实数a,b满足2ab16ab，则1.（三星）若不等式3x2 y2 mx(x y)，对于x,yR恒成立，则实数m的取值范围是_.2ab1的最大值为_.2ab16板块二板块二 基本不等式的应用基本不等式的应用一、综合求最值一、综合求最值24.24.若正数 x，y 满足 x3y5xy，求 xy 的最小值解：解：x0，y0，则 5xyx3y2x 3y，1612xy25，当且仅当 x3y 时取等号12xy 的最小值为25.2.已知a 0,b 0且3ab ab1,求ab的最小值.答案：1，+5.5.若正实数 x，y 满
18、足 2xy6xy，则 xy 的最小值是_解：解：由 x0，y0,2xy6xy，得xy2 2xy6(当且仅当 2xy 时，取“”)，即(xy)22 2 xy60，(xy3 2)(xy 2)0.又 xy0，xy3 2，即 xy18.xy 的最小值为 18.26.26.已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是()911A3B4C.2D.2解：解：依题意，得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)2即 x2y4.x12y1，x2，当且仅当即时等号成立x2y2xy8，y1x2y 的最小值是 4.27.27.若 x，y(0，)，x2yxy30.(1)求 xy 的取值范围；(2)求 xy 的
19、取值范围解：解：由 x2yxy30，(2x)y30 x，30 x则 2x0，y0,0 x30.2x17x12y16，x230 x(1)xyx2x22x32x6464x26432x2643418，当且仅当 x6 时取等号，x2xx2因此 xy 的取值范围是(0,1830 x32(2)xyxx12xx2x4 22，32x238 23，当且仅当时，等号成立，又 xyx2x2y4 2132330，因此 xy 的取值范围是8 23,30)x234.34.若正数 a，b 满足 abab3，求 ab 及 ab 的取值范围解：法一：解：法一：由 abab32 ab3，即 ab2 ab30.即(ab3)(ab1
20、)0.ab0，ab11.故 ab30，ab9.当且仅当 ab3 时取等号abab2.又 ab2，abab32当且仅当 ab3 时取等号即(ab)24ab 120，18()(ab6)(ab2)0.ab20，有 ab60，即 ab6.ab 的取值范围是6，)法二：由 abab3，则 ba3a1.aba4a44a4a15a1a1a1a1459，a12当且仅当 ab3 时取等号ab 的取值范围是9，)由 abab3，得 ba3a1a3a14a1，abaa1(a1)4a122(4a126，a1)当且仅当 ab3 时取等号ab 的取值范围是6，)3.设x,yR,若2x5y 20,求lg xlg y的最大值
21、.答案：15.（三星）已知 a 1,且algb42,求log2(ab)的最小值.答案：log210192520.20.已知 x0，y0，lg xlg y1，则 zxy的最小值为_解：解：由已知条件 lg xlg y1，可得 xy10.25则xy21025故xymin2，当且仅当 2y5x 时取等号 又 xy10，即 x2，xy2，y5 时等号成立21.21.已知 log2alog2b1，则 3a9b的最小值为_解：解：由 log2alog2b1 得 log2(ab)1，即 ab2，3a9b3a32b23a2b2(当且仅当 3a32b，即 a2b 时取等号)又a2b2 2ab4(当且仅当 a2b
22、 时取等号)，3a9b23218.即当 a2b 时，3a9b有最小值 18.1122.22.设 x，yR R，a1，b1，若 axby3，ab2 3，则xy的最大值为()A23B.2C11D.211解：解：由 axby3，得：xloga3，ylogb3，由 a1，b1 知 x0，y0，xylog3alog3bab21，当且仅当 ab 3时“”成立，log3ablog3211则xy的最大值为 1.22.（三星）已知a 0,b 0,ab 8,则当a的值为时,log2alog22b取得最大值.log2alog22b1122log 2ab解：log2alog22b2log216 4,2442当 a=2
23、b 时取等号,结合 a0,b0,ab=8,可得 a=4,b=2.答案:4206.(三星)已知a,b,c 0,且a(a bc)bc 42 3,求2a bc的最小值.2(ab)(ac)2(31).x2 y26.（三星）定义运算“”x y:（x,yR,xy0),当 x0,y0 时,xy+(2y)x 的最小xy值为_.x2 y24y2 x2x22y22 2xy解：x0,y0 时,x y(2y)x 2.所以所求的最xy2yx2xy2xy小值为2.答案：2.y229.29.设 x，y，z 为正实数，满足 x2y3z0，则xz的最小值是_x3z解：解：由已知条件可得 y，222y2x9z 6xz所以xz4x
24、z1x9z4zx6142x 9z3，6zx21y2当且仅当 xy3z 时，xz取得最小值 3.二、比较大小二、比较大小7.已知a b 1,P lgalgb,Q 1 a b(lga lgb),R lg,则P,Q,R的大小关系是 _.22答案：P Q R3.（三星）设f(x)ln x,0 a b，若p f(ab)，q f(列关系式中正确的是()A.q=rpC.p=rq解：选 C.由条件可得p f(ab)ln(ab)12ab1)，r(f(a)f(b)，则下2211lnab(lna lnb),2211r(f(a)f(b)(lna lnb)p,22a b由不等式的性质在 0ab 的条件下，ab，且函数
25、f(x)=lnx 是增函数，2ab所以p f(ab)a，所以 2x222(xa)2a2xaxa3347，所以 a2，即 a 的最小值为2.9.（四星）设x y z,nN,且11n恒成立,求n的最大值.x yy zx z10.（三星）对任意锐角,均有sincos恒成立,求实数的取值范围.cos2sin224五、证明不等式五、证明不等式11.（三星）已知a 2,求证：loga(a 1)loga(a1)1.111112.（三星）设a,b均为正数,且ab 1,求证：(1)4;(2)20102010 22011.abab25yzxzxy44.44.已知 x0，y0，z0.求证：xxyyzz8.证明证明x
26、0，y0，z0，yz 2 yzxz 2 xzxxx0，yyy0，xy 2 xyzzz0，yzxzxyxxyyzz8 yz xz xy8.xyz当且仅当 xyz 时等号成立13.（五星）已知函数f(x)12nx ln x,求证：f(x)f(xn)2n2.2六与其他知识结合六与其他知识结合33.33.圆 x2y22x4y10 关于直线 2axby20(a，bR R)对称，则 ab 的取值范围是()1111A.，4B.0，4C.4，0D.，4解：解：由题可知直线 2axby20 过圆心(1,2)，故可得 ab1，ab21(ab 时取等号)又因 ab24261故 ab 的取值范围是，4.29.（四星）
27、(全国 2 理)已知AC、BD为圆O:x2 y2 4的两条相互垂直的弦，垂足为M 1,2,则四边形ABCD的面积的最大值为.解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d12+d22 OM2 3.四边形ABCD的面积S 3.（四星）设mR，过定点A的动直线x my 0和过定点B的动直线mx y m3 0交于点Px,y，则|PA|PB|的最大值是_。3)，因为PA PB，所以PA PB AB10，解：方法 1：A(0，0)，B(1，2221|AB|CD|2(4d12)(4-d22)8(d12d22)5.2故PA PB PA PB222 5（当且仅当PA PB 5时取“”）方法 2：易得A(
28、0，0)，B(1，3)设P(x，y)，则消去m得：x2 y2 x 3y 0，所以点P在以AB为直径的圆上，PA PB，所以PA PB 4.（三星）如果函数fxmn的最大值为()AB22 5112在区间,2上单调递减,那么m2 x n8 x1(m 0,n 0)22A.16B.18C.25D.812解：方法一：f(x)=(m-2)x+n-8=0 得x n8n8.当 m2 时,抛物线的对称轴为x ,据m2m2n82mn题意,2,即 2m+n12.因为2mn 6,所以 mn18,由 2m+n=12 且 2m=nm22n81,即 2n+m18,因为得 m=3,n=6.当 m2 时,抛物线开口向下,根据题
29、意得:-m222nm812mn 9,所以 mn,由 2n+m=18 且 2n=m 得 m=9(舍).要使得 mn 取最大值,22应有 2n+m=18(m8),所以 mn=(18-2n)n(18-28)8=16,所以最大值为 18.选 B.方法二：用导数来做，也要分类.27七、应用题七、应用题45.45.某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x 不得超过 5 m房屋正面的造价为 400 元/m2，房屋侧面的造价为 150 元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元，如果墙高为 3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造
30、价最低？12解解由题意可得，造价 y3(2x150 x400)5 80016900 xx5 800(00)，即 x80 时“”成立，故选 B.46.46.为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱(如图所示)，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱的底长为 a m，高度为 b m已知流出的水中该杂质的质量分别与 a，b 的乘积成反比，现有制箱材料 60 m2.问：当 a，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B 孔的面积忽略不计)?解：方法一解：方法一设 y 为流出的水中该杂质的质量分数，k则 yab，其中k0 为比例系数，依题意，求使
31、y 值最小的 a，b 的值根据题设，有 4b2ab2a60(a0，b0)，解得 b30a2a(0a0，b0)，即 a2bab30(a0，b0)因为 a2b2 2ab，所以 2 2abab30，当且仅当 a2b 时，上式取等号由 a0，b0，解得 0p)已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度 v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为 k.(1)把全程燃料费用 y(单位：元)表示为船在静水中的速度 v 的函数，并求出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解解(1)由题意，知船每小时的燃料费用是 kv2，全程航行时间为于是全程燃料费用 ykv2
32、(2)由(1)，知 ykv2svps(pq 时，函数ykv在(p，q内单调递减，所以yminks，vpqp此时船的前进速度为 qp.故为了使全程燃料费用最小，当2pq 时，船的实际前进速度应为p 千米/小时；当2pq时，船的实际前进速度应为(qp)千米/小时48.48.如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在1方程 ykx20(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千
33、米，试问它的横坐标 a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由1解：解：(1)令 y0，得 kx20(1k2)x20，由实际意义和题设条件知 x0，k0，20k2020故 x210，当且仅当 k1 时取等号211kkk所以炮的最大射程为 10 千米1(2)因为 a0，所以炮弹可击中目标存在 k0，使 3.2ka20(1k2)a2成立关于 k 的方程 a2k220aka2640 有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.30所以当 a 不超过 6 千米时，可击中目标49.49.某种商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万件(1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2
34、000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量 公司决定明年对该商品进行全面技术革新12和营销策略改革，并提高定价到 x 元公司拟投入6(x600)万元作为技改费用，投入 50 万1元作为固定宣传费用，投入5x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价解：解：(1)设每件定价为 t 元，t25依题意，有80.2t258，1整理得 t265t1 0000，解得 25t40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元(2)依题意，x25 时，11不等式 ax258506(x2600)5x 有解，15011等价于 x25 时，ax6x5有解1501x6x2150 1x 6x10(当且仅当 x30 时，等号成立)，a10.2.因此当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元31