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1、 2023/1/11工程非线性振动东北大学东北大学东北大学东北大学 闻邦椿闻邦椿闻邦椿闻邦椿工程非线性振动工程非线性振动 2023/1/12工程非线性振动工程非线性振动第1章 非线性振动实例 1.1 1.1 研究非线性振动问题的工程意义研究非线性振动问题的工程意义 1.2 1.2 工程非线性振动实例工程非线性振动实例 1.3 1.3 一些典型的非线性振动微分方程式一些典型的非线性振动微分方程式 1.4 1.4 非线性振动问题的常用求解方法非线性振动问题的常用求解方法 2023/1/13工程非线性振动工程非线性振动 随着工农业生产与科学技术的迅速发展，在工程技术各随着工农业生产与科学技术的迅速发
2、展，在工程技术各随着工农业生产与科学技术的迅速发展，在工程技术各随着工农业生产与科学技术的迅速发展，在工程技术各部门中遇到的大量非线性振动问题亟待进行深入研究和解决。部门中遇到的大量非线性振动问题亟待进行深入研究和解决。部门中遇到的大量非线性振动问题亟待进行深入研究和解决。部门中遇到的大量非线性振动问题亟待进行深入研究和解决。对这类问题的研究工作大致可以分为以下三方面的内容：对这类问题的研究工作大致可以分为以下三方面的内容：对这类问题的研究工作大致可以分为以下三方面的内容：对这类问题的研究工作大致可以分为以下三方面的内容：1 1 非线性振动的利用；非线性振动的利用；非线性振动的利用；非线性振动
3、的利用；2 2 非线性振动的控制；非线性振动的控制；非线性振动的控制；非线性振动的控制；3 3 非线性振动的机理非线性振动的机理非线性振动的机理非线性振动的机理 。目前在工程技术部门中，对许多非线性振动机理的研究目前在工程技术部门中，对许多非线性振动机理的研究目前在工程技术部门中，对许多非线性振动机理的研究目前在工程技术部门中，对许多非线性振动机理的研究还很不深入。例如，还很不深入。例如，还很不深入。例如，还很不深入。例如，对于一些在复杂非线性因素影响下的强对于一些在复杂非线性因素影响下的强对于一些在复杂非线性因素影响下的强对于一些在复杂非线性因素影响下的强非线性多自由度系统的精确求解、复杂时
4、变过程的特性、复非线性多自由度系统的精确求解、复杂时变过程的特性、复非线性多自由度系统的精确求解、复杂时变过程的特性、复非线性多自由度系统的精确求解、复杂时变过程的特性、复杂系统失稳的机理、复杂自激振动的起因和发展过程，一些杂系统失稳的机理、复杂自激振动的起因和发展过程，一些杂系统失稳的机理、复杂自激振动的起因和发展过程，一些杂系统失稳的机理、复杂自激振动的起因和发展过程，一些重大机械设备产生重大事故和发生破坏的原因，亚谐分叉解重大机械设备产生重大事故和发生破坏的原因，亚谐分叉解重大机械设备产生重大事故和发生破坏的原因，亚谐分叉解重大机械设备产生重大事故和发生破坏的原因，亚谐分叉解的形成，混沌
5、运动的产生等等。的形成，混沌运动的产生等等。的形成，混沌运动的产生等等。的形成，混沌运动的产生等等。2023/1/14工程非线性振动工程非线性振动 工程中的振动问题可以归纳为工程中的振动问题可以归纳为工程中的振动问题可以归纳为工程中的振动问题可以归纳为线性振动和非线性线性振动和非线性线性振动和非线性线性振动和非线性振动两大类。振动两大类。振动两大类。振动两大类。线性振动线性振动线性振动线性振动可以由以下线性微分方程式加以描述。可以由以下线性微分方程式加以描述。可以由以下线性微分方程式加以描述。可以由以下线性微分方程式加以描述。一般机械系统的线性振动方程可表示为：一般机械系统的线性振动方程可表示
6、为：一般机械系统的线性振动方程可表示为：一般机械系统的线性振动方程可表示为：（1-1）式中式中 m 质量；质量；c 阻尼；阻尼；k 刚度；刚度；振动的加速度、速度和位移；振动的加速度、速度和位移；f(t)干扰力或激振力；干扰力或激振力；2023/1/15 非线性振动非线性振动可以由非线性微分方程加以描述。可以由非线性微分方程加以描述。机械系统的非线性方程可表示为机械系统的非线性方程可表示为 （1-2）式中式中 非线性惯性力；非线性惯性力；非线性阻尼力；非线性阻尼力；非线性弹性力。非线性弹性力。工程非线性振动工程非线性振动 2023/1/16 (2)(2)非线性振动系统利用举例非线性振动系统利用
7、举例非线性振动系统利用举例非线性振动系统利用举例 需要研究和解决的需要研究和解决的理论理论问题和问题和实际实际问题：问题：1 1）光滑非线性振动的利用）光滑非线性振动的利用 2 2）分段线性非线性振动的利用）分段线性非线性振动的利用 3 3）含滞回非线性作用力的振动的利用）含滞回非线性作用力的振动的利用 4 4）自激振动的利用）自激振动的利用 5 5）带有冲击的非线性振动的利用）带有冲击的非线性振动的利用 6 6）非线性波动的利用）非线性波动的利用 7 7）频率俘获原理的利用）频率俘获原理的利用 8 8）慢变参数过程的利用）慢变参数过程的利用 9 9）分叉解的利用）分叉解的利用 10 10）混
8、沌运动的利用）混沌运动的利用 工程非线性振动工程非线性振动 2023/1/17 （3）振动与波利用技术的新成果曾引 发多次重大革命或变革 1 1）理论上的创新：理论上的创新：1 1 同步理论的利用同步理论的利用 2 2 共振的利用共振的利用 3 3 非线性振动的利用非线性振动的利用 4 4 自激振动的利用自激振动的利用 5 5 波及波能的利用波及波能的利用 6 6 混沌的利用混沌的利用 工程非线性振动工程非线性振动 2023/1/18 2 2）技术上的发明：）技术上的发明：1 1 可控整流电磁激振技术可控整流电磁激振技术 2 2 惯性振捣技术惯性振捣技术 2 2 振动压实技术振动压实技术 4
9、4 振动诊断技术振动诊断技术 5 5 振动检桩技术振动检桩技术 6 6 超声挤塑技术（蒋氏奖）超声挤塑技术（蒋氏奖）7 7 彩超彩超(B B超）超）8 8 超声电机超声电机 9 9 振荡器在通信中的应用振荡器在通信中的应用 10 10 振荡器在计时装置中的应用振荡器在计时装置中的应用 11 11 红外监察技术红外监察技术 12 12 光导纤维技术光导纤维技术 13 13 激光技术激光技术 14 14 医用医用CTCT与工业与工业CTCT 15 15 核磁共振核磁共振(诺贝尔奖，英国曼斯菲尔德和美国劳特布尔诺贝尔奖，英国曼斯菲尔德和美国劳特布尔)工程非线性振动工程非线性振动 2023/1/19
10、工程非线性振动工程非线性振动 2023/1/110沈阳水泵厂与我们的合作项目：沈阳水泵厂与我们的合作项目：0.4-1.3 万万 千瓦核电站主泵千瓦核电站主泵核泵的主要参数：核泵的主要参数：流量：流量：11750-25700 11750-25700 m m3 3/h/h；扬程：扬程：60-125 60-125 m m；工作压力：工作压力：14.95 14.95 M PaM Pa工作温度：工作温度：287.9287.9o o C C转速：转速：1490 1490 r/minr/min额定功率：额定功率：40004000-13000 13000 KW KW 高高 度：度：8 8 m m价价 格：格：
11、9000 9000 万元万元 2023/1/111 沈阳鼓压缩机股份有限公司和我们的合作项目：沈阳鼓压缩机股份有限公司和我们的合作项目：4.84.8万千瓦万千瓦 煤液化用大型气体离心压缩机煤液化用大型气体离心压缩机 功率；功率；48000 千瓦；转速：高速轴：千瓦；转速：高速轴：8100 转转/分，分，低速轴：低速轴：4700 转转/分；分；流量：流量：48000 立米立米;气体出口压力：气体出口压力：8.7 MPa 2023/1/112 2）沈阳黎明公司与我们的合作项目：沈阳黎明公司与我们的合作项目：11万万 千瓦千瓦 重型重型 燃气燃气 轮机轮机 功率：功率：1111万万 千瓦；转速：千瓦
12、；转速：3000 3000 转转/分分 2023/1/113工程非线性振动工程非线性振动 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 非线性振动的理论问题非线性振动的理论问题非线性振动的理论问题非线性振动的理论问题 1.1.复杂非线性振动系统的建模、系统参数的识别方法与试验；复杂非线性振动系统的建模、系统参数的识别方法与试验；复杂非线性振动系统的建模、系统参数的识别方法与试验；复杂非线性振动系统的建模、系统参数的识别方法与试验；2.2.由气流或其他非线性因素激发的复杂非线性系统振动的机理；由气流或其他非线性因素激发的复杂非线性系统振动的机理；由气流或其他非线性因素激发的复杂非线性系统振动的
13、机理；由气流或其他非线性因素激发的复杂非线性系统振动的机理；3.3.多自由度强非线性振动问题的精确求解方法；多自由度强非线性振动问题的精确求解方法；多自由度强非线性振动问题的精确求解方法；多自由度强非线性振动问题的精确求解方法；4.4.多自由度非线性振动系统的各种类型的分叉；多自由度非线性振动系统的各种类型的分叉；多自由度非线性振动系统的各种类型的分叉；多自由度非线性振动系统的各种类型的分叉；5.5.复杂非线性振动系统的混沌运动；复杂非线性振动系统的混沌运动；复杂非线性振动系统的混沌运动；复杂非线性振动系统的混沌运动；6.6.非线性振动系统失稳机理及系统的局部和全局稳定性；非线性振动系统失稳机
14、理及系统的局部和全局稳定性；非线性振动系统失稳机理及系统的局部和全局稳定性；非线性振动系统失稳机理及系统的局部和全局稳定性；7.7.时变时变时变时变 （包括参变、慢变、时滞及瞬态）（包括参变、慢变、时滞及瞬态）（包括参变、慢变、时滞及瞬态）（包括参变、慢变、时滞及瞬态）非线性振动系统的特性；非线性振动系统的特性；非线性振动系统的特性；非线性振动系统的特性；8.8.复杂非线性振动系统的自激振动；复杂非线性振动系统的自激振动；复杂非线性振动系统的自激振动；复杂非线性振动系统的自激振动；9.9.带有冲击的非线性振动系统的振动机理与振动特性；带有冲击的非线性振动系统的振动机理与振动特性；带有冲击的非线
15、性振动系统的振动机理与振动特性；带有冲击的非线性振动系统的振动机理与振动特性；10.10.非线性系统的振动及其稳定性的控制；非线性系统的振动及其稳定性的控制；非线性系统的振动及其稳定性的控制；非线性系统的振动及其稳定性的控制；11.11.有关非线性振动的动态过程的机理及利用；有关非线性振动的动态过程的机理及利用；有关非线性振动的动态过程的机理及利用；有关非线性振动的动态过程的机理及利用；12.12.与非线性振动有关的设备或结构破坏的机理及故障的诊断方法；与非线性振动有关的设备或结构破坏的机理及故障的诊断方法；与非线性振动有关的设备或结构破坏的机理及故障的诊断方法；与非线性振动有关的设备或结构破
16、坏的机理及故障的诊断方法；13.13.在复杂因素影响下的非线性波的机理及其控制与利用；在复杂因素影响下的非线性波的机理及其控制与利用；在复杂因素影响下的非线性波的机理及其控制与利用；在复杂因素影响下的非线性波的机理及其控制与利用；14.14.板壳及复杂结构在大变形情况下的非线性振动的研究；板壳及复杂结构在大变形情况下的非线性振动的研究；板壳及复杂结构在大变形情况下的非线性振动的研究；板壳及复杂结构在大变形情况下的非线性振动的研究；15.15.复杂建筑结构和大跨度桥梁在特殊载荷下的颤振与弛振；复杂建筑结构和大跨度桥梁在特殊载荷下的颤振与弛振；复杂建筑结构和大跨度桥梁在特殊载荷下的颤振与弛振；复杂
17、建筑结构和大跨度桥梁在特殊载荷下的颤振与弛振；16.16.复杂非线性结构的解耦和数值计算及优化方法。复杂非线性结构的解耦和数值计算及优化方法。复杂非线性结构的解耦和数值计算及优化方法。复杂非线性结构的解耦和数值计算及优化方法。2023/1/114工程非线性振动工程非线性振动 目前多数非线性振动问题仍采用一些近似方法或在忽略非目前多数非线性振动问题仍采用一些近似方法或在忽略非目前多数非线性振动问题仍采用一些近似方法或在忽略非目前多数非线性振动问题仍采用一些近似方法或在忽略非线性因素的情况下进行分析计算，线性因素的情况下进行分析计算，线性因素的情况下进行分析计算，线性因素的情况下进行分析计算，因而
18、在多数情况下所得结果因而在多数情况下所得结果因而在多数情况下所得结果因而在多数情况下所得结果有较大的误差，甚至会得出错误的结论，这是因为线性振动和有较大的误差，甚至会得出错误的结论，这是因为线性振动和有较大的误差，甚至会得出错误的结论，这是因为线性振动和有较大的误差，甚至会得出错误的结论，这是因为线性振动和非线性振动有许多本质的区别。非线性振动有许多本质的区别。非线性振动有许多本质的区别。非线性振动有许多本质的区别。在最近一个时期，科技工作者对许多非线性振动问题进行在最近一个时期，科技工作者对许多非线性振动问题进行在最近一个时期，科技工作者对许多非线性振动问题进行在最近一个时期，科技工作者对许
19、多非线性振动问题进行了深入研究，了深入研究，了深入研究，了深入研究，在定量研究或是定性研究方面都提出了一些新的在定量研究或是定性研究方面都提出了一些新的在定量研究或是定性研究方面都提出了一些新的在定量研究或是定性研究方面都提出了一些新的有效的方法。特别是对混沌运动现象的揭示及对其开展的研究有效的方法。特别是对混沌运动现象的揭示及对其开展的研究有效的方法。特别是对混沌运动现象的揭示及对其开展的研究有效的方法。特别是对混沌运动现象的揭示及对其开展的研究工作，被认为是当今重大发现和重要成就之一。工作，被认为是当今重大发现和重要成就之一。工作，被认为是当今重大发现和重要成就之一。工作，被认为是当今重大
20、发现和重要成就之一。近近近近2020多年来计算机技术的迅速发展，许多非线性振动问题多年来计算机技术的迅速发展，许多非线性振动问题多年来计算机技术的迅速发展，许多非线性振动问题多年来计算机技术的迅速发展，许多非线性振动问题可以借助数值计算与数值模拟方法予以解决，可以借助数值计算与数值模拟方法予以解决，可以借助数值计算与数值模拟方法予以解决，可以借助数值计算与数值模拟方法予以解决，这就使得非线性这就使得非线性这就使得非线性这就使得非线性振动问题的解法向前推进了一大步。振动问题的解法向前推进了一大步。振动问题的解法向前推进了一大步。振动问题的解法向前推进了一大步。由于非线性振动问题的复杂性，由于非线
21、性振动问题的复杂性，由于非线性振动问题的复杂性，由于非线性振动问题的复杂性，许多非线性问题的沏底解许多非线性问题的沏底解许多非线性问题的沏底解许多非线性问题的沏底解决。决。决。决。2023/1/115工程非线性振动工程非线性振动 1.含非线性惯性力的振动系统 2.含非线性阻尼力的振动系统 3.含光滑非线性恢复力的振动系统 4.含分段线性非线性恢复力的振动系统 5.含滞回恢复力的振动系统 6.自激振动系统 7.带有冲击的非线性振动系统 8.考虑涡动时转子系统的非线性振动 9.非线性弹性体的振动 10.非线性波动 11.含非线性作用力的多自由度的振动系统 12.慢变参数振动系统 13.参数激励的振
22、动系统 14.时滞系统 1.2 1.2 工程非线性振动举例工程非线性振动举例 2023/1/116工程非线性振动工程非线性振动 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 含非线性惯性力的振动系统含非线性惯性力的振动系统 考虑物料断续滑动的弹性连杆式振动输送机的系统考虑物料断续滑动的弹性连杆式振动输送机的系统 参考图参考图1-1，当考虑物料沿机体断续滑动时，弹性连杆式，当考虑物料沿机体断续滑动时，弹性连杆式振动输送机的运动方程式为振动输送机的运动方程式为 （1-3）工作机体质量与物料质量；工作机体质量与物料质量；阻力系数；阻力系数；主振弹簧刚度和连杆弹簧刚度；主振弹簧刚度和连杆弹簧刚度；机
23、体沿振动方向的位移、速度和加速度；机体沿振动方向的位移、速度和加速度；机体沿机体沿 x 和和 y 方向的位移、速度和加速度方向的位移、速度和加速度 振动方向角；振动方向角；2023/1/117工程非线性振动工程非线性振动 含非线性惯性力的振动系统含非线性惯性力的振动系统 图图1-1 弹性连杆式振动输送机的振动系统弹性连杆式振动输送机的振动系统 2023/1/118工程非线性振动工程非线性振动 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 含非线性阻尼力的振动系统含非线性阻尼力的振动系统 测量轴与轴销之间干摩擦系数的摩擦摆是具有库仑阻尼与速度平方阻测量轴与轴销之间干摩擦系数的摩擦摆是具有库仑阻
24、尼与速度平方阻尼的振动系统。图尼的振动系统。图1-3a表示了用于测量轴与轴销之间干摩擦系数的摩擦摆表示了用于测量轴与轴销之间干摩擦系数的摩擦摆的示意图。摆的运动微分的示意图。摆的运动微分方程式可表示为方程式可表示为 （1-8）式中式中 J摆对悬挂点的转动惯量；摆对悬挂点的转动惯量；m摆的质量；摆的质量；l摆的质心至悬挂点之距；摆的质心至悬挂点之距；r轴的半径；轴的半径；f轴与轴销之间摩擦系数；轴与轴销之间摩擦系数；摆的摆动角度。摆的摆动角度。2023/1/1工程非线性振动工程非线性振动摩擦摆弗洛特摆 2023/1/120工程非线性振动工程非线性振动 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.
25、3 含非线性光滑恢复力的振动系统含非线性光滑恢复力的振动系统 利用弗洛特摆测量轴承的摩擦系数利用弗洛特摆测量轴承的摩擦系数 图图1-3b为其力学模型为其力学模型,转动轴上的外套及摆的内套为一组转动轴上的外套及摆的内套为一组试件试件,滑动面半径为滑动面半径为 r,摆的重心至转动轴心距离为摆的重心至转动轴心距离为 l。当轴以当轴以角速度角速度 逆时针转动时逆时针转动时,摩擦力将带动摆偏转角度摩擦力将带动摆偏转角度 。摆的运动微分方程为摆的运动微分方程为 （1-11）式中式中 摆的转动惯量；摆的转动惯量；摆的质量；摆的质量；摩擦力矩；摩擦力矩；空气阻力系数。空气阻力系数。2023/1/121工程非线
26、性振动工程非线性振动 含滞回非线性恢复力的振动系统有含滞回非线性恢复力的振动系统有振动成型机、振动压振动成型机、振动压路机、振动沉拔桩机、利用振动使材料产生塑性变形的轧机、路机、振动沉拔桩机、利用振动使材料产生塑性变形的轧机、建筑结构在超载负荷的作用下产生的振动建筑结构在超载负荷的作用下产生的振动等。等。1.振动沉桩过程振动沉桩过程 振动沉桩过程可视为带有对称滞回特性的非线性系统，振动沉桩过程可视为带有对称滞回特性的非线性系统，运动方程式可表示为运动方程式可表示为 （1-20）对称的滞回非线性系统对称的滞回非线性系统（下式为半个周期的数学表示式）（下式为半个周期的数学表示式）（1-21）1.2
27、.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 含滞回非线性恢复力的振动系统含滞回非线性恢复力的振动系统 2023/1/122工程非线性振动工程非线性振动 2023/1/123工程非线性振动工程非线性振动1.2.5 含滞回恢复力的非线性振动系统含滞回恢复力的非线性振动系统 含滞回非线性恢复力的振动系统有振动成型机、振动压路含滞回非线性恢复力的振动系统有振动成型机、振动压路机、振动沉拔桩机、利用振动使材料产生塑性变形的轧机、建机、振动沉拔桩机、利用振动使材料产生塑性变形的轧机、建筑结构在超载负荷的作用下产生的振动等。筑结构在超载负荷的作用下产生的振动等。振动沉桩过程振动沉桩过程 振动沉桩过程可视为带有
28、对称滞回特性的非线性系统，运振动沉桩过程可视为带有对称滞回特性的非线性系统，运动方程式可表示为动方程式可表示为 （1-20）对称的滞回非线性系统（下式为半个周期的数学表示式）对称的滞回非线性系统（下式为半个周期的数学表示式）（1-21）2023/1/124 1.2.6 1.2.6 1.2.6 1.2.6 自激振动系统自激振动系统 工程非线性振动工程非线性振动 当初轧机轧制钢锭时，常常会产生自激振动。出现自激当初轧机轧制钢锭时，常常会产生自激振动。出现自激振动的原因是系统中存在负阻尼。钢锭与轧辊间的摩擦力矩振动的原因是系统中存在负阻尼。钢锭与轧辊间的摩擦力矩可表示为可表示为 （1-24）式中式中
29、 f 轧辊与钢锭间的摩擦系数；轧辊与钢锭间的摩擦系数；N 轧辊与钢锭间的正压力；轧辊与钢锭间的正压力；D 轧辊直径；轧辊直径；M0 不变摩擦力矩；不变摩擦力矩；c,d-系数；系数；-轧辊回转角速度。轧辊回转角速度。2023/1/125工程非线性振动工程非线性振动 2023/1/126工程非线性振动工程非线性振动 1.2.7 1.2.7 1.2.7 1.2.7 考虑涡动时的转子的振动考虑涡动时的转子的振动 当考虑转子涡动，即转子的陀螺效应时，转子系统的运动当考虑转子涡动，即转子的陀螺效应时，转子系统的运动微分方程式如下式所示微分方程式如下式所示 式中式中 圆盘质量；圆盘质量；重力加速度；重力加速
30、度；圆盘的偏心；圆盘的偏心；转轴的转速；转轴的转速；相对动坐标糸的相位角；相对动坐标糸的相位角；圆盘的外阻力系数；圆盘的外阻力系数；弹性轴的内阻力系数；弹性轴的内阻力系数；弹性轴的刚度；弹性轴的刚度；圆盘在动坐标上的位移、速度与加速度；圆盘在动坐标上的位移、速度与加速度；时间。时间。2023/1/127工程非线性振动工程非线性振动 2023/1/128 1.2.8 带有冲击的非线性振动系统带有冲击的非线性振动系统工程非线性振动工程非线性振动 振动夯土机、冲击锤锻机、气动或液压凿岩机、气动或液振动夯土机、冲击锤锻机、气动或液压凿岩机、气动或液压碎石机、柴油打桩机及蒸汽锤等都可视为带有冲击的非线性
31、压碎石机、柴油打桩机及蒸汽锤等都可视为带有冲击的非线性振动系统进行研究。振动系统进行研究。气动凿岩机活塞冲击钎杆的过程气动凿岩机活塞冲击钎杆的过程 对钎杆具有冲击的活塞的运动微分方程式为对钎杆具有冲击的活塞的运动微分方程式为 （1-30）式中式中 活塞质量；活塞质量；正反行程活塞两侧的压力差；正反行程活塞两侧的压力差；活塞与钎杆撞击时的冲击作用力。活塞与钎杆撞击时的冲击作用力。2023/1/129工程非线性振动工程非线性振动 2023/1/130 1.2.9 含非线性因素的弹性体的振动系统含非线性因素的弹性体的振动系统工程非线性振动工程非线性振动 含有非线性因素的悬挂钢绳的横向振动，大长度振动
32、输送含有非线性因素的悬挂钢绳的横向振动，大长度振动输送机槽体的横向弹性弯曲振动机槽体的横向弹性弯曲振动 高空电线的风致振动高空电线的风致振动 考虑风对电线上作用有风致的非线性作用力时，其运动的考虑风对电线上作用有风致的非线性作用力时，其运动的微分方程式为微分方程式为 （1-32）式中式中 振动位移；振动位移；阻力系数；阻力系数；电缆的坐标；电缆的坐标；时间。时间。2023/1/131 1.2.10 非线性波动系统非线性波动系统工程非线性振动工程非线性振动 气动及液压式凿岩机械钎杆应力波的传递过程属于纵波的气动及液压式凿岩机械钎杆应力波的传递过程属于纵波的一类。我们考虑沿杆传播的为非线性波，设杆
33、的长度为一类。我们考虑沿杆传播的为非线性波，设杆的长度为 L，密密度为度为 ，弹性模量为，弹性模量为 ，横截面积为，横截面积为 ，表示初始时表示初始时位于位于 处的一个杆截面在处的一个杆截面在 时刻的纵向位移，其截面的运时刻的纵向位移，其截面的运动方程式为动方程式为 （1-36）式中式中 纵向应力。纵向应力。设应力设应力 与应变与应变 有以下非线性关系有以下非线性关系 （1-37）2023/1/132 1.2.11 含弱非线性作用力的多自由度建筑结构的振动含弱非线性作用力的多自由度建筑结构的振动工程非线性振动工程非线性振动 多自由度建筑结构系统可用以下微分方程来描述，具有多自由度建筑结构系统可
34、用以下微分方程来描述，具有 个自由度的方程为个自由度的方程为 （1-40）式中式中 为系统的位移；为系统的位移；分别为质量矩阵、阻尼矩阵和刚分别为质量矩阵、阻尼矩阵和刚 度矩阵，度矩阵，分别是非线性作用力矩阵。分别是非线性作用力矩阵。2023/1/133 1.2.12 1.2.12 1.2.12 1.2.12 含慢变参数的非线性振动系统含慢变参数的非线性振动系统 工程非线性振动工程非线性振动 考虑钢绳质量的矿山提升机罐笼与钢绳组成的振动系统考虑钢绳质量的矿山提升机罐笼与钢绳组成的振动系统属于慢变质量和慢变刚度的振动系统。属于慢变质量和慢变刚度的振动系统。在提升重物的过程中，在提升重物的过程中，
35、系统的质量和刚度随着钢绳的伸长与缩短而连续地变化，由系统的质量和刚度随着钢绳的伸长与缩短而连续地变化，由于质量和刚度的变化而引起的系统固有频率十分缓慢的变化，于质量和刚度的变化而引起的系统固有频率十分缓慢的变化，因此这是一种具有慢变参数的非线性系统。其运动微分方程因此这是一种具有慢变参数的非线性系统。其运动微分方程可由下式来描述可由下式来描述 （1-41）式中式中 m（)慢变质量；慢变质量；k()慢变刚度；慢变刚度；c 阻力系数；阻力系数；慢变时间，慢变时间，为小参数；为小参数；f(t)干扰力；干扰力；罐笼的加速度、速度与位移。罐笼的加速度、速度与位移。2023/1/134工程非线性振动工程非
36、线性振动 1.2.13 1.2.13 1.2.13 1.2.13 纵向力作用下纵向力作用下纵向力作用下纵向力作用下杆的横向振动杆的横向振动 振动锤工作时杆的工况即是两端为绞接的杆受纵向周期力振动锤工作时杆的工况即是两端为绞接的杆受纵向周期力的作用。其纵向振动的方程式为的作用。其纵向振动的方程式为 （1-44）式中式中 杆的纵向作用力；杆的纵向作用力；杆的长度；杆的长度；杆的断面积；杆的断面积；弹性模量；弹性模量；杆的断面惯性矩；杆的断面惯性矩；横向位移；横向位移；非线性函数。非线性函数。2023/1/135工程非线性振动工程非线性振动 1.2.14 1.2.14 1.2.14 1.2.14 包
37、含非线性作用力的时滞系统包含非线性作用力的时滞系统 时滞受控系统可用时滞微分方程来描述，具有时滞受控系统可用时滞微分方程来描述，具有 个自由度个自由度时滞系统的方程为时滞系统的方程为 （1-46）式中式中 为滞后时间；为滞后时间；为系统的位移；为系统的位移；分别为质量矩阵、阻尼矩阵和刚分别为质量矩阵、阻尼矩阵和刚 度矩阵，度矩阵，分别是位移和速度反馈增益矩阵分别是位移和速度反馈增益矩阵 2023/1/136工程非线性振动工程非线性振动 1.3 典型的非线性振动方程式非线性振动方程式 1.3.1 自治系统与非自治系统自治系统与非自治系统 所谓所谓自治系统，自治系统，是指在微分方程中，不明显地包含
38、时间是指在微分方程中，不明显地包含时间 t 的系统，又称为固有振动系统或自由振动系统，其方程式的系统，又称为固有振动系统或自由振动系统，其方程式的的 一般形式为一般形式为 （1-47）假如非线性函数很小，我们可以将非线性方程表示为假如非线性函数很小，我们可以将非线性方程表示为 （1-48）式中式中 小参数。小参数。（1-50）2023/1/137 所谓所谓非自治系统，非自治系统，是指在微分方程中，明显地含时间是指在微分方程中，明显地含时间 t 的的系统系统 又称强迫振动系统或外激振动系统，其方程的一般形式为又称强迫振动系统或外激振动系统，其方程的一般形式为 （1-49）如前所述，当非线性函数很
39、小时，方程表示为如前所述，当非线性函数很小时，方程表示为 （1-501-501-501-50）工程非线性振动工程非线性振动 2023/1/138工程非线性振动工程非线性振动1.3.2 保守系统与非保守系统保守系统与非保守系统 保守系统保守系统和和非保守系统非保守系统的一般表示式分别为的一般表示式分别为 （1-51）及及 （1-52）2023/1/139工程非线性振动工程非线性振动 1.3.3 1.3.3 典型的典型的非线性振动方程式非线性振动方程式非线性振动方程式非线性振动方程式 1.非线性方程的一般表示式非线性方程的一般表示式 一阶非线性方程：一阶非线性方程：（1-54）二阶非线性方程二阶非
40、线性方程 （1-55）2023/1/140工程非线性振动工程非线性振动2.单摆、复摆和和摩擦摆：单摆、复摆和和摩擦摆：单摆：单摆：无阻尼情况：无阻尼情况：（1-56）有阻尼情况：有阻尼情况：（1-57）复摆：复摆：（1-58）摩擦摆：摩擦摆：（1-59）2023/1/141工程非线性振动工程非线性振动3.Duffing方程和带软弹簧的非线性系统：方程和带软弹簧的非线性系统：无阻尼情况无阻尼情况 （1-60）有阻尼情况：有阻尼情况：（1-61）带平方项的情形带平方项的情形:（1-62）软弹簧系统的非线性方程软弹簧系统的非线性方程:（1-63）2023/1/142工程非线性振动工程非线性振动4.带
41、有库仑阻尼的和速度平方阻尼的非线性方程带有库仑阻尼的和速度平方阻尼的非线性方程带库仑阻尼的非线性方程带库仑阻尼的非线性方程:（1-64）在粘性较大的流体中质体振动的方程式在粘性较大的流体中质体振动的方程式:（1-65）2023/1/143工程非线性振动工程非线性振动5.分段质量非线性振动系统分段质量非线性振动系统分段质量与分段摩擦的非线性振动系统分段质量与分段摩擦的非线性振动系统 （1-66）式中式中 。2023/1/144工程非线性振动工程非线性振动6.对称与不对称分段线性的非线性系统的方程对称与不对称分段线性的非线性系统的方程 （1-68）对称的分段线性的非线性系统对称的分段线性的非线性系
42、统 （1-69）2023/1/145工程非线性振动工程非线性振动7.对称与不对称滞回非线性系统的方程对称与不对称滞回非线性系统的方程 （1-71）对称的滞回非线性系统（下式为半个周期的数学表示式）对称的滞回非线性系统（下式为半个周期的数学表示式）（1-72）2023/1/146工程非线性振动工程非线性振动8.自激振动的方程式自激振动的方程式Van der Pol方程方程 （1-74）Rayleigh方程方程 （1-75）切削加工时的自激振动方程切削加工时的自激振动方程 （1-76）2023/1/147工程非线性振动工程非线性振动9.考虑陀螺效应的转子回转的非线性方程式考虑陀螺效应的转子回转的非
43、线性方程式 （1-77）2023/1/148工程非线性振动工程非线性振动10.带有冲击的非线性振动系统带有冲击的非线性振动系统 （1-78）碰撞点为碰撞点为:2023/1/149工程非线性振动工程非线性振动 11.多自由度强非线性振动系统多自由度强非线性振动系统 （1-79）2023/1/150工程非线性振动工程非线性振动12.慢变参数振动方程慢变参数振动方程 （1-80）2023/1/151工程非线性振动工程非线性振动13.线性参数激振方程线性参数激振方程Hill方程方程 （1-81）Mathieu方程方程 （1-82）2023/1/152工程非线性振动工程非线性振动14.带非线性项的参数激
44、振方程带非线性项的参数激振方程 （1-83）2023/1/153 非线性振动问题的求解方法：非线性振动问题的求解方法：（1 1）解析方法：）解析方法：1 1）精确解法）精确解法 2 2）近似解法：等价线性化法、里兹）近似解法：等价线性化法、里兹-迦辽金法、迭代法、谐波平衡法、迦辽金法、迭代法、谐波平衡法、传统小参数法、多尺度法、平均法、渐近法（传统小参数法、多尺度法、平均法、渐近法（KBMKBM法）法）（2 2）数值方法：）数值方法：龙德龙德-科太法、打靶法、威尔逊科太法、打靶法、威尔逊-法、纽马克法、纽马克-法法 （3 3）图解方法：）图解方法：等倾线法、林奈作图法、频闪法、点映射和胞映射法。等倾线法、林奈作图法、频闪法、点映射和胞映射法。（4 4）实验方法）实验方法 工程非线性振动工程非线性振动 1.4 非线性振动理论与方法非线性振动理论与方法 2023/1/154工程非线性振动工程非线性振动（渐近法的提出者：（渐近法的提出者：KBM）2023/1/155工程非线性振动工程非线性振动(多尺度法的提出者：奈弗多尺度法的提出者：奈弗)